北京市海淀区2021届下学期初中九年级期中练习数学试卷（一模）

本试卷共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（
）

A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 长方体

2. 2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号“成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道。将59000用科学记数法表示应为（
）

A. 0.59×10⁵ B. 5.9×10⁵ C. 5.9×10⁴ D. 5.9×10³

3. 七巧板是我国的一种传统智力玩具。下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（
）

A. B. C. D.

4. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色。指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（
）

A. B. C. D. 1

5. 若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的边数是（
）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6. 实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（
）

A. a＜0 B. a＜b C. b＋5＞0 D. |a|＞|b|

7. 已知x＝1是不等式2x-b＜0的解，b的值可以是（
）

A. 4 B. 2 C. 0 D. -2

8. 如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上。已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（
）

A. B. C. D.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________。

10. 方程组的解为________。

11. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板。如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是________。

12. 若＋a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值_________。

13. 计算：（）·=________。

14. 已知关于x的方程x²–（m＋2）x＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是________。

15. 图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S₁，S₂，则S₁– S₂的值为________。

图1 图2 图3

16. 图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点。甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：

如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC。若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是_________（填“甲“，“乙“或“不确定“）。

图2

三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. 计算：|-|-2cos45°＋（π-1）⁰＋。

18. 解不等式组：

19. 如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF。求证：∠A＝∠D。

20. 已知a²＋a-1＝0，求代数式（a＋2）（a-2）＋a（a＋2）的值。

21. 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED。

（1）求证：△ABE∽△ECD；

（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G。

若AB＝2，BE＝1，求GC的长。

22. 我国是世界上最早发明历法的国家之一。《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时。如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆。正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气。

图1 图2

在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型。如图2，地面上放置一根长2m的杆AB，向正北方向画一条射线BC，在BC上取点D，测得BD＝1.5m，AD＝2.5m。

（1）判断：这个模型中AB与BC是否垂直。答：________（填“是“或“否“）；

你的理由是：_____________________________。

（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角的值，如下表：

①记夏至和冬至时表影分别为BM和BN，利用上表数据，在射线BC上标出点M和点N的位置；

②记秋分时的表影为BP，推测点P位于（
）

A. 线段MN中点左侧 B. 线段MN中点处 C. 线段MN中点右侧

23. 已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（-1，2）。点P为直线l上一点，其横坐标为m。过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q。

（1）求k的值；

（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；

②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围。

24. 牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红。春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元。以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息。

a. 两部影片上映第一周单日票房统计图

b. 两部影片分时段累计票房如下

（以上数据来源于中国电影数据信息网）

根据以上信息，回答下列问题：

（1）2月12日-18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为__________；

（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是__________；

①甲的单日票房逐日增加；

②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；

③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大。

（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日-21日三天内影片甲的累计票房应超过__________亿元。

25. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E。

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长。

26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²-2ax＋a-2（a＞0）。分别过点M（t，0）和点N（t＋2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B。记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）。

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m。

①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；

②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围。

27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°。D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF。

（1）依题意补全图形；

（2）判断AB与DF的数量关系并证明；

（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值。

28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝，则称线段MN是点A的“–相关线段“。例如，图1中线段MN是点A的“30°-相关线段“。

图1 图2

（1）已知点A的坐标是（0，2）。

①在图2中画出点A的“30°-相关线段“MN，并直接写出点M和点N的坐标；

②若点A的“–相关线段“经过点（，1），求的值；

（2）若存在，（≠）使得点P的“–相关线段“和“–相关线段“都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围。

参考答案

一、选择题
（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 10.

11. 110° 12. 答案不唯一，如：

13. 1 14. 2或-6

15. 9 16. 乙

三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25–26题，每小题6分，第27–28题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17. （本小题满分5分）

解：原式

.

18. （本小题满分5分）

解：原不等式组为

解不等式①，得.

解不等式②，得.

∴
原不等式组的解集为.

19. （本小题满分5分）

证明：∵
AB∥DE，

∴
∠B=∠DEF.

∵
BE=CF，

∴
BE+EC=CF+EC.

∴
BC=EF.

在△ABC和△DEF中，

∴ △ABC ≌ △DEF.

∴
∠A=∠D.

20. （本小题满分5分）

解：

∵

∴

∴
原式

21. （本小题满分6分）

（1）证明：∵
四边形ABCD是矩形，

∴
∠B=∠C=90°.

∴
∠BAE+∠AEB=90°.

∵
AE⊥ED，

∴
∠AED=90°.

∴
∠AEB+∠CED=90°.

∴
∠BAE=∠CED.

∴ △ABE
∽ △ECD.

