北京市海淀区2021届下学期高三年级期中练习数学试卷（一模）

本试卷共150分。考试时长120分钟。

第一部分（选择题
共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合，若，则实数a的取值范围是

A.         B.         C.         D.

2. 如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为

A. 1                B. －1            C. 2                D. －2

3. 已知为等差数列，为其前n项和，若，则＝

A. －5            B. －4            C. －3            D. －2

4. 在的展开式中，的系数为12，则a的值为

A. 2                B. －2            C. 1                D. －1

5. 函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是

A. ①②            B. ②            C. ③            D. ②③

6. 已知函数满足，且当时，，则＝

A. －2            B. －1            C. 1                D. 3

7. 已知是单位向量，，若a⊥c，则｜c｜＝

A. 3                B.             C.             D.

8. 已知点，则”△ABC是等边三角形”是”直线AB的斜率为0“的

A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件             D. 既不充分也不必要条件

9. 设无穷等比数列的前n项和为，若，则

A. 为递减数列                    B. 为递增数列

C. 数列有最大项                    D. 数列有最小项

10. 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为”牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h的平面为α，记平面α截牟合方盖所得截面的面积为S，则函数S＝f（h）的图象是

第二部分（非选择题
共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

11. 已知函数，若曲线在点处的切线的斜率为2，则实数a的值是___________。

12. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为____________。

13. 已知点，则＝__________；若B是以OA为边的矩形的顶点，则m＝___________。

14. 若实数满足方程组则的一个值是___________。

15. 对平面直角坐标系xOy中的两组点，如果存在一条直线使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为”分类直线”，对于一条分类直线，记所有的点到的距离的最小值为，约定：越大，分类直线的分类效果越好。某学校高三（2）班的7位同学在2020年期间网购文具的费用x（单位：百元）和网购图书的费用y（单位：百元）的情况如图所示。现将P₁，P₂，P₃和P₄归为第Ⅰ组点，将Q₁，Q₂和Q₃归为第Ⅱ组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L。给出下列四个结论：

①直线比直线的分类效果好；

②分类直线L的斜率为2；

③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于L的同侧；

④如果从第Ⅰ组点中去掉点P₁，第Ⅱ组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L。

其中所有正确结论的序号是____________。

三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（本小题共14分）

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，，
。

（Ⅰ）求cos∠BDC；

（Ⅱ）求BC的长。

17.（本小题共14分）

在如图所示的多面体中，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2。

（Ⅰ）求证：平面ABE∥平面CDF；

（Ⅱ）设平面BEF∩平面CDF＝，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角的大小确定，并求此二面角的余弦值。

条件①：AB⊥AD；

条件②：AE⊥平面ABCD；

条件③：平面AED⊥平面ABCD。

18.（本小题共14分）

每年的4月23日是联合国教科文组织确定的”世界读书日”，又称”世界图书和版权日”。为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图。

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列；

（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用”P₂₀（k）”表示这20名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，其中k＝0，1，2，…，20。当P₂₀（k）最大时，写出k的值。（只需写出结论）

19.（本小题共15分）

已知函数。

（Ⅰ）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；

（Ⅱ）求证：函数在内有且只有一个极值点；

（Ⅲ）求函数在区间上的最小值。

20.（本小题共14分）

已知椭圆过，两点。

（Ⅰ）求椭圆M的离心率；

（Ⅱ）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点。

21.（本小题共14分）

已知无穷数列，对于，若同时满足以下三个条件，则称数列具有性质。

条件①：；

条件②：存在常数，使得；

条件③：。

（Ⅰ）若，且数列具有性质，直接写出m的值和一个T的值；

（Ⅱ）是否存在具有性质P（1）的数列？若存在，求数列的通项公式；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）设数列具有性质，且各项均为正整数，求数列的通项公式。

【试题答案】

1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2. 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。

