北京市通州区2020－2021学年下学期初中八年级期末调研数学试卷
本试卷共三道大题，28个小题，满分为100 分，考试时间为120 分钟．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．方程
的二次项系数和一次项系数分别为
A. 
和
B. 
和
C. 
和
D. 
和
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
3．在平面直角坐标系xOy中，过点P（－2，3）作PA⊥y轴，垂足为点A，那么PA的长为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 
4．方程
的解是
A. 
B. 
，
C. 
D. 
，
5．甲、乙、丙、丁四名学生参加区中小学生运动会跳高项目预选赛，他们8次跳高的平均成绩及方差如下表所示，要选一位成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员是
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
| 1.72 | 1.75 | 1.75 | 1.72 |
| 1 | 1.3 | 1 | 1.3 |
A. 甲 B. 乙 （ C）丙 D. 丁
6．用配方法解一元二次方程
，配方变形过程正确的是
A. 
B. 
C. 
D. 
7．如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，且AB＝BE，连接AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，如果∠F＝70°，那么∠B的度数是
A. 30° B. 40° C. 50° D. 70°
8．小明步行从家出发去学校，步行了5分钟时，发现作业忘在家，马上以同样的速度回家取作业，然后骑共享单车赶往学校，小明离家距离S（米）与时间t（分钟）之间的函数图象如图，那么小明骑车比步行的速度每分钟快
A. 200米 B. 80米 C. 140米 D. 120米
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，如果使”帅”的位置为点（
，
），”相”的位置为点（
，
），那么”炮”的位置为点 ．
10．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从一个n边形的一个顶点出发最多引出3条对角线，那么这个n边形的内角和是 ．
11.
如果一元二次方程
的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是_____________.
12．已知
，
是一次函数y＝kx＋3的图象上两点，当x1＜x2时，则y1>y2，那么k的值可以是 （写出一个满足题意k的值即可）．
13 . 如果关于
的一元二次方程
的一个解是
，那么代数式
的值是 ．
14．如图，在△ABC中，
，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E. 已知AB＝6，BC＝8，如果 F是边BC的中点，连接EF，那么EF的长是_________________.
15. 在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差的计算公式：
，
并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是______________________（只填序号）.
16．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中”勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x尺，根据题意，那么可列方程_________________.
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题6分，第27～28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程：
.
18．如图，在
▱ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE＝CF，连接EF，AC交于点O．求证：OE＝OF．
19．已知关于
的一元二次方程
有两个实数根．
（1）求
的取值范围；
（2）当
取最大整数时，求此时方程的根.．
20 . 已知一次函数
的图象与
轴交于点
，与正比例函数
的图象交于点
．
（1）分别求
，
的值；
（2）点
为
轴上一动点．如果△
的面积是
，请求出点
的坐标．
21. 已知：在△
中，
. 
求作：矩形
.
作法：如下，
①分别以点
，
为圆心，大于
的同样长为半径作弧，两弧分别交于点
，
；
②作直线
，交边
于点
；
③作射线
，以点
为圆心，以
长为半径作弧，与射线
的另一个交点为
，连接
，
；
所以四边形
就是所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明: ∵直线
是
的垂直平分线，
∴
．
∵
，
∴四边形
是平行四边形（____________________________________）（填推理的依据）.
∵
，
∴四边形
是矩形（____________________________________）（填推理的依据）.
22. 已知关于x的方程
．
（1）不解方程，判断方程根的情况，并说明理由；
（2）如果该方程有一个根大于0，求a的取值范围．
23．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，如果AE＝4，DE＝2，DC＝
，
求AC的长.
24. 在平面直角坐标系xOy中，将点A（
，2）向右平移3个单位长度，得到点B，点B在直线
上．
（1）求
的值和点B的坐标；
（2）如果一次函数
的图象与线段AB有公共点，求
的取值范围．
25．今年7月1日是中国共产党建党100周年纪念日，为了让学生进一步了解中国共产党的历史，某学校组织了一系列”党史知识”专题学习活动，对八年级甲，乙两班各40名学生进行了”党史”相关知识的测试，并分别抽取了15份成绩，并对成绩（百分制并取整数）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a. 甲班、乙班15名学生测试成绩统计如下：（满分100分）
甲班：68，72，89，85，82，85，74，92，80，85，78，85，69，76，80．
乙班：86，89，83，76，73，78，67，80，80，79，80，84，82，80，83．
b. 甲班15名学生测试成绩的频数分布直方图（不完整）：
c. 乙班15名学生测试成绩的频数分布表：
组别 | 65.5～70.5 | 70.5～75.5 | 75.5～80.5 | 80.5～85.5 | 85.5～90.5 | 90.5～95.5 |
乙 | 1 | 1 | a | b | 2 | 0 |
d. 甲班、乙班15名学生测试成绩的平均数、众数、中位数和方差如下：
班级 | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
甲 | 80 | x | 80 | 47.6 |
乙 | 80 | 80 | y | 26.2 |
根据以上信息，回答下列问题．
（1）补全甲班测试成绩的频数分布直方图；
（2）在乙班15名学生测试成绩的频数分布表中，a＝ ，b＝ ．
（3）在甲班、乙班15名学生测试成绩的平均数、众数、中位数、方差表中，x＝ ，y＝ ．
（4）你认为哪个班的学生掌握”党史”相关知识的整体水平较好，说明理由．
26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋4（k≠0）的图象与y轴交于点C，已知点A（2，0），B（4，2）.
（1）求点C的坐标；
（2）直接判断线段CA、CB的大小关系: CA______CB（填”>”，”＝”或”<“）
（3）如果点A（2，0），B（4，2）到一次函数y＝kx＋4（k≠0）图象的距离相等，求k的值．
27．如图， 在△ABC中，
，以BC为边，向外作正方形BCDE，对角线BD，CE交于点O.