（2）解：∵
由（1），△ABE
∽ △ECD，

∴
.

∵
矩形ABCD中，CD=AB=2，BE=1，

∴
EC=4.

∴
BC=BE+EC=5.

∵
AD∥BC，

∴ △AFD
∽ △EFG.

∴
.

∵
AE=EF，

∴
AF=2EF.

∴
，即.

∴
CG=EC–EG=.

22. （本小题满分5分）

（1）是，

理由：由测量结果可知，由勾股定理的逆定理可知AB⊥BC.

（2）①
如图，点M和点N即为所求.

② A.

23. （本小题满分6分）

（1）解：∵
直线过点A（，2），

∴
，即.

（2）①
解：∵ P在直线上且横坐标为m，

∴
点P的纵坐标为，

∵
PQ⊥y轴，

∴
点Q的纵坐标为.

∵
点Q在函数（）的图象上，

∴
点Q的横坐标为.

∴
点Q的坐标为（，）.

②

24. （本小题满分5分）

（1）4.36

（2）②③

（3）8.61

25. （本小题满分6分）

（1）证明：连接OC，在⊙O中

∵
∠BOC=2∠E，∠ABE=2∠E，

∴
∠BOC=∠ABE.

∴
AB∥OC.

∴
∠OCD+∠ADC=180°.

∵
AB⊥CD于点D，

∴
∠ADC=90°.

∴
∠OCD=90°.

∴
OC⊥CD.

∴
CD是⊙O的切线.

（2）解：方法1：

连接AC，BC，

∵
BE是⊙O的直径，

∴
∠BCE=90°.

∴
∠OBC+∠E=90°.

∵
∠OCD=90°，

∴
∠OCB+∠BCD=90°.

∵
OB=OC，

∴
∠OCB=∠OBC.

∴
∠E=∠BCD.

∴
.

∴
在Rt△BCD中，.

∵
∠A=∠E，

∴
在Rt△ACD中，.

∴
.

方法2：

连接CD，过点O作OH⊥AB于H，设⊙O的半径为r.

同方法1可得∠BCD=∠E，CD=3.

∵
OH⊥AB，

∴
∠OHD=90°=∠OCD=∠ADC.

∴
四边形OHDC是矩形.

∴
OH=CD=3，HD=OC=r，

∴
.

∵ Rt△OHB中，，

∴
.

解得：.

∴
.

∴
由垂径定理，AB=2HB=8.

26. （本小题满分6分）

解：（1）抛物线的解析式为，

∴
抛物线的顶点坐标为（1，）.

（2）①
当时，抛物线为，其对称轴为.

∵
图象G为轴对称图形，

∴
点A，B必关于对称轴对称.

∵
点A的横坐标为t，点B的横坐标为，

∴
AB=2，

∴
，点A为（0，0），点B为（2，0）.

∵
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，

∴
图象G上任意一点的纵坐标最大值为0，最小值为.

∴
.

②

27. （本小题满分7分）

解：（1）下图即为所求

（2）与的数量关系是AB=DF.

证明：∵
点F与点C关于点E对称，

∴
CE=FE.

∵
E是AD的中点，

∴
AE=DE.

∵
∠AEC=∠DEF，

∴ △AEC
≌ △DEF

∴
AC=DF.

∵
AB=AC，

∴
AB=DF.

（3）如图所示，点G的位置有两种情况.

①
点G与点C在直线DF同侧时，记为，连接AF，

∵
AE=DE，CE=EF，

∴
四边形ACDF是平行四边形.

∴
AF=CD.

∵
，

∴
，

∵
AB=DF，，

∴ △ABF
≌ △DF.

∴
.

∵
□ACDF中，∠CAF=∠CDF，

∴
.

∴
.

②
点G与点C在直线DF异侧时，记为，

∵
，，DF=DF，

∴ △
≌ △.

∴
.

∵
□ACDF中，AC∥DF，∠ACD=80°，

∴
∠CDF=180°－∠ACD=100°.

∵
由①，，

∴
.

∴
.

∴
.

综上，∠CDG的度数为40°或120°

28. （本小题满分7分）

（1）①
如图，MN即为所求.

点M的坐标是（1，），点N的坐标是（1，）.

②
解：

∵
点A的“α–相关线段“MN经过点，

∴
点M必在直线上.

记直线与x轴交于点H（，0），

∵
OM=OA=2，，

∴
，.

分两种情况：

a) 当点M在x轴上方时，点M恰为，符合题意，

此时∠AOM=60°，；

b) 当点M在x轴下方时，点M恰为，由MN=2知点N为，

也符合题意，此时∠AOM=120°，.

综上，的值为60°或120°.

（2）