北京市海淀区2020－2021学年下学期初中八年级期末学业水平调研数学试卷

北京市海淀区2020－2021学年下学期初中八年级期末学业水平调研数学试卷

本试卷共3道大题，25道小题，满分100分；考试时长90分钟。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的．

1．计算的结果为

2．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是

3．将直线向下平移个单位长度后，得到的直线是

4．如图，在中，，，则的度数是

5．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋40双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示：

店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为24 cm的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的

6．如图，在中，，，，则边上的高的长为

7．如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是

8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是

A．        B．        C．        D．

9．如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是

A．            B．            C．            D．

10．如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．下列有四种说法：

①是的函数；        ②是的函数；

③是的函数；        ④是的函数．

其中所有正确结论的序号是

A．①③            B．①④            C．②③            D．②④    

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．

12．函数（是常数，）的图象上有两个点，，当时，，写出一个满足条件的函数解析式：________．

13．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为________．

14．一个水库的水位在最近5h 内持续上涨，下表记录了这5h 内6个时间点的水位高度，其中t 表示时间，y 表示水位高度．

据估计这种上涨规律还会持续2h，预测再过2h 水位高度将为________ m．

15．在平面直角坐标系中，直线（）与直线，直线分别交于，两点．若点，的纵坐标分别为，，则的值为________．

16．某校八年级有600名学生，为了解他们对安全与环保知识的认识程度，随机抽取了30名学生参加安全与环保知识问答活动．此活动分为安全知识和环保知识两个部分．这30名学生的安全知识成绩和环保知识成绩如图所示．根据下图，判断安全知识成绩的方差和环保知识成绩的方差的大小：________（填”>”，”＝”或”<“）．

三、解答题（本题共52分，第17题8分，第18－23题，每小题5分，第24－25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：（1）； （2）．

18．如图，在中，点，分别在，上，且，连接，．

求证：//．

19．下面是小明设计的”过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．

求作：直线AD，使得AD// l.

作法：如图2，

①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；

②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；

③作直线AD．

直线AD 就是所求作的直线．

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接CD．

∵ AB ＝________，BC ＝________，

∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_____________________）（填推理的依据）．

∴ AD// l．

20．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）若点是轴上一点，且的面积是5，求点的坐标．

21．如图，在中，，为边上的中线，点与点关于直线对称，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接BE，若，，求的长．

22．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京和张家口市联合举行．为了解学生对冬奥会冰雪项目的认识程度，某校体育组老师从该校八年级学生中随机抽取了20名学生进行冰上项目和雪上项目的知识测试，获得了他们的测试成绩（百分制），并对数据（测试成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．测试成绩的频数分布表如下：

b．雪上项目测试成绩在这一组的是：

70707071717375

c．冰上项目和雪上项目测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中的值为__________；

（2）在此次测试中，某学生的冰上项目测试成绩为75分，雪上项目测试成绩为73分，这名学生测试成绩排名更靠前的是__________（填”冰上”或”雪上”）项目，理由是________________________________________；

