北京市朝阳区2021届下学期高三年级质量检测一数学试卷（一模）

（考试时间120分钟
满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题
共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A＝｛-1，0，1，2，3｝，B＝｛x|x-1≥0｝，则A∩B＝

A. ｛0，1，2，3｝    B. ｛1，2，3｝        C. ｛2，3｝        D. ｛3｝

2. 如果复数（b∈R）的实部与虚部相等，那么b＝

A. -2                B. 1                    C. 2                D. 4

3. 已知等差数列｛a_n｝的前n项和为S_n，a₃＝1，S₉＝18，则a₁＝

A. 0                    B. -1                C. -2            D. -3

4. 已知圆x²＋y²＝4截直线y＝kx＋2所得弦的长度为2，则实数k＝

A.                 B. –                C. ±            D. ±

5. 已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为

A. y=±x            B. y=±x            C. y= ±x        D. y=±2x

6. 在△ABC中，若a²-b²＋c²＋ac＝0，则B＝

A.                 B.                 C.             D.

7. 某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为

A. 2                    B.             C.                 D. 2

8. 在△ABC中，”tanAtanB＜1″是“△ABC为钝角三角形“的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

9. 已知抛物线C：y²＝4x的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点。若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，则|PA|＋|PO|（O为坐标原点）的最小值为

A. 8                B. 2            C.             D. 6

10. 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是线段BC₁上的点，过A₁的平面与直线PD垂直。当P在线段BC₁上运动时，平面截正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得的截面面积的最小值是

A. 1                B.             C.             D.

第二部分（非选择题
共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 在（x＋）⁸的展开式中，x⁴的系数为_________。（用数字作答）

12. 已知函数f（x）＝则f（0）＝_________；f（x）的值域为_________。

13. 已知向量a＝（，1），b＝（x，y）（xy≠0），且|b|＝1，a·b＜0，则向量b的坐标可以是________。（写出一个即可）

14. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元。现计划在“五一“期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型m＝3-。若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入_________万元。

15. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌“的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用。在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f（x）是定义在R上的函数，对于x₀∈R，令x_n＝f（x_n-1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x_k＝x₀，且当0＜j＜k时，x_j≠x₀，则称x₀是f（x）的一个周期为k的周期点。给出下列四个结论：

①若f（x）＝e^x-1，则f（x）存在唯一一个周期为1的周期点；

②若f（x）＝2（1-x），则f（x）存在周期为2的周期点；

③若f（x）＝则f（x）不存在周期为3的周期点；

④若f（x）＝x（1-x），则对任意正整数n，都不是f（x）的周期为n的周期点。

其中所有正确结论的序号是_________。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

已知函数f（x）＝Asin（x＋）（A＞0，＞0，0＜＜）由下列四个条件中的三个来确定：

①最小正周期为；②最大值为2；③f（–）＝0；④f（0）＝-2。

（I）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间。

17.（本小题13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1。在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2。

（I）求证：AB∥平面POC；

（Ⅱ）求二面角B-AP-D的余弦值。

18.（本小题14分）

我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困。为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：

假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立。

（I）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率；

（Ⅱ）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元。根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由。

19.（本小题15分）

已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0，1），B（0，-1），离心率为。

（I）求椭圆C的方程及焦点的坐标；

（Ⅱ）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y＝3交于点P，直线MB与直线y＝3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由。

20.（本小题15分）

已知函数f（x）＝（ax-1）e^x（a∈R）。

（I）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若直线y＝ax＋a与曲线y＝f（x）相切，求证：a∈（-1，–）。

21. （本小题15分）

设数列A_m：a₁，a₂，…，a_m（m≥2），若存在公比为q的等比数列B_m＋1：b₁，b₂，…，b_m＋1，使得b_k＜a_k＜b_k＋1，其中k＝1，2，…，m，则称数列B_m＋1为数列A_m的“等比分割数列“。

（I）写出数列A₄：3，6，12，24的一个“等比分割数列“B₅；

（Ⅱ）若数列A₁₀的通项公式为a_n＝2ⁿ（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列“B₁₁的首项为1，求数列B₁₁的公比q的取值范围；

