北京市西城区2020－2021学年下学期初中八年级期末考试数学试卷

北京市西城区2020－2021学年下学期初中八年级期末考试数学试卷

本试卷共三道大题，26道小题。满分100分。考试时间100分钟。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是

A．x<4         B．x≥4             C．x>4             D．x≥0

2．如图，在□ABCD中，∠C=70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为

A．30°                 B．25°

C．20°                 D．15°

3．下列各式中是最简二次根式的是

A．             B．                 C．                D．

4．下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是

A．a=1,b=2,c=2                     B．a=2,b=3,c=4

C．a=3,b=4,c=6                     D．a=1,b=1,c=

5．在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如下表所示：

这些运动员成绩的众数是

A．1.65         B．1.70             C．1.75         D．1.80

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=4，D是AB边的中点，则CD的长为

A．             B．2             C．             D．

7．下列命题中，正确的是

A．有一组对边相等的四边形是平行四边形

B．有两个角是直角的四边形是矩形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形

D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

8．学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：

其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕，无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是

A．中位数，众数     B．平均数，方差     C．平均数，众数     D．众数，方差

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为(0，2)，顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为

A．(2，3)                         B．（，3）

C．（，）                     D．（，3）

10．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止，设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则□ABCD的面积为

A．            B．            C．             D．36

二、填空题（本题共21分，第11～15题每小题3分，第16~18题每小题2分）

11．计算：=_______________．

12．已知正方形ABCD的对角线AC的长为，则正方形ABCD的边长为_________________．

13．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若OE=5，则AD的长为_____________．

14．已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n=____________．

15．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD=7，AE=CD=3，则BF的长为_____________．

16．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形，若正方形ABCD的面积为10，AH=3，则正方形EFGH的面积为________________．

17．为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如下表：

如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x=_______________．

18．如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．

(1) ∠DAE=____________°；

(2)点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC=2，BC=3，则PB+PC的最小值为________________．

三、解答题（本题共49分，第19~25题每小题6分，第26题7分）

19．计算：(1)
； (2)
．

20．如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE=DF，EF与对角线AC相交于点O．求证：OE=OF．

21．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈=10尺）

大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB=10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．

(1)图中DE=__________尺，EB=__________尺；

(2)求水的深度与这根芦苇的长度．

22．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．

(1)如图1，当CD⊥AB时，求证：AC=ED；

(2)如图2，当D是AB的中点时，

①四边形ADCE的形状是___________；（填“矩形“、“菱形“或“正方形“）

②若AB=10，ED=8，则四边形ADCE的面积为___________________．

23．对于函数y=|x－1|，小芸探究了该函数的部分性质．

下面是小芸的探究过程，请补充完整：

(1)①对于函数y=|x－1|，当x≤1时，y=－x+1；当x>1时，y=_____________；

②当x≤1时，函数y=|x－1|的图象如图所示，请在图中补全函数y=|x－1|的图象；

(2)当y=3时，x=____________；

(3)若点A（－1，y₁）和B（x₂，y₂）都在函数y=|x－1|的图象上，且y₂>y₁，结合函数图象，直接写出x₂的取值范围．

24．某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如下（两个年级的数据都分成6组：0≤x<2，2≤x<4，4≤x<6，6≤x<8，8≤x<10，10≤x<12）：

b．八年级学生一周阅读时长在6≤x<8这一组的数据是：

6 6 6 6 6.5 6.5 7 7 7 7 7.5 7.5

c．七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

(1)图1中p%=______________%；

(2)①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图2）;

②上表中m的值为______________；

(3)将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是__________年级的学生；（填“七“或“八“)

(4)估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．

25．在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，作射线OB．给出如下定义：如果点P在∠BOA的内部，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，那么称PM与PN的长度之和为点P关于∠BOA的“内距离“，记作d(P，∠BOA)，即d（P，∠BOA）=PM +PN．

(1)如图1，若点P(3，2)在∠BOA的平分线上，则PM=____________，PN=___________，d (P，∠BOA)=___________；

