北京市东城区2021届下学期初中九年级统一测试（一）数学试卷（一模）

本试卷共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是

A. 三棱柱 B. 正方体 C. 圆锥 D. 圆柱

2. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象不过点（1，1）的是

A. B. C. D.

3. 2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号“成功发射。2021年2月10日，在经过长达七个月，475 000 000公里的漫长飞行之后，“天问一号“成功进入火星轨道，将475 000 000用科学记数法表示应为

A. B. C. D.

4. 一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与∠1相等的角是

A. ∠2 B. ∠3     C. ∠4 D. ∠5

5. 如图，△ABC经过旋转或轴对称得到△，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是

6. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是

A. B. C. D.

7. 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若AO＝2，OP＝4，则∠C等于

A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°

8. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30 cm，40 cm，现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60 cm长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到

A. 60 cm B. 75 cm C. 100 cm D.120 cm

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 若分式的值为0，则x的值等于_____________。

10. 分解因式：＝____________。

11. 用一组的值说明”若，则“是假命题，这组值可以是a＝_______，b＝_______。

12. 4月23日是世界读书日，甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量，设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为_______________。

13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：

根据上表信息，掷一枚骰子，估计”出现点数为1″的概率为___________。（精确到0.001）

14. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为_____________。

15. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是______________。

16. 小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算，出行方式的相应信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：

根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：

①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；

②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；

③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；

④如果将上述出行方式中的”步行”改为”骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元。

其中推断合理的是___________（填序号）。

三、解答题（本题共68分，第17—19题，每小题5分，第20题6分，第21—23题，每小题5分，第24—26题，每小题6分，第27—28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. 计算：。

18. 已知，求代数式的值。

19. 尺规作图：

如图，已知线段a，线段b及其中点。

求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长。

作法：①作直线m，在m上任意截取线段AC＝a；

②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；

③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；

④分别连接AB，BC，CD，DA；

则四边形ABCD就是所求作的菱形。

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明。

证明：，

∴四边形ABCD是______________，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形（_____________________________）（填推理的依据）。

20. 解不等式组：，并写出其中的正整数解。

21. 解分式方程：。

22. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作BG∥DF交DC于点G，交AC于点M，过点G作GN⊥DF于点N。

（1）求证：四边形NEMG为矩形；

（2）若，sin∠CAB＝，求线段AC的长。

23. 在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且过点。

（1）求直线的表达式；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线与直线关于y轴对称，直线与直线围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围。

24. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F。

（1）求证：∠A+∠OFC＝90°；

（2）若，BC＝6，求线段CF的长。

25. 第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析。下面给出了相关信息：

a. 30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：

b. 30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；

c. 测试成绩在70≤x<80这一组的是：

70 73 74 74 75 75 77 78

d. 小明的冬奥知识测试成绩为85分。

根据以上信息，回答下列问题：

（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第__________；

（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为__________；

（3）序号为1—10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为；序号为11—20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为；序号为21—30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为，直接写出，，的大小关系；

（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为____________人。

26. 在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，其中。

（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

（2）①当时，求y的值；

②若，求的值（用含a的式子表示）；

（3）若对于，都有，求a的取值范围。

27. 已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP。

（1）如图1，若点P为线段AB的中点。

①直接写出∠AQB的度数；

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；

（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D。

①设∠，求∠CPQ的大小（用含的式子表示）；

②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明。

28. 在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABCD，其中，，M，N为该正方形外两点，MN＝1。

给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段，使点，分别落在正方形ABCD的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（，，分别为点M，N，P的对应点），线段长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离“。

（1）如图1，平移线段MN，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M₁N₁，M₂N₂，则这两条线段的位置关系是__________；若P₁，P₂分别为M₁N₁，M₂N₂的中点，在点P₁，P₂中，连接点P与点__________的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”；

（2）如图2，已知点，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABCD的”平移距离”为d₁，求d₁的最小值；

（3）若线段MN的中点P的坐标为（2，2），记线段MN到正方形ABCD的“平移距离“为d₂，直接写出d₂的取值范围。

【试题答案】

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 0 10. 11. 0，－1（答案不唯一） 12.

13. 0.167 14. 6 15. 0 16. ①②③

三、解答题（本题共68分，第17—19题，每小题5分，第20题6分，第21—23题，每小题5分，第24—26题，每小题6分，第27—28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. 解：