（Ⅲ）若数列A_m的通项公式为a_n＝n²（n＝1，2，…，m），且数列A_m存在“等比分割数列“，求m的最大值。

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1. B        2. A        3. A        4. D        5. A     

6. D        7. C        8. C        9. B        10. C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. 28

12. 1；（-∞，2）

13. （–，）（答案不唯一）

14. 3

15. ①④

三、解答题（共6小题，共85分）

16.（共13分）

解：（I）确定f（x）的三个条件是①，②，③。

当A＞0且0＜＜时，Asin＞0。

若函数f（x）满足条件④，则f（0）＝Asin＝-2，

与Asin＞0矛盾，所以f（x）不能满足条件④。

所以能确定f（x）的三个条件是①，②，③。

由条件①，得＝，又＞0，所以＝2。

由条件②，得|A|＝2，又A＞0，所以A＝2。

由条件③，得f（–）＝2sin（–＋）＝0，又0＜＜，所以＝。

所以f（x）＝2sin（2x＋）。

经验证，f（x）＝2sin（2x＋）符合题意。 ……7分

（Ⅱ）函数y＝sinx的单调递增区间为［2k–，2k＋］（k∈Z）。

由2k–≤2x＋≤2k＋（k∈Z），

得k–≤x≤k＋（k∈Z）。

所以f（x）的单调递增区间为［k–，k＋］（k∈Z）.…13分

17.（共13分）

解：（I）在四边形ABCD中，

因为BC∥AD，BC＝AD，O是AD的中点，则BC∥AO，BC＝AO。

所以四边形ABCO是平行四边形。

所以AB∥OC。

又因为AB￠平面POC，OC平面POC，

所以AB∥平面POC。 5分

（Ⅱ）连结OB。因为PO⊥平面ABCD，

所以PO⊥OB，PO⊥OD。

又因为点O是AD的中点，且BC＝AD，

所以BC＝OD。

因为BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD，

所以四边形OBCD是正方形。所以BO⊥AD。

如图，建立空间直角坐标系O-xyz，

则A（0，-1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）。

所以＝（1，1，0），＝（0，1，1）。

设m＝（x，y，z）是平面BAP的一个法向量，

则即

令y＝1，则m＝（-1，1，-1）。

因为OB⊥平面PAD，

所以＝（1，0，0）是平面PAD的一个法向量。

所以|cos<m，>|＝||=||=。

由图可知，二面角B-AP-D为锐角，

所以二面角B-AP-D的余弦值为。 13分

18.（共14分）

解：（I）设事件C：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元。

从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此P（C）可以估计为。 3分

（Ⅱ）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元，则P（A）＝。

设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均年纯收入超过10000元，则P（B）＝＝。

由题可知X的可能取值为0，1，2。

P（X＝0）＝P（）＝P（）P（）＝（1-）（1-）＝；

P（X＝1）＝P（）＝P（）P（B）＋P（A）P（）＝（1-）×＋×（1-）＝；

P（X＝2）＝P（AB）=P（A）P(B)=×=。

所以X的分布列为

所以X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝。………10分

（Ⅲ）记事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元“。

假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，

则由2019年的样本数据得P（E）＝≈0.012。

答案示例1：可以认为有变化。理由如下：

P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生。一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超10000元的户数相比2019年发生了变化。

