本试卷共三道大题，26道小题。满分100分。考试时间100分钟。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
第1～l0题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．3-2的计算结果为
A．6 B．
C．
D．9
2．下列图形中，是轴对称图形的是
3．下列运算中正确的是
A．a2+a=a3 B．a5·a2=a10 C． (a2)3=a8 D．
（ab2）2=a2b4
4．如图，在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是
A．∠A=∠D，∠B=∠E B．AC=DF，AB=DE
C．∠A=∠D,AB=DE D．AC=DF,CB=FE
5．化简分式
的结果是
A．
B．
C．
D．
6．如果m2+m=5，那么代数式m(m-2)+(m+2)2的值为
A．14 B．9 C．-1 D．-6
7．已知一次函数y=kx-6，且y随x的增大而减小．下列四个点中，可能是该一次函数图象与x轴交点的是
A．(0,0) B．(2,0) C．(-2,0) D．(6,0)
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB=7，AC=9，BC=12，则△DBE的周长为
A．9 B．10
C．11 D．12
9．在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座450m高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15min．如果设甲组的攀登速度为x m/min，那么下面所列方程中正确的是
A．
B．
C．
D．
10．如图1，四边形ABCD是轴对称图形，对角线AC，BD所在直线都是其对称轴，且AC，BD相交于点E．动点P从四边形ABCD的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动，设点P运动的时间为x，线段EP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则点P的运动路径可能是
A．C→B→A→E B．C→D→E→A
C．A→E→C→B D．A→E→D→C
二、填空题（本题共18分，第15，17题每小题3分，其余每小题2分）
11．若分式
有意义，则x的取值范围是_________．
12．点A（1，－3）关于x轴对称的点的坐标为_________．
13．计算：10a2b3÷（－5ab3）=_________．
14．如图，△ABC≌△ADE，点D在边BC上，∠EAC=36°，则∠B=_________°．
15．已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上，小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回家．下面的图象反映了这个过程中小腾离家的距离y（单位：m）与时间x（单位：min）之间的对应关系．根据图象可知，小腾从食堂到图书馆所用时间为_________min;请你根据图象再写出一个结论：____________________________________。
16．如图1，先将边长为a的大正方形纸片ABCD剪去一个边长为b的小正方形EBGF，然后沿直线EF将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形AEGC．根据图1和图2的面积关系写出一个等式：__________________．（用含a，b的式子表示）
17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E．若AD=12，则DE=_________；△EDC与△ABC的面积关系是：
_________．
18．如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P．
下列结论中，所有正确结论的序号是_________．
①b<0；②ac<0；③当x>1时，ax+b>cx+d；
④a+b=c+d；⑤c>d，
三、解答题（本题共52分，第19题8分，第20～24题每小题6分，第25，26题每小题7分）
19．分解因式：
(1)x3－25x； (2)m（a－3）+2（3－a）．
20．计算：
.
21．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在△ABC中，∠ACB=90°．
求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．
下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，
①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D;
②作直线CD．
所以直线CD就是所求作的直线．
根据小红设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明，
证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，
∴DC=DB．(__________________)（填推理的依据）
∴∠_____________=∠_____________．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°－∠DCB，
∠A=90°－∠_________．
∴∠ACD=∠A．
∴DC=DA．(__________________)（填推理的依据）
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
22．解方程：
．
23．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A=∠E，AC=ED．
(1)求证：BC=CD；
(2)连接BD，求证：∠ABD=∠EBD．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线
与x轴交于点A．
直线
与x轴交于点B，且与直线l1交于点C（-1，m）．
(1)求m和b的值；
(2)求△ABC的面积；
(3)若将直线l2向下平移t(t>0)个单位长度后，所得到的直线与直线l1的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．
25．给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2((c，b)，P3(c，d)，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距“．
例如：如图，点P1（-1，2），P2(1，2)，P3(1，3)的“最佳间距“是1．
(1)点Q1(2，1)，Q2(4，1)，Q3(4，4)的“最佳间距“是_________，
(2)已知点O(0，0)，A（-3，0），B（-3，y）．
①若点O，A，B的“最佳间距“是1，则y的值为__________，
②点O，A，B的“最佳间距“的最大值为_____________；
(3)已知直线l与坐标轴分别交于点C(0，3)和D(4，0)，点P(m，n)是线段CD上的一个动点．当点O(0，0)，E(m，0)，P(m，n)的“最佳间距“取到最大值时，求此时点P的坐标．
26．课堂上，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC．
求证：∠ABC=2∠ACB．
小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明结论．
(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法“，那么还可以用“补短法“通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=____________，连接DF．
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；
(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：
如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．
请你解答小芸提出的这个问题；
(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：
如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC．
小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明.