（1）求证：
；
（2）连接AO， 用等式表示线段AB，AC，AO之间的数量关系，并证明你的结论.
28． 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的”和谐点”，如下图所示．
已知点D（－1，2），E（1，2），F（－1，－2）．
（1）已知点A的坐标是（2，1）．
①在D，E，F中，是点A的”和谐点”的是
．
②已知点B的坐标为（0，b），如果点B为点A的”和谐点”，求b的值；
（2）已知点C（m，0），如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的”和谐点”，直接写出m的取值范围．
【试题答案】
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | B | A | A | B | C | D | B | D |
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 
10.
11. 
12. 
（答案不唯一） 13. 
14. 
15. ① ②③⑤
16. 
或
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题6分，第27～28题，每小题7分）
17. 解： 
， ………………… 2分
或
………………… 4分
，
； ………………… 5分
18．证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ 
∥
， ………………… 1分
∴
. ………………… 2分
在△AOE和△COF 中
∵
∴ △AOE △COF ………………… 4分
∴ OE ＝ OF. ………………… 5分
19． 解：（1）∵关于
的一元二次方程
有两个实数根，
∴△
………………… 1分
∴
………………… 2分
（2）∵
取最大整数，
∴
………………… 3分
，
， ………………… 4分
………………… 5分
20. 解：（1）∵一次函数
的图象与
轴交于点
，
∴
∴
………………… 1分
∴
∵一次函数
的图象与正比例函数
的图象交于点
，
∴
，
， ………………… 2分
∴
. ………………… 3分
（2）设点
的坐标为
，过点
作AD⊥x轴，垂足为点D．
∵△
的面积是
，
∴
∴
∴
或
∴点
的坐标为
或
………………… 5分
或过点
作AD⊥x轴，垂足为点D．
∵△
的面积是
，
∴
∴
∴
，
∵点
的坐标为
，
∴点
的坐标为
或
21. （1）画图正确 ………………… 3分
（2）完成下面的证明.
证明: ∵直线
是
的垂直平分线，
∴
．
∵
，
∴四边形
是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）. ………………… 4分
∵
，
∴四边形
是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）（填推理的依据）.
………………… 5分
22. 解：（1）△
………………… 1分
无论a取何值，都有
， ………………… 2分
即△≥0
∴方程总有两个实数根. ………………… 3分
（2）
或
，
………………… 4分
∵方程有一个根大于0，
∴
∴
. ………………… 5分
23．解：连接EC. ………………… 1分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC， ………………… 2分
∵OE⊥AC，
∴OE是线段AC的垂直平分线，
∴EC＝AE＝ 4， ………………… 3分
在△DEC中，
∵
，
∴
， ………………… 4分
∴
，
∴
………………… 5分
∴
，
∴
（舍负）. ………………… 6分
24. 解：（1）∵将点A（
，2）向右平移3个单位长度，得到点B，
∴B（
，2） ………………… 1分
∵点B在直线
上
∴
∴
………………… 2分
∴点B的坐标为（
，2） ………………… 3分
或把
代入
中，
∴
∴点B的坐标为（
，2），
∵点B是由点A（
，2）向右平移3个单位长度得到的，
∴点A的坐标为（
，2），
∴
（2） 把点A（
，2）代入
中，
∴
， ………………… 4分
把点B（
，2）代入
中，
∴
， ………………… 5分
∴
的取值范围是
. ………………… 6分
25． 解：（1）补全甲班测试成绩的频数分布直方图置正确；……………… 1分
（2）在乙班15名学生测试成绩的频数分布表中，a＝7，b＝4． ……………… 3分
（3）在甲班、乙班15名学生测试成绩的平均数、众数、中位数、方差表中x＝85，y＝80 ………… 5分
（4）你认为哪个班的学生掌握”党史”相关知识的整体水平较好，说明理由．
乙班，因为甲班、乙班15名学生测试成绩的平均数一样，而乙班15名学生测试成绩的方差比甲班小.………………… 1分
26. 解：（1）∵令
，
∴
∴点C的坐标为（0，4） ………………… 1分
（2）”＝” ………………… 2分
（3）当直线AB与一次函数y＝kx＋4（k≠0）图象平行时，………………… 3分
设直线AB的表达式为
∴
解得：
∴
………………… 4分
当一次函数y＝kx＋4（k≠0）图象过线段AB的中点时，
设线段AB的中点为D，
∴点D的坐标为（3，1）
∵CA＝CB
∴CD⊥AB，
∴点A（2，0），B（4，2）到一次函数y＝kx＋4（k≠0）图象的距离相等…………5分
∴
∴
. ………………… 6分
∴k的值为
27．证明：（1）
∵四边形BEDC是正方形，
∴BD⊥EC， ………………… 1分
∴
在四边形ABOC中，
∴
， ………………… 2分
∵
，
∴
………………… 3分
（2）线段AB，AC，AO之间的数量关系是
过点O作OF⊥AO，交AC的延长线于点F. …………………4分
∴
，
，
∵
∴
.
∵
∴
∴
∵四边形BEDC是正方形，
∴OB＝OC，
在△ABO和△FCO中，
，
∴△ABO ≌△FCO，
∴AB＝FC， AO＝FO， ………………… 5分
∴ △AOF是等腰直角三角形，
∴
………………… 6分
∴
∴
. ………………… 7分
28． 解：（1）①E，F ………………… 2分
②过点A作AM⊥y轴于点M，
∴点M的坐标为（0，1）且AM＝2，
∵点B为点A的”和谐点”，
∴BM＝2， ………………… 3分
∴
或
………………… 5分
（2）
或 
………………… 7分