所以可以认为有变化。

答案示例2：无法确定有没有变化。理由如下：

事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，

所以无法确定有没有变化。 .………14分

19.（共15分）

解：（I）由题意可设椭圆C的方程为＝1（a＞b＞0），则

解得a＝，c＝。

所以椭圆C的方程为＋y²＝1，焦点坐标为（–，0）和（，0）。……5分

（Ⅱ）方法1：

设点M的坐标为（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠±1），则。

过原点且与直线MA平行的直线方程为y＝。

令y＝3，得P（，3）

直线MB的方程为y＝x-1，

令y＝3，得Q（，3）。

假设以线段PQ为直径的圆过定点，由椭圆的对称性可设定点为N（0，m）。

则·＝0。

因为＝（，3-m），＝（，3-m），

所以＋（3-m）²＝0。

因为＋＝1，所以m²-6m-27＝0。

则m＝-3或m＝9。

所以以线段PQ为直径的圆过定点，且定点坐标为（0，-3）和（0，9）。…15分

方法2：

设点M的坐标为（x₀，y₀）（x₀≠0，y₀≠±1），则＋＝1。

过原点且与直线MA平行的直线方程为y＝。

令y＝3，得x_p＝。

直线MB的方程为y＝x-1，

令y＝3，得x_Q＝。

所以以PQ为直径的圆的半径为

。

圆心的横坐标为。

所以以线段PQ为直径的圆的方程为。

因为＋＝1，所以。

以线段PQ为直径的圆过定点等价于对任意的点M（x₀，y₀），

方程恒成立。

所以

解得或

所以以线段PQ为直径的圆过定点，且定点坐标为（0，-3）和（0，9）。…15分

20.（共15分）

解：（I）f＇（x）＝（ax＋a-1）e^x。令f＇（x）＝0，得ax＝1-a。

当a＝0时，f＇（x）＝-e^x＜0，y＝f（x）在（-∞，＋∞）上单调递减；

当a＞0时，f＇（x）和f（x）在R上的变化情况如下：

当a＜0时，f＇（x）和f（x）在R上的变化情况如下：

综上，当a＝0时，y＝f（x）在（-∞，＋∞）上单调递减，

当a＞0时，y＝f（x）的单调递减区间为（-∞，），单调递增区间为（，＋∞），

当a＜0时，y＝f（x）的单调递增区间为（-∞，），单调递减区间为（，+∞）。

……6分

（Ⅱ）由题得＝（ax＋a-1）e^x。

设直线y＝ax＋a与曲线y＝f（x）相切于点（x₀，y₀），

则

由①–②得＝ax₀，即a（＋x₀）＝0。

若a＝0，则f（x）＝-e^x，ax＋a＝0，

直线y＝0与曲线y＝f（x）不相切，不符合题意，所以a≠0。

所以＋x₀＝0。③

令（x）＝e^x＋x，则φ’（x）＝e^x＋1＞0，所以（x）单调递增。

因为（–）＝–＞0，（-1）＝e^-1-1＜0，

所以存在唯一x₀∈（-1，–）使得＋x₀＝0。

将③代入①得＋ax₀-x₀＋a＝0。

所以a＝=。

易知在（-1，–）内y＝x＋＋1单调递减，且x＋＋1＜0，

所以y＝在（-1，–）内单调递增。

因为x₀∈（-1，–），所以-1＜a＜–，所以a∈（-1，–）。.…15分

21.（共15分）

解：（I）B₅；2，4，8，16，32。（答案不唯一）……3分

（Ⅱ）由b_k＜a_k＜b_k+1，得q^k-1<2^k<q ^k，k＝1，2，…，10，

所以2＜q＜2，k＝2，3，…，10。

令f（k）＝＝1＋，k＝2，3，…，10，

则f（k）单调递减。

所以2（k＝2，3，…，10）的最小值为2。

所以2＜q＜2，即公比q的取值范围是（2，2）。 .…8分

（Ⅲ）首先证明当m≥6时，数列A_m不存在“等比分割数列”

假设当m≥6时，数列A_m存在“等比分割数列“B_m＋1，

则b₁＜1＜b₂＝b₁q＜4＜b₁q²＜9＜b₁q³＜16＜b₁q⁴＜25＜…＜m²＜b₁ q ^m。

易知b₁＞0，q＞0。

因为0＜b₁＜1，且4＜b₁q²，所以q²＞4。因为q＞0，所以q＞2。

又因为9＜b₁q³，所以b₆＝b₁q⁵＝b₁q³·q²＞36＝6²，

与b₆＜a₆＝36矛盾。

所以当m≥6时，数列A_m不存在“等比分割数列“。

所以m≤5。

当m＝5时，数列A₅：1，4，9，16，25，存在首项为公比为的数列B₆满足：

＜1＜＜4＜＜9＜＜16＜＜25＜。

所以m＝5时，数列A_m存在“等比分割数列“。

所以m的最大值为5。 .……15分