数学附加题
试卷满分：20分
一、填空题（本题6分）
1．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
，
.
参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将
变形为满足以上结果要求的形式：
=________________；
(2)①将
变形为满足以上结果要求的形式：
=____________；
②若
为正整数，且a也为正整数，则a的值为___________．
二、解答题（本题共14分，第2题6分，第3题8分）
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3与x轴的负半轴交于点A．与y轴交于点B．点C在第四象限，BC⊥BA，且BC=BA．
(1)点B的坐标为_________，点C的横坐标为_________；
(2)设BC与x轴交于点D，连接AC，过点C作CE⊥x轴于点E．若射线AO平分∠BAC，用等式表示线段AD与CE的数量关系，并证明．
3．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，定义如下：
点M与点N的“直角距离“为
，记作dMN·
例如：点M(1，5)与N(7，2)的“直角距离“
．
(1)已知点P1（－1，0），P2（
，
），P3（
，
），P4（
，
），则在这四个点中，与原点O的“直角距离“等于1的点是_________；
(2)如图，已知点A(1，0)，B(0，1)，根据定义可知线段AB上的任意一点与原点O的“直角距离“都等于1．
若点P与原点O的“直角距离“dOP=1，请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全；
(3)已知直线y=kx+2，点C(t，0)是x轴上的一个动点．
①当t=3时，若直线y=kx+2上存在点D，满足dCD=1，求k的取值范围；
②当k=-2时，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上任意一点H都满足1≤dCH≤4，直接写出t的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | B | C | D | A | B | A | C | B | B | D |
二、填空题（本题共18分，第15，17题每小题3分，其余每小题2分）
11． x≠4． 12．(1,3)． 13． -2a． 14．72．
15．12; 答案不唯一，如：小腾家到图书馆的距离为1200米．
16．答案不唯一，如：
． 17．6；
． 18．②，④，⑤．
（说明：第15，17题第一个空2分，第二个空1分：第18题答对一个得1分，全对得2分）
三、解答题（本题共52分，第19题8分，第20-24题每小题6分，第25，26题每小题7分）
19．解：(1)x3-25x
=x(x2-25) ……………………………………2分
=x(x+5)（x-5）． …………………………………4分
(2)m(a-3)+2(3-a)
= m(a-3)- 2(a-3) ……………………………………2分
=（a-3）（m-2）．…………………………………………4分
20．解：
…………………………2分
……………………3分
…………………………………………5分
.…………………………6分
21．解：(1)补全图形，如图所示： …………………………2分
(2)证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，
点D在直线MN上，
∴DC=DB．
（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等） ……………………3分
∴∠DCB=∠B， ………………………4分
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°-∠DCB，
∠A=90°-∠B． ……………………………5分
∴∠ACD=∠A．
∴DC=DA．（等角对等边） …………………………6分
∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．
22．解：方程两边同乘x(x-3)，…………………………1分
得 x2+x+8=x(x-3)． ………………………3分
整理，得4x=-8．
解得x= -2． ……………………………5分
检验：当x=-2时，x(x-3)≠0．
