北京师大附中2020-2021学年下学期高二年级期中考试数学试卷

本试卷有三道大题,考试时长120分钟,满分150分。

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1. 设集合,集合,则集合AB等于( ).

(A){x|2<x<3} (B){x|x >1}

(C){x|1<x<2} (D){x|x>2}

2. 已知命题,则( )

(A) (B)

(C) (D)

3. 已知是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和. S3=3a1+3,则d=( )

(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2

4. 若函数,则( )

(A) (B) (C)1 (D)0

5. 若抛物线y2=4x上的点A到焦点的距离为10,则点Ay轴的距离是( )

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

6. 等差数列的首项为1,公差不为0,若a1a2a4成等比数列,则5项的和为( )

(A)10 (B) 15 (C)21 (D) 28

7. 已知是等比数列,Sn为其前n项和,那么“a1>0″数列{Sn}为递增数列 ( )

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

8. 已知函数,若x0f(x)的一个极大值点,则实数a的取值范围是( )

(A)-∞0 (B)(4+∞)

(C)-∞0(4+∞) (D)前三个答案都不对

9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,空间中与三条棱ABCC1A1D1所在的直线距离相等的点( )

(A)有且只有1 (B)有且只有2

(C)有且只有3 (D)有无数个

10. 定义在区间[ab]上的连续函数y=f(x),如果[ab],使得,则称为区间[ab]上的中值点“. 下列函数:

f(x)=3x+2
fx=x2-x+1
f(x)=lnx+1)
中,在区间[01]中值点多于一个的函数序号为( )

(A) ①② (B)①③ (C)②③ (D)①④

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

11. 若复数z满足,其中i为虚数为单位,则|z|=_____________.

12. 3名演讲比赛获奖学生和2名指导教师站在一排照相,则2名指导教师不相邻的站法有_______. (用数字作答)

13. 已知x>0y>0xy=1,则x+4y的最小值为_________,此时x的值为_________.

14. 设函数,其中a>0.若对于任意xRf'(x)≥0,则实数a的取值范围是_________.

15. 设函数y=f(x)的定义域为D,若对任意x1D,存在x2D,使得f(x1)·f(x2) =1,则称函数f(x)具有性质M,给出下列四个结论:

①函数y=x3-x不具有性质M;

②函数具有性质M

③若函数y=log8(x+2)x[0,t]具有性质M,则t=510;

④若函数具有性质M,则a=5.

其中,正确结论的序号是_____________.

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=5S3=a7.

(I)求数列{an}的通项公式;

(II),求数列{an+bn}的前n项和.

17. 已知函数f(x)=x3-3x+1.

(I)求函数f(x)的极值;

(II)求函数f(x)[02]上的最大值;

18. 已知函数f(x)=x+alnxaR.

(I)a=-1时,求函数f(x)的极值;

(Ⅱ)若不等式对任意x>0恒成立,求a的取值范围.

19. 已知椭圆过点,且C的离心率为.

(I)求椭圆C的方程;

(II)过点P(10)的直线l交椭圆CAB两点,求|PA|·|PB|的取值范围.

20. 已知函数.

(I)求函数在点(10)处的切线方程;

(Ⅱ)设实数k使得不等式f(x)<kx恒成立,求k的范围;

(Ⅲ)设函数h(x)=f(x)-kx(kR),求函数h(x)在区间上的零点个数.

21. 数列Ana1a2ann≥4

满足:a1=1an=mak+1 -ak=01(k=12n-1).

对任意ij,都存在st,使得ai+aj=as+at,其中ijst{1,2n)且两两不相等.

(I)m=2,写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号:

1,1,1,2,2,2; 1,1,1,1,2,2,2,2; 1,1,1,1,1,2,2,2,2

( II)S=a1+a2+…+an. m=3,求S的最小值;

(Ⅲ)m=2018,求n的最小值.

参考答案

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

C

C

B

D

B

B

B

D

D

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。

11. ; 12. 72; 13. 4;2; 14. (0,1] 15. ①③;

三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. 解:(I)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.


解得a1=3, d=2

an=a1+(n-1)d,则an=2n+1

因此,通项公式为an=2n+1.

(II)(I)可知:an=2n+1,则bn=22n+1


因为b1=23=8

所以{bn}是首项为8,公比为q=4的等比数列.

