北京101中学2020-2021学年下学期高二年级期末考试数学试卷
一、选择题:共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若全集U=R，A={x|x<1}，B={x|x>−1}，则( )
(A)A⊆B (B)B⊆A (C)B⊆
A (D)
A⊆B
2．下列数列中，156是其中一项的是( )
(A){n2+1} (B){n2−1} (C){n2+n} (D){n2+n−1}
3．若
，
，
，则( )
(A)x<z<y (B)x<y<z (C)y<x<z (D)z<x<y
4．已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )
(A)ab>ac (B)c(b−a)>0 (C)cb2<ab2 (D)ac(a−c)<0
5．已知x>0，y>0，且x+y=8，则(x+1)(y+1)的最大值为( )
(A)9 (B)16 (C)25 (D)36
6．设a∈R，若关于x的不等式x2−ax+1
0在区间[1，2]上有解，则( )
(A)a≤2 (B)
(C)a≥2 (D)
7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，若实数α满足
，则α的取值范围是( )
(A)[
，+∞) (B)[
，1) (C)[
，2] (D)(0，2]
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列结论正确的是( )
(A)S11>0 (B)S12<0 (C)S13>0 (D)S8>S6
9．已知函数
若关于x的方程a=f(x)恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是( )
(A)(−∞，
)∪[1，2) (B)(0，
)∪[1，2 ) (C)(
，1)∪(
，2) (D)(
，2)
10．关于函数f(x)=sinx−xcosx，下列说法错误的是( )
(A)f(x)是奇函数 (B)0不是f(x)的极值点
(C)f(x)在(
，
)上有且仅有3个零点 (D)f(x)的值域是R
二、填空题:共5小题。
11．若集合A={x|−1≤2x+1≤3}，B={x|
}，则A∩B=_________．
12．写出“
“成立的一个充分不必要条件_________．
13．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x | 1 | 2 | 3 |
f(x) | 1 | 3 | 1 |
x | 1 | 2 | 3 |
g(x) | 3 | 2 | 1 |
满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是_________．
14．已知f(x)=ln(x2+1)，g(x)=(
)x−m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)
g(x2)，则实数m的取值范围是_________．
15．数列{an}中，如果存在ak，使得“ak>ak−1且ak>ak+1“成立(其中k≥2，k∈N∗)，则称ak为{an}的一个峰值．
(1)若an=−3n2+11n，则{an}的峰值为_________；
(2)若an=−3n2+tn，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围是_________．
三、解答题:共4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．已知函数f(x)=x2+a，x∈R．
(1)对任意x1，x2∈R，比较
[f(x1)+f(x2)]与f(
)的大小；
(2)若x∈[−1，1]，都有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围．
17．已知等比数列{an}的首项为2，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且a1+a2=6，2b1+a3=b4，S3=3a2．
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设
，求数列{cn}的前n项和．
18．已知函数f(x)=
是奇函数，且f(2)=
．
(1)求实数m，n的值；
(2)设函数g(x)=f(x)+1，曲线y=g(x)在点P(t，g(t))(t≥
)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的单调区间及最值．
19．若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞)，都有f(s) ≥0，f(t) ≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f(x)为“T函数“