所以，原分式方程的解为x=-2． …………………………6分
23．证明：(1)∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠ECD．…………………………1分
在△ABC与△ECD中，
∴△ABC≌△ECD．…………………………………3分
∴BC=CD． …………………………………4分
(2)如图,
∴∠CBD=∠CDB． ………………………………5分
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD,
∠EBD=∠BCD+∠CDB，
∴∠ABD=∠EBD．…………………………6分
24．解：（1）∵直线
与直线
交于点C（-1，m）
∴
…………………………1分
∴2=2×（-1）+b
∴b=4． …………………………………2分
(2)过点C作CD⊥x轴于点D，如图．
直线
，当y=0时，x=2；
直线
，当y=0时，x=-2；
∴A(2，0)，B(-2，0)．
∴AB=4．
∴
…………………………4分
（3）
.………………………6分
25．解：(1)2； ………………………………………………2分
(2)①1或-1； ……………………………………………4分
②3； …………………………………………5分
(3)设直线l的表达式为y=kx+b．
∵直线l经过点C(0，3)和D(4，0)，
∴
解得
∴直线l的表达式为
． ……………………6分
∵点P(m，n)是线段CD上的一个动点，
∴
如图，当OE=PE时，点O，E，P的“最佳间距“取到最大值．
∴
解得
∴此时点P的坐标为（
，
）． ………………7分
26．解：(1) BD，…………………………………1分
如图1所示； ………………2分
(2)证明：在AC上截取AE,使AE=AB，连接DE,
如图2．
则AC=AE+EC=AB+EC．
∵AC=AB+BD,
∴EC=BD．
∵AD, BD, CD分别平分∠BAC, ∠ABC, ∠ACB,
∴∠1=∠2，∠ABC=2∠3, ∠ACB=2∠4．
在△ABD与△AED中，
∴△ABD≌△AED．
∴∠3=∠5，BD=ED．
∴EC=ED．
∴∠4=∠6．
∴∠5=∠4+∠6=2∠4=∠ACB．
∴∠3=∠ACB．
∴∠ABC=2∠3=2∠ACB．………………………5分
(3)证明：延长AB至E，使BE=BD，连接ED，EC，如图3．
∵BE=BD，
∴∠1=∠2．
∴∠ABC=∠1+∠2=2∠1．
∵∠ABC=2∠ACB,
∴∠1=∠ACB．
∵AE=AB+BE=AB+BD=AC,
∴∠AEC=∠ACE．
∵∠3=∠AEC-∠1，∠4=∠ACE-∠ACB,
∴∠3=∠4．
∴DE=DC．
在△AED与△ACD中，
∴△AED≌△ACD．
∴∠5=∠6．
∴AD平分∠BAC． ………………………………7分
附加题参考答案
一、填空题（本题6分）
1．解：(1)
；…………………………………………………2分
(2)①
；…………………………………………………4分
②2或6． …………………………………………………6分
二、解答题（本题共14分，第2题6分，第3题8分）
2．解：(1)(0，3)， ……………………………………………………2分
3； ……………………………………………………3分
(2) AD=2CE． ……………………………………………………4分
证明：延长CE交直线AB于点F，如图．
∵BC⊥BA，
∴∠ABD=∠CBF=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵CE⊥x轴于点E,
∴∠AEF=∠AEC=90°．
∴∠3+∠2=90°．
∴∠3=∠1．
在△ABD与△CBF中，
∴△ABD≌△CBF．
∴AD=CF．
∵射线AD平分∠BAC,
∴∠3=∠4．
∴∠2=∠ACE．
∴AF=AC．
∴CF=2CE．
∴AD=2CE． ………………………………………………6分
3．解：(1) P1，P4； ……………………………………2分
(2)如图1所示； ………………………………4分
(3)①如图2，与点C的“直角距离“等于1的点组成的图形是四边形MNST．
当直线y=kx+2经过点M(3，1)时，
l=3k+2，解得
；
当直线y=kx+2经过点N(2，0)时，
0=2k+2，解得k=-1，
此时点S（3，-1）也在这条直线上，
∵直线y=kx+2上存在点D，满足dCD=1，
∴k的取值范围是
． ……………6分
②-2≤t≤0或t=2． …………………8分