（3）已知该校八年级共有200名学生，假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数．

23．在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．

（1）求点的坐标；

（2）当时，直接写出的取值范围；

（3）已知直线，当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围．

24．在正方形中，是线段上一动点（不与点，重合），连接，，分别过点，作，的垂线交于点．

（1）依题意补全图1，并证明；

（2）过点作∥，交于点，连接．若正方形的边长为1，写出一个的值，使四边形为平行四边形，并证明．

图1                 备用图

25．在平面直角坐标系中，对于点与，给出如下的定义：

将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的”穿越距离”，记作．

例如，已知过点的直线与，其中，，，，如图1所示，则．

请解决下面的问题：

已知，其中，，，．

（1）当时，已知，为过点的直线．

①当时，________________；

当时，________________；

②若，结合图象，求的值；

（2）已知，为过点的直线，若有最大值，且最大值为，直接写出的取值范围．

【试题答案】

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

11．； 12．（答案不唯一）； 13．； 14．； 15．0； 16．．

三、解答题（本题共52分，第17题8分，第18－23题每小题5分，第24－25题每小题7分）

17．解：（1）；

………………………2分

………………………3分

………………………4分

（2）．

………………………1分

………………………3分

………………………4分

18．证明：∵四边形是平行四边形，

∴∥，＝． ………………………2分

∵，

∴．

即． ………………………3分

又∵，

∴四边形是平行四边形． ………………………4分

∴． ………………………5分

19．（1）

………………………2分

（2）， ………………………4分

两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ………………………5分

20．（1）解：设这个一次函数的解析式为（）． ……………………1分

∵一次函数的图象经过点与，

∴ ………………………2分

∴

∴这个一次函数的解析式为． ………………………3分

（2）解：设点的坐标为（）．

∵的面积是5，

∴．

∴或．

∴点的坐标为或． ………………………5分

21．（1）证明：

∵点E与点D关于直线AC对称，

∴CE＝CD，AE＝AD． ………………………1分

∵∠ACB＝90°，为边上的中线，

∴． ………………………2分

∴CE＝CD＝AD＝AE．

∴四边形AECD是菱形． ………………………3分

（2）过E作EN⊥BC交BC的延长线于点N．

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，

∴．

∴．

由勾股定理得．

∵四边形AECD是菱形，

∴EC＝CD＝2，EC//AD．

∴∠ECN＝30°．

∵∠ENC＝90°，

∴．

由勾股定理得． ………………………4分

∴．

∵∠ENC＝90°，

由勾股定理得． ………………………5分

22．（1）72； ………………………1分

（2）雪上； ………………………2分

这名学生的冰上项目测试成绩是75分，小于中位数76分，所以该生冰上项目的成绩在10名以后；这名学生的雪上项目测试成绩是73分，大于中位数72分，所以该生冰上项目的成绩在10名以前，所以这名学生的雪上项目成绩排名更靠前． ……………………3分

（3）在样本中，冰上项目测试成绩在组，的人数分别为6，2，所以样本中冰上项目测试成绩不低于80分的人数为8人．

假设该年级学生都参加此次测试，估计冰上项目测试成绩不低于80分的人数为

． ………………………5分

23．（1）解：由题可知， ………………………1分

解得

∴点的坐标是． ………………………2分

（2）； ………………………3分

（3）． ………………………5分

24．（1）补全图形如图所示：

………………………1分

证明：如图，在BA上截取BM＝BF，连接MF．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD．

∴∠ACB＝45°． ………………………2分

∵CQ⊥AC，

∴∠ACQ ＝90°．

∴∠FCQ＝∠ACB＋∠ACQ＝135°．

∵BM＝BF，∠B＝90°，

∴∠FMB＝∠MFB＝45°，

． ①

∴∠AMF ＝180°－∠FMB＝135°．

∴∠AMF ＝∠FCQ． ② ………………………3分

∵FQ⊥AF，

∴∠AFQ＝90°．

∴∠QFC ＋∠AFB ＝90°．

∵∠B ＝90°，

∴∠BAF ＋∠AFB ＝90°．

∴∠BAF＝∠CFQ． ③

由①②③得△AMF≌△FCQ．

∴AF＝FQ． ………………………4分

（2）当时，四边形FCQN为平行四边形． ………………………5分

证明：如图，在BA上截取BM＝BF，连接MF．

∵，

∴．

由（1）可得△BMF为等腰直角三角形，且△AMF≌△FCQ．

∴． ………………………6分

∵，

∴∠FCQ ＋∠NQC ＝180°．

∵∠FCQ ＝135°，

∴∠NQC ＝45°．

∵∠NCQ ＝90°，

∴∠NQC ＝45°＝∠NQC．

∴．

∴．

∴．

∴四边形FCQN为平行四边形． ………………………7分

25．（1）①； ………………………1分

． ………………………2分

②解：∵直线过点，

∴．

∴．

∴．

如图，．

过作于，则．

∵，

∴．

∴．

∴．

结合图象，由正方形的轴对称性可知，均符合题意． …5分

（2）t的取值范围是． ………………………7分