{an+bn}的前n项和为Tn,则

Tn= (a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)

= (a1+a2+…+an)+b1+b2+…+bn



17. 解:(I)极大值f(-1) =3,极小值f(1)=-1(II)最大值f(2)=3

18. 解:函数f(x)=x+alnx的定义域为(0+∞).

(I)a=-1时,

f'(x)=0,得x=1.

x变化时,f'(x)f (x)的变化情况如下:

x

(01)

1

(1+∞)

f'(x)


0

+

f(x)


极小值f(1)=1


所以f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.

(II)不等式恒成立等价于恒成立.

.

所以

(1)a≥0时,因为x(0+∞),所以x+a>0.

g'(x)=0,得x=1.

x变化时,g'(x)g(x)的变化情况如下:

x

(01)

1

(1+∞)

g'(x)


0

+

g(x)


最小值


a≥0时,不等式g(x)≥0恒成立当且仅当.

所以符合题意.

(2)a=-1时,.

所以g(x)(0+∞)内单调递增.

因为,所以g(x)≥0不恒成立.

所以a=-1不符合题意.

(3)-1<a<0时,0<-a<1.

x变化时,g'(x)g(x)的变化情况如下:

x

(0-a)

-a

(-a1)

1

(1+∞)

g’x

+

0

0

+

g(x)

极大值g(-a)

极小值

因为,所以g(x)≥0不恒成立.

所以-1<a<0不符合题意.

(4)a<-1时,-a>1.

x变化时,g'(x)g(x)的变化情况如下:

x

(01)

1

(1-a)

-a

(-a+∞)

g'(x)

+

0


0

+

gx


极大值


极小值g(-a)


因为,所以g(x)≥0不恒成立.

所以a<-1不符合题意.

综上所述,a的取值范围是.

((2)(3)(4)可由判断出不符合题意)

19. 解:(I)由题意得,解得

所以椭圆C的方程为.

(II)当直线l的斜率不存在时,直线lx=1与椭圆C交于AB 两点,

所以,所以.

当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)



.

.

A(x1y1)B(x2y2),则

.

所以.

t=1+4k2,则t≥1

所以.

t=1,即k=0时,取最大值3.

综上所述,的取值范围是.

20. 解:(I) y=x-1;

(II)因为x>0,所以恒成立等价于恒成立,

,再求函数的最大值,得k的范围是k>

(Ⅲ)h(x)=f(x)-kx=0,得,即lnx-kx2=0,

研究函数的最大值

所以,当k>或者时,有0个零点;

或者时,有1个零点;

时,有2个零点;

21. 解:(I)②③.

(II)m=3时,设数列An123出现频数依次为q1q2q3,由题意qi≥1(i=123).

①假设q1<4,则有a1+a2<as+at(对任意s>t>2),

与已知矛盾,所以q1≥4. 同理可证:q3≥4.

②假设q2=1,则存在唯一的k{12n},使得ak=2.

那么,对,有a1+ak=1+2≠as+at (kst两两不相等),与已知矛盾,所以q2≥2.

综上:q1≥4q3≥4q2≥2,所以.

(Ⅲ)122018出现频数依次为q1q2q2018.

(II)的证明,可得q1≥4q2018≥4q2≥2q2017≥2,则n≥2026.

q1=q2018=4q2=q2017=2,qi=1i=3452016,得到的数列为:

Bn:1,1,1,1,2,2,3,4,……, 2015,2016,2017, 2017, 2018,2018, 2018, 2018.

下面证明Bn满足题目要求. ij{122026),不妨令ai≤aj

①如果ai=aj=1ai=aj=2018,由于q1=4q2018=4,所以符合条件;

②如果ai=1aj=2ai=2017aj=2018,由于q1 =4q2018=4q2=2q2017=2,所以也成立;

③如果ai=1,aj>2,则可选取as=2at=aj-1;同样的,如果ai<2017aj=2018

则可选取as=ai+1at=2017,使得ai+aj=as+at,且ijst两两不相等;

④如果1<ai≤aj<2018,则可选取as=ai-1at=aj+1,注意到这种情况每个数最多被选取了一次,因此也成立.

综上,对任意ij,总存在st,使得ai+aj=as+at,其中ijst{12n}且两两不相等. 因此Bn满足题目要求,所以n的最小值为2026.

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