北京师大附中2020-2021学年下学期高一年级期中考试数学试卷

本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。

一、选择题（每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案）

1. 已知角终边上一点，则的值是

A. B. C. D.

2. 已知，且，则的值等于

A. B. C. D.

3. 若一个扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也变为原来的2倍，则

A. 扇形的面积不变 B. 扇形的圆心角不变

C. 扇形的面积增大到原来的2倍 D. 扇形的圆心角增大到原来的2倍

4. 函数的定义域为

A. B.

C. D.

5. 函数的图像可以由函数的图像如何变换得到

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

6. 设函数，下列命题正确的是

A. 的周期是 B. 是非奇非偶函数

C. 在区间上单调递减 D. 的图像关于直线对称

7. 函数（其中）的部分图像如图所示，则

A. B.

C. D.

8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量b的始点和终点，则a·b的最大值为

A. 1 B. C. 3 D.

9. ““是”“的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 如图，半径为1的⊙M切直线AB于点O，射线OC从OA出发，绕着点O，顺时针方向旋转到OB，在旋转的过程中，OC交⊙M于点P，记∠PMO＝x，弓形PNO（阴影部分）的面积，那么的图像是

二、填空题（每小题5分，共25分）

11. 已知，且终边在第二象限，则＝___________。

12. 已知，则＝________________。

13. 已知，且，则的值为___________。

14. 已知向量，写出一个符合条件的b＝___________。

15. 关于函数有下述四个结论：

①f（x）是偶函数；

②f（x）是周期函数；

③f（x）在区间上恰有个最大值点，其中表示不超过x的最大整数；

④当时，函数与函数的图像恰有一个交点；

其中正确的是_________________。

（注：全部正确得5分，有漏选得3分，有错选或不选得0分）

三、解答题（共6小题，共85分。解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）

16. （本小题14分）

设，向量。

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若，求x的值；

（Ⅲ）若为钝角，求x的取值范围。

17. （本小题14分）

已知函数的最小正周期为。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调递增区间。

18、
（本小题14分）

已知函数。

（Ⅰ）求图像的对称中心；

（Ⅱ）若，求x的取值范围；

（Ⅲ）当时，恒有，求m的取值范围。

19.（本小题14分）

如图，在Rt△ABC中，，设，△ABC的面积为S。

（Ⅰ）求S关于x的函数；

（Ⅱ）当时，求x的值；

（Ⅲ）设函数，若方程恰有两个不等实根，求实数k的取值范围。

20. （本小题14分）一架飞机从北京向南飞行1080千米到达武汉，在武汉天河机场上空的等待航线为一个圆周，飞机通过机场上空后向南偏西弧度方向继续飞行20千米后，开始在一直径为40千米的圆周上顺时针飞行。已知飞机每12分钟飞行一周，将飞机等待过程中与北京的距离记作f（t），其中t为时间（单位：分），f（t）可用AD近似表示（如图）。