北京市西城区2020-2021学年下学期高二年级期末考试数学试卷

北京市西城区2020-2021学年下学期高二年级期末考试数学试卷

本试卷共150分。考试时长120分钟。

第一部分（选择题
共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 与的等差中项是

2. 已知函数，则

3. 在抛物线上，若横坐标为的点到焦点的距离为，则

4. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为

A.     B.     C.     D.

5. 圆和圆的位置关系为

6. 设是公比为的等比数列，且。若为递增数列，则的取值范围是

7. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记为“正面朝上“出现的次数，则随机变量的方差

8. 在空间直角坐标系中，已知，且的面积为。过作平面于点。若三棱锥的体积为，则点的坐标可以为

9. 记为数列的前项和。若，则

10. 已知函数。若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是

第二部分（非选择题
共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 已知函数，则_____。

12. 已知双曲线的焦距为，则实数_____；的渐近线方程为_____。

13. 甲、乙两地降雨的概率分别为和，两地同时降雨的概率为。则在甲地降雨的条件下，乙地也降雨的概率为_____。

14. 用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_____。（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）

15. 已知点列，其中。是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…。记。则_____；_____。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. （本小题13分）

已知是等比数列，。

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列满足，求的前项和。

17. （本小题13分）

已知函数。

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

18. （本小题15分）

如图，在长方体中，底面是边长为的正方形，，分别为的中点。

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面之间的距离。

19. （本小题14分）

某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：

（Ⅰ）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；

（Ⅱ）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管。

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测。记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望。

（Ⅲ）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额。原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变。设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小。（只需写出结论）

20.（本小题15分）

已知椭圆的离心率为，且过点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点。求证：为的中点。

21. （本小题15分）

已知函数。

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：。

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 12.

13. 14.

15.

注：（12）、（15）题第一空2分，第二空3分。

三、解答题（共6小题，共85分）

16.（共13分）

解：（Ⅰ）设等比数列的公比为．

由题设，， …………2分

解得．
…………4分

所以．
…………6分

（Ⅱ）设等差数列的公差为．

因为，

所以． …………8分

． …………10分

所以的前项和． …………13分

17. （共13分）

解：（Ⅰ）．
…………2分

令，得．
…………4分

与的变化情况如下：

所以的单调递减区间为，单调递增区间为和．

…………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减．

所以在区间上的最大值为．
…………9分

在区间上的最小值为．
…………11分

因为，且，

所以在区间上的最小值为．
…………13分

18.（共15分）

解：（Ⅰ）取的中点，连接．

因为，且；，且，

所以，且．

所以四边形为平行四边形．

所以． …………1分

在矩形中，因为分别为的中点，

所以．所以． …………2分

又平面， …………3分

所以平面． …………4分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系． …………5分

则，，，．

所以，，．

设平面的法向量为，则

　即 …………7分

令，则，，于是． …………8分

设直线与平面所成角为，则

． …………11分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

所以直线与平面之间的距离为点到平面的距离．

…………13分

所以直线与平面之间的距离为

． …………15分

19.（共14分）

解：（Ⅰ）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元“为事件．

由题设，． …………3分

（Ⅱ）（ⅰ）由题设，品牌的牙膏抽取了管，

品牌的牙膏抽取了管，

所以． …………5分

（ⅱ）随机变量的可能取值为．

；
…………6分

；
…………7分

． …………8分

所以的分布列为：

…………9分

的数学期望为． …………11分

（Ⅲ）． …………14分

20.（共15分）

解：（Ⅰ）由题设，得
…………2分

解得
，．

所以椭圆的方程为． …………4分

（Ⅱ）由题意，设直线的方程为．

由　得． …………5分

由，得．

设，，则

，． …………7分

①当时，直线的方程为．

令，得点的横坐标． …………8分

同理可得点的横坐标． …………9分

…………10分

． …………12分

因为，所以．

所以为的中点． …………13分

②当时，，．

直线的方程为，可求得．

所以直线的方程为，从而．

此时依然有． …………15分

综上，为的中点．

21.（共15分）

解：（Ⅰ）函数的定义域为．
…………1分

且，． …………3分

因为，， …………5分

故所求的切线方程为，即．

…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知为上的增函数． …………7分

因为，，

所以存在唯一的，使． …………9分

从而有，． …………11分

因为时，；时，，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．

…………13分

所以．

所以． …………15分