11. －1            12.         13. 5        

14. 0，答案不唯一，满足或即可

15. ②③④

三、解答题：共6小题，共85分。

16.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）在△ABD中，因为，cos∠ADB＝，

所以，

所以cos∠ABD＝

。

因为AB∥CD，

所以，

所以。

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得。

因为，

所以。

因为，

在△CBD中，由余弦定理得

＝11。

所以。

17.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为四边形ACFE为矩形，

所以CF∥AE。

又因为AB∥CD，平面ABE，AE平面ABE，CD平面CDF，CF平面CDF，

所以，平面ABE∥平面CDF。

（Ⅱ）选择①②，或①②③

因为AE⊥平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，

所以AE⊥AB，AE⊥AD。

又因为AB⊥AD，

所以，分别以AB，AD，AE所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得

，

所以＝，。

设平面BEF的法向量为，则

即

令，则，

于是。

由（Ⅰ）可得：AD⊥平面CDF，

取平面CDF的一个法向量为，

所以，

所以，二面角的余弦值为，

选择①③

因为
平面AED⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，

AB⊥AD，平面ABCD，

所以 AB⊥平面AED。

又因为
平面AED，

所以 AB⊥AE。

在矩形ACFE中，AE⊥AC，

因为
平面ABCD，平面ABCD，，

所以 AE⊥平面ABCD。

又因为
平面ABCD，

所以 AE⊥AD。

分别以AB，AD，AE所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，

所以，

设平面BEF的法向量为，则

即

令，则，

于是。

由（Ⅰ）可得：AD⊥平面CDF，

取平面CDF的一个法向量为，

所以，

所以
二面角的余弦值为。

18.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得：

解得。

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，这500名学生中日平均阅读时间在，三组内的学生人数分别为人，人，人。

若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取了人。

现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3。

，

，

，

。

所以X的分布列为

（Ⅲ）。

19.（本小题共15分）

解：（Ⅰ）由题意知，，

因为，

所以，

所以在上单调递增。

（Ⅱ）设，则，

当时，，

所以在内单调递减。

又因为，

所以，存在唯一，使得，

与在区间上的情况如下：

所以在内有且只有一个极值点。

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，在内单调递增，在内单调递减。

又因为，

所以，当时，。

又因为，当时，，

所以
，当且仅当时等号成立，

所以
在上的最小值为。

20.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为
点都在椭圆M上，

所以
，

所以
，

所以
椭圆M的离心率。

（Ⅱ）方法一：

由（Ⅰ）知椭圆M的方程为，

由题意知：直线AB的方程为，

设，

因为
三点共线，所以有∥，

所以 ，

所以 ，

所以 。

因为 三点共线，

所以 ，即，

所以 ，

所以
直线QS的方程为，

即。

又因为
点P在椭圆M上，所以，

所以
直线QS的方程为，

所以
直线QS过定点（2，1）。

方法二：

直线QS过定点T（2，1），理由如下：

设直线BP为，直线CP为
。

所以
直线BP与x轴的交点。

因为
直线AB的方程为，

所以
直线CP与直线AB的交点，

所以
直线TS的斜率，直线TQ的斜率，

所以
。

将代入方程得，

所以
点P的横坐标为，则。

将点P的坐标代入直线CP的方程，整理得

，

所以
。

因为
，所以
，

所以
，

所以
直线QS过定点T（2，1）。

21.（本小题共14分）

解：（Ⅰ）；

答案不唯一，如。

（Ⅱ）不存在具有性质P（1）的数列，理由如下：

假设存在具有性质P（1）的数列，设为，则，

所以
。

因为
，

所以
，即，

所以
，即，…，

。

累加得，，

对于常数，当时，T，与②矛盾，

所以
不存在具有性质P（1）的数列。

（Ⅲ）因为数列具有性质，由（Ⅱ）知。

①当时，，即，

所以
。

若（c为常数，且），则。

经检验，数列具有性质。

若，当时，，

与矛盾。

②当时，令，则

，

所以
，

所以
，

所以
，

所以
，

所以
。

当时，，与矛盾。

综上所述，数列的通项公式为（c为常数，且）。