(2)如图2，若∠BOA=75°，点C（a，a）（其中a>0）满足d（C，∠BOA）=，求a的值；

(3)若∠BOA=60°，点Q(m，n)在∠BOA的内部，用含m，n的式子表示d（Q，∠BOA），并直接写出结果．

26．已知∠MON=90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB>OA，点C在线段OA的延长线上，且AC=OB．

(1)如图1，CD∥OB，CD=OA，连接AD，BD．

①△AOB与△____全等，∠OBA+∠ADC=_______________°；

②若OA=a，OB=b，则BD=______________；（用含a，b的式子表示）

(2)如图2，在线段BO上截取BE，使BE=OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE=β．当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．

附加题

试卷满分：20分

一、填空题（本题6分）

1．在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．

例如：由，可得与互为倒数，即，．类似地，，；，；….

根据小腾发现的规律，解决下列问题：

（1）____________，_____________；（n为正整数）

(2)若，则m=____________；

(3)计算：______________.

二、解答题（本题共14分，第2题6分，第3题8分）

2．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，∠ACD=α（60°<α<120°），点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．

(1)求∠PQM的度数；（用含α的式子表示）

(2)若点N是BC的中点，连接NM，NP，PM，求证：△PNM是等边三角形．

3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），我们将|x₁－x₂|+2|y₁－y₂|称为点M与点N的“纵2倍直角距离“，记作d_MN．

例如：点M（－2，7）与N(5，6)的“纵2倍直角距离“d_MN=|－2－5|+2|7－6|=9．

(1)①已知点P₁ (1, 1), P₂(－4，0), P₃（0，），则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离“等于3的点是____________；

②已知点P(x，y)，其中y≥0．若点P与原点O的“纵2倍直角距离“d_PO=3，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形；

(2)若直线y=2x+b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离“等于3，求b的取值范围；

(3)已知点A(1，1)，B(3，1)，点T(t，0)是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为C（，0），D（t，），E（，0），F（t，）．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得d_GH=5，直接写出t的取值范围．

参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共21分，第11～15题每小题3分，第16～18题每小题2分）

11．7． 12．3． 13．10． 14．答案不唯一，如：9． 15．2．

16．4． 17．4或9． 18．(1) 15；(2) ．

（说明：第17题答对一个得1分，全对得2分：第18题每空1分）

三、解答题（本题共49分，第19～25题每小题6分，第26题7分）

19．解：(1)

=………………………………．1分

=……………………………………2分

=……………………………3分

(2)

……………………………2分

.……………………………3分

20．证明：连接EC，AF，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=DC． ………………………2分