4分

。 5分

18. 解：

3分

。 4分

，

，

∴原式＝。 5分

19. 解：（1）尺规作图如图；

（2）平行四边形； 4

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 5分

20. 解：

由①去分母，得，

去括号，得，

移项，得，

合并同类项，得，

系数化为1，得。

∴不等式①的解集为。 2分

由②移项，得，

合并同类项，得，

∴不等式②的解集为， 4分

所以，不等式组的解集为， 5分

其中正整数解为。 6分

21. 解：去分母，得， 1分

移项，得, 2分

合并同类项，得， 3分

系数化为1，得。 4分

经检验，x＝3是原方程的解，

所以，原方程的解为x＝3。 5分

22. （1）证明：∵DE⊥AC，

∴∠DEC＝90°，

∵BG∥DF，

∴∠GME＋∠DEC＝180°，

∴∠GME＝90°， 1分

∵GN⊥DF，

∴∠ENG＝90°，

∴四边形NEMG为矩形。 2分

（2）解：∵四边形NEMG为矩形，

。

在Rt△AMB中，∠AMB＝90°，

∵sin∠CAB＝，

。 3分

根据勾股定理，得AM＝24，

，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠DAE＝∠BCM，

∵∠AED＝∠CMB＝90°，

∴△ADE≌△CBM（AAS）。

，

。 5分

23. 解：（1）∵直线与直线平行，

。 1分

∵直线过点（2，7），

，

∴直线的表达式为。 2分

（2）①当时，

把代入，得，

∴直线与直线的交点为，

由图形的对称性，可知

直线与直线的交点为。

结合图象，可知

当1<m≤5时，区域W内（不包含边界）整点个数小于6，不符合题意。

当5<m≤6时，区域W内（不包含边界）恰有6个整点：

（0，2），（0，3），（0，4），（－1，5），（0，5），（1，5）。

当m>6时，区域W内（不包含边界）整点个数大于6，

不符合题意。

。 4分

②当时，由图形的对称性，得。

综上所述，或。 5分

24. 方法1：

（1）证明：如图，作直径CG，连接BG，则∠GBC＝90°。

∵OE⊥BC，

∴∠1＝90°＝∠GBC，

∴OF∥BG，

∴∠G＝∠2，

∵∠G＝∠A，

∴∠A＝∠2，

∵CD是⊙O的切线，

∴CG⊥CD，

∴∠OCF＝90°，

∴∠2＋∠OFC＝90°，

∴∠A＋∠OFC＝90°。 3分

（2）解：∵∠G＝∠A＝∠2，

∠2＝。

在Rt△BCG中，，

。

根据勾股定理，得，

。

在Rt△OCF中，tan∠2＝，

。 6分

方法2：

（1）证明：如图，连接OC，OB，

∵OE⊥BC，OB＝OC，

∴∠2＝∠BOC，

∵∠A＝∠BOC，

∴∠A＝∠2，

∵CD是⊙O的切线，

∴CO⊥CD，

∴∠2＋∠OFC＝90°，

∴∠A＋∠OFC＝90°。 3分

（2）解：∵OE⊥BC，

，

∵∠3＋∠OFC＝90°，∠A＋∠OFC＝90°，

∴∠A＝∠3，

∴tan∠3＝tanA＝。

在Rt△CEF中，∠3＝，

。

根据勾股定理，得。 6分

25. 解：（1）5； 1分

（2）74； 3分

（3）； 5分

（4）140。 6分

26. 解：（1）抛物线的对称轴为直线； 2分

（2）①当时，； 3分

②； 4分

（3）①当时，

，

，只需讨论的情况，

若，

时，y随着x的增大而增大，

，符合题意；

若，

，

，

，

，

，

时，时，y随着x的增大而增大，

，符合题意。

②当时，

令，

此时，但，不符合题意；

综上所述，a的取值范围为。 6分

27. （1）解；①∠AQB＝90°；

②补全图形，如图1，。

3分

（2）①解：如图2，连接CQ，

∵点P，点Q关于直线AN对称，点A，点C关于直线BQ对称，

，∠PAN＝∠QAN，∠CQB＝∠AQB。

∵∠MAN＝30°，

∴∠PAQ＝60°，

∴△APQ为等边三角形，

∴∠AQP＝60°，PQ＝AQ，

。

∴∠C＝∠CPQ，

∵∠BQP＝，

∴∠CQB＝60°＋，

∴∠CQP＝60°＋，

∴∠CPQ＝60°－。 5分

②结论：。

证明：∵∠CDQ＝∠CPQ＋∠BQP，

∴∠CDQ＝60°。

在DC上截取DE＝DQ，连接EQ，

∴△DEQ为等边三角形，

，

∴∠DEQ＝∠EDQ＝60°，

∴∠CEQ＝∠PDQ＝120°，

∵∠C＝∠CPQ，CQ＝PQ，

∴△CEQ≌△PDQ（AAS）。

，

。 7分

28. 解：（1）平行，P₁； 2分

（2）如图，连接BP₁，

，

，即，

∵∠ACB＝45°，

∴∠CBE＝∠CEB＝22.5°，

∥，

∴∠＝∠=22.5°，

∵点P₁为M₁N₁的中点，

，

∴∠＝∠＝22.5°，

∴∠＝45°，

过点P₁作P₁H⊥BE于点H，则△为等腰直角三角形。

，

，

，

，

的最小值是。 5分

（3）。 7分