(1)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=ln(x+1)是否是“T函数“，并说明理由；
(2)设函数f(x)为“T函数“，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0，求证：f(x0)=x0；
(3)试写出一个“T函数“，满足f(2)=4，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤2}中元素的个数最少（只需写出你的结论）．
参考答案
1．(2020海淀二模1)D
2．C
3．B
4．(2004高考北京理6)C
5．C
6．B
7．C
8．A
9．C
10．(2018海淀二模理6)C
A．f(−x)=sin(−x)−(−x)cos(−x)=−sinx+xcosx=−f(x)，即f(x)为奇函数，故A正确；
B．f‘(x)=cosx−(cosx−xsinx)=xsinx，f′(0)=0，
当x∈(
，0)时，f′(x)>0，所以f(x)在(
，0)单调递增，
当x∈(0，
)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，
)单调递增，
所以x=0不是极值点，故B正确；
C．f′(x)=xsinx，当x∈(
，
)时，f′(x)≥0，f(x)在区间(
，
)上单调递增，
又因为f(0)=0，所以f(x)在区间(
，
)上只存在一个零点，故C错；
D．f(x)在R上连续，当x=2kπ(k∈Z)时，f(2kπ)=sin2kπ−2kπcos2kπ=−2kπ，
所以f(x)的值域为R，故D正确．
11．(0，1]．
12．(2019石景山高三上期末理12)x=−2(答案不唯一)．
13．2．
14．[
，+∞)．
15．(2012海淀高三上期中理(改编)14)10；{t|t≤9或t=6n+9，n∈N∗}．
16．f(x)=x2+a．
(1)
，
所以
，当且仅当x1=x2时取到等号．
(2)|f(x)|≤1在[−1，1]恒成立；−1≤f(x) ≤1在[−1，1]恒成立；
又f(x)对称轴是x=0，且开口向上；
fmax(x)=max{f(−1)，f(0)，f(1)}；fmin(x)=min{f(−1)，f(0)，f(1)}；
−1≤f(x) ≤1在[−1，1]恒成立等价于
所以
所以
，即a的取值范围是[−1，0]．
17．(2019东城一模文16)
(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d．
由a1+a2=6，得a1+a1q=6．因为a1=2，所以q=2．
所以an=a1qn−1=2·2n−1=2n．
由
得
解得
所以bn=b1+(n−1)d=3n−2．
(2)由(1)知an=2n，bn=3n−2．所以
．
从而数列{cn}的前n项和
．
18．(1)f(x)是奇函数，且f(2)=
，所以f(−2)=
，
从而
解得
经检验，此时
是奇函数．
所以m=1，n=0．(2)g(x)=f(x)+1=x−
+1，g′(x)=1+
，切点P(t，t−
+1)(
)．
切线斜率k=1+
，
切线方程为y−(t−
+1)=(1+
)(x−t)，即y=(1+
)x−
+1，
与两数轴的交点为(0，
)和(
，0)．
由于切线与坐标轴围成三角形，t≠2，
，其中
且t≠2，
．
因为
且t≠2，所以：
t | [ | (2，+∞) |
S′(t) | − | + |
S(t) | ↘ | ↗ |
S(t)单调增区间为(2，+∞)，单调减区间为[
，2)，无极值．
，
且当t>2时，
，
当t∈(
，2)时，S(t)<S(
)=
，
所以S(t)的最大值为S(
)=
．
由S(t)在区间(
，2)和区间(2，+∞)上的连续性知，S(t)无最小值．
19．(1)f1(x)=x2是T函数，f2(x)=ln(x+1)不是T函数，理由如下：
对于f1(x)=x2，∀s，t∈[0，+∞)，都有f1(s)≥0，f1(t) ≥0，
f1(s)+f1(t)−f1(s+t)=s2+t2−(s+t)2=−2st≤0，f1(s)+f1(t)
≤f1(s+t)，
所以f1(x)=x2是T函数．
当s>0，t>0时，f2(s)+f2(t)−f2(s+t)=ln(s+1)+ln(t+1)−ln(s+t+1)=ln(1+
)．
因为s>0，t>0，所以f2(s)+f2(t)−f2(s+t)=ln(1+
)>0，
不满足f2(s)+f2(t)≤f2(s+t)，所以f2(x)=ln(x+1)不是T函数．
(2)设x1，x2∈[0，+∞)，x2>x1，设∆x=x2−x1，则∆x>0，x1>0．
由已知得：f(x2)=f(x1+∆x)≥f(x1)+f(∆x) ≥f(x1)．
若存在x0∈[0，+∞)，使得f(f(x0))=x0，
若f(x0)>x0，则f(f(x0)) ≥f(x0)>x0，与f(f(x0))=x0矛盾；
若f(x0)<x0，则f(f(x0))≤f(x0)<x0，与f(f(x0))=x0矛盾．
综上f(f(x0))=x0．
(3)
．（答案不唯一）