本试卷共150分。考试时长120分钟。
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合
，则
＝
A. {0} B. {1} C. {2} D. {1，2}
2. 已知
是公差为d的等差数列，
为其前n项和，若
，则
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递增的是
A. 
B. 
C. 
D.
4. 将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为
5. 与圆
相切于点（2，2）的直线的斜率为
A. －2 B. 
C. 
D. 2
6. 函数
的部分图象如图所示，则
＝
A. 
B. 
C. 
D.
7. 设a，b是两个不共线向量，则”a与b的夹角为锐角”是”a⊥（a－b）”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有
A. 242种 B. 220种 C. 200种 D. 110种
9. 已知抛物线
的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且
，则点A到y轴的距离为
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
10. 某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：
①10人（含）以上团体购票9折优惠；
②50人（含）以上团体购票8折优惠；
③100人（含）以上团体购票7折优惠；
④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）。
现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为
A. 1090元 B. 1171元 C. 1200元 D. 1210元
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
11. 复数
＝_____________。
12. 函数
的定义域是_____________。
13. 已知
，则
＝___________，
＝___________。
14. 已知双曲线
，△ABC为等边三角形，若点A在y轴上，点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为△ABC的中位线，则双曲线M的离心率为_________。
15. 已知函数
，其中
表示不超过x的最大整数。
例如：
。
①
＝____________；
②若
对任意
都成立，则实数a的取值范围是__________。
三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
如图，在四棱锥
中，PD⊥平面ABCD，PD＝4，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为PB，PC的中点。
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值。
17.（本小题13分）
已知函数
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）
的最小正周期；
（Ⅱ）
在区间
上的最大值。
条件①：
；
条件②：
。
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
18.（本小题14分）
为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400]（单位：克），其频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）用分层抽样的方法从样本里质量在[250，300），[300，350）的水果中抽取6个，求质量在[250，300）的水果数量；
（Ⅱ）从（Ⅰ）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在[300，350）的水果数量，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）果园现有该种水果约20 000个，其等级规格及销售价格如下表所示，
质量m（单位：克） |
|
|
|
等级规格 | 二等 | 一等 | 特等 |
价格（元/个） | 4 | 7 | 10 |
试估计果园该种水果的销售收入。
19.（本小题15分）
已知椭圆
过点
，且离心率为
。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G（E，G不重合），ET⊥x轴，垂足为T。求证：
。
20.（本小题15分）
已知函数
。
（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线平行于直线
，求该切线方程；
（Ⅱ）若
，求证：当
时，
；
（Ⅲ）若
恰有两个零点，求a的值。
21.（本小题15分）
给定正整数
，若数列
满足：
，
，则称数列A具有性质
。
对于两个数列B：
定义数列
（Ⅰ）设数列A具有性质
，数列B的通项公式为
，求数列
的前四项和；
（Ⅱ）设数列
具有性质
，数列B满足
且
，若存在一组数列
，使得
…
为常数列，求出m所有可能的值；
（Ⅲ）设数列
具有性质
（常数
），数列B满足
且
，若存在一组数列
，使得
…
为常数列，求k的最小值。（只需写出结论）
【试题答案】
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. D 2. C 3. D 4. B 5. A
6. A 7. B 8. C 9. C 10. B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 
12. 
13. 
14.
15. 
三、解答题（共6小题，共85分）
16.（共13分）
解：（Ⅰ）因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD，
因为底面ABCD是正方形，
所以AD⊥CD，
因为
，
所以AD⊥平面PCD，
又因为
平面ADE，
所以平面ADE⊥平面PCD。 4分
（Ⅱ）因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥AD，PD⊥CD，
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD。
如图建立空间直角坐标系
。
因为PD＝4，底面ABCD为边长为2的正方形，
所以
，
，
则
。
设平面ADE的法向量
，
由
可得
令
，则
，
所以
。
设直线BF与平面ADE所成角为
，
则
，
所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为
。 13分
17.（共13分）
解：选条件①：
；
（Ⅰ）
。
所以
的最小正周期是
。 7分
（Ⅱ）因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
当
，即
时，
有最大值
。 13分
选条件②：
。
（Ⅰ）
。
所以
的最小正周期是
。 7分
（Ⅱ）因为
，
所以
，
所以
，
当
，即
时，
有最大值1。 13分
18.（共14分）
解：（Ⅰ）质量在
的该种水果的频率分别为
，
，其比为2：1，
所以按分层抽样从质量在
的这种水果中随机抽取6个，
质量在
的该种水果有4个。 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6个水果中有2个质量在
，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
。
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
故X的数学期望
。 10分
（Ⅲ）由频率分布直方图可知，质量在
，
的该种水果的频率分别为0.1，0.1，
，
所以估计20000个水果中，二等品有
个；
一等品有
个；
特等品有
个。
果园该种水果的销售收入为
（元）。 14分
19.（共15分）
解：（Ⅰ）依题意，得
解得
，
所以椭圆C的方程为
。 4分
（Ⅱ）由题设知直线
的斜率存在，设直线
的方程为：
，
由
消去y，整理得
。
依题意，有
，解得
。
设
，则
，
因为ET⊥x轴，所以
，
所以
。
又因为
，
所以
。 15分
20.（共15分）
解：（Ⅰ）因为
，所以
，故
，
所以
，
所以切线方程为
，即
。 4分
（Ⅱ）当
时，
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在区间（0，2）上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
的最小值为
，
故
时，
。 10分
（Ⅲ）对于函数
。
（i）当
时，
没有零点；
（ii）当
时，
。
当
时，
，所以
在区间
上单调递增；
当
时，
，所以
在区间（0，2）上单调递减；
当
时，
，所以
在区间
上单调递增，
所以
是
的极大值，
是
的极小值。
因为
，
所以
在
上有且只有一个零点。
由于
，
①若
，即
在区间
上没有零点；
②若
，即
在区间
上只有一个零点；
③若
，即
，由于
，所以
在区间
上有一个零点。
由（Ⅱ）知，当
时，
，
所以
，
故
在区间
上有一个零点，
因此
时，
在区间
上有两个零点。
综上，当
有两个零点时，
。 15分
21.（共15分）
解：（Ⅰ）数列
的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，为2＋10＝12。
4分
（Ⅱ）由题知
，数列
满足：
，所以只考虑数列
和
的前四项，
取
为
，可使
的前四项为4，4，4，4，所以m＝1成立；
取
为1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使
的前四项为4，4，4，4，所以
成立；
取
为
；
，可使
的前四项为
，所以
成立；
当
时，
前四项是
，所以对任意的
不会是常数列；
综上，
。 12分
（Ⅲ）
。 15分