∵BE=DF，

∴AB－BE=DC－DF,

即AE=FC．

∴四边形AECF是平行四边形， ………………………………4分

∴OE=OF．…………………………………………6分

21．解：(1)1,5; ……………………………………………………2分

(2)设水的深度EC为x尺，则这根芦苇的长CD=CB=(x+1)尺， …………3分

∵CD⊥AB于点E,

∴∠CEB=90°．

∴在Rt△CEB中，CE²+EB²=CB²．

∴x²+5²=(x+1)²． …………………………………………………………4分

解得x=12． …………………………………………………5分

则x+1=13． …………………………………………………6分

答：水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺．

22．(1)证明：∵AE∥DC, CE∥AB,

∴四边形ADCE是平行四边形， …………………………………………2分

∵CD⊥AB,

∴∠ADC=90°．

∴四边形ADCE是矩形， ………………………………………3分

∴AC=ED． ……………………………………………………4分

(2)解：①菱形； …………………………………………………5分

②24． ………………………………………6分

23．解：(1)①x－1; ………………1分

②如图所示； …………………………2分

(2) －2或4; ……………………4分

(3)x₂<－1或x₂>3．……………………6分

24．解：(1)10； ……………………………………2分

(2)①如图所示； ………3分

②6.25; ……………………………………4分

(3)八； ………………………………5分

(4) 200×(30%+5%)+200×=130（人）． …………………………6分

答：估计两个年级一周课外阅读时长不低于8小时的人数约为130人．

25．解：(1)2，2，4； ……………………………………3分

(2)过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，连接OC，如图．

∵点C的坐标为（a，a），

∴CD=OD=a．

∵∠CDO=90°,

∴在Rt△COD中，∠COD=∠OCD=45°,

.…………4分

∵∠BOA=75°，

∴∠EOC=∠BOA－∠COD=30°．

∴在Rt△EOC中，．

∵d（C，∠BOA）=CD+CE=，

∴．

∴a=2……………………………………5分

(3)
……………………………………6分

26．解：(1)①DCA， …………………………………1分

90； ……………………………………………3分

②（a+b）； …………………………………………4分

(2)β的大小不变，

过点C作CF∥OB，且CF=OA，连接AF交CE于点G，连接BF，如图，

∵CF∥OB,

∴∠BOA+∠ACF=180°．

∵BOA =90°,

∴∠ACF=90°．

∴∠BOA=∠ACF．

在△BOA与△ACF中 ,

∴△BOA≌△ACF． ………………………………………5分

∴BA=AF, ∠1=∠2．

∴∠4=∠5．

∵∠1+∠3=90°,

∴∠2+∠3=90°．

∴∠BAF=180°－(∠2+∠3) =90°．

∴∠5=45°．

∵BE=OA，

∴BE=CF．

∵BE∥CF,

∴四边形BFCE是平行四边形， ………………………………6分

∴BF∥EC．

∴∠6=∠5=45°．

∵∠1+∠7=∠2+∠7=∠6,

∴∠1+∠7=45°．

即β=45°． ………………………………………………7分

附加题

一、填空题（本题6分）

1．解：(1)
；………………………………2分

；…………………………………3分

（2）或； …………………………………5分

(3)9． ……………………………6分

二、解答题（本题共14分，第2题6分，第3题8分）

2．(1)解：如图1．

∵Q，M分别是CD，CE的中点，

∴QM∥DE，QM=
DE．…………………………………1分

∴∠CQM=∠CDE．

∵△DCE是等边三角形，

∴∠CDE=60°．

∴∠CQM=60°． …………………………………2分

∵P是AD的中点，

∴PQ∥AC，PQ=
AC．

∴∠PQC=180°－∠ACD=180°－α．

∴∠PQM=∠PQC+∠CQM=240°－α． …………………………………3分

∴∠PQM=∠PQC+∠CQA=240°－α．………………………………3分

(2)证明：如图2．

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC=BC,DE=CE,∠ACB=∠DCE=∠E=60°．

∵N是BC的中点，

∴NC=
BC=AC．

同理 CM=QM．

∵∠NCM=360°－∠ACB －∠ACD－∠DCE=240°－α,

∴∠NCM=∠PQM．…………………………………………4分

在△NCM与△PQM中，

∴△NCM≌△PQM．

∴NM=PM，∠NMC=∠PMQ．……………………………………5分

∴∠NMC+∠CMP=∠PMQ+∠CMP,

即∠NMP=∠CMQ．

∵∠CMQ=∠E=60°，

∴∠NMP=60°．

∴△PNM是等边三角形．…………………………………6分

3．解：（1）①P₁, P₃； ……………………2分

②如图1所示； …………………………4分

(2)如图2，与原点O的“纵2倍直角距离“等于3的所有点组成的图形是四边形Q₁Q₂Q₃Q₄．

当直线y= 2x+b经过点Q₂(3，0)时，

0=2×3+b，解得b=－6；

当直线y=2x+b经过点Q₄(－3，0)时，

0=2×（－3）+b，解得b=6．

∵直线y=2x+b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离“等于3，

∴b的取值范围是－6<b<6． …………………………………6分

(3)－3≤t≤1或3≤t≤7． ………………………………8分