北京市101中学2020届下学期初中九年级开学测试数学试卷

一、选择题（本题共14分，每小题2分）

1.如图是某几何体的三视图，该几何体是

A.三棱柱 B.长方体 C.圆锥 D.圆柱

2.如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于

A.15° B. 25° C.30° D.45°

3.用配方法解一元二次方程x²-6x-5=0，此方程可化为

A. （x-3）²=4 B. （x-3）²=14 C. （x-9）²=4 D. （x-9）²=14

4.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO=50°，则∠B的度数为

A.60° B.50° C.40° D.30°

5.如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m.若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为（单位：m）

A.
B.9 C.
D.12

6.整数a、b在数轴上对应点的位置如图，实数c在数轴上且满足a≤c≤b，如果数轴上有一实数d，始终满足c+d≥0，则实数d应满足

A. d≤a B. a≤d≤ b C. d≤b D. d≥b

7.下图为2009年到2015年中关村国家自主创新示范区企业经营技术收入的统计图.下面四个推断：

①2009年到2015年技术收入持续增长；

②2009年到2015年技术收入的中位数是4032亿；

③2009年到2015年技术收入增幅最大的是2015年；

④2009年到2011年的技术收入增长的平均数比2013年到2015年技术收入增长的平均数大.其中，正确的是

A.①③ B.①④ C.②③ D.③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

8.分解因式： ab² -2ab+a=_______________.

9.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________________.

10.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为（0，1）.此二次函数的解析式可以是________________.

11.如果，那么代数式的值为_______________.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，A （1，1），B（2，2），双曲线与线段AB有公共点，则k的取值范围是_____________.

13.2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动.虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍.在峰值速率下传输8千兆数据，5G 网络比4G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，依题意，可列方程为_____________.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC=90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限.将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为_____________.

15.将A、B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：

下面有三个推断：

①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767.

②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750.

③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次.其中合理的是__________.

三、解答题（本题共70分，第16~21题每小题5分，第22题4分，第23、24题6分，25题7分，26题8分，27题9分）

16.计算：.

17.解不等式，并写出它的正整数解.

18. 已知关于x的方程x²-6mx+9m²-9=0.

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的两个根分别为x₁，x₂，其中x₁>x₂，若x₁=2x₂，求m的值.

19.下面是小明设计的”作三角形的高线”的尺规作图过程.

已知：△ABC.求作：BC边上的高线。作法：如图，

①分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E；

②作直线DE，与AB交于点F，以点F为圆心，FA长为半径画圆，交CB的延长线于点G；

③连接AG.

所以线段AG就是所求作的BC边上的高线.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹）

（2）完成下面证明.

证明：连接DA，DB，EA，EB，

∵DA=DB，

∴点D在线段AB的垂直平分线上（____________________________）

（填推理的依据）.

∵________=_________，

∴点E在线段AB的垂直平分线上.

∴DE是线段AB的垂直平分线.

∴FA=FB.

∴AB是⊙F的直径.

∴∠AGB=90° （_________________________）（填推理的依据）.

∴AG⊥BC即AG就是BC边上的高线.

20.某年级共有300名学生.为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：

b.A课程成绩在70≤x<80这一组的是：

70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5

c.A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m的值；

（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是_________（填”A”或”B”），理由是____________.

（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数.

21.△ABC中，AB=AC，D为 BC中点，AE//BD，且AE=BD.

（1）求证：四边形AEBD是矩形。

（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE=30°，AE=2，求EF的长.

22.如图，C是上的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点，连接DP，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PD’ ，射线PD’与交于点Q.已知BC=6cm，设P，C两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y₁cm，P，Q两点间的距离为y₂cm.

小石根据学习函数的经验，分别对函数y₁，y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y₁，y₂，与x的几组对应值：

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y₁），（x，y₂），并画出函数y₁，y₂的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为_________________cm.（结果保留一位小数）

23.如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B.点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D.CF为⊙O的切线交BM于点F.

（1）求证：CF= DF；

（2）连接OF.若AB=10，BC=6，求线段OF的长.

24.在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b与双曲线交于A、B两点，P是线段AB上一点（不与A、B重合），过点P作平行于x轴的直线交双曲线于点M，过点P作平行于y轴的直线交双曲线于点N.

（1）当点A的横坐标为1时，则b的值为___________；

（2）在（1）的条件下，设P点的横坐标为m.

①若m=-1，判断PM与PN的数量关系，并说明理由；

②若PM<PN，结合函数图象，直接写出m的取值范围是____________.

25.平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx² -2m²x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点. （1）抛物线的对称轴为x=_____（用含 m的代数式表示）；

（2）若AB∥x轴，求抛物线的表达式；

（3）记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若对于图象G上任意一点P（x_p，y_p），y_p≤2，请直接写出m的取值范围是__________.

26.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线.

（1）当⊙O的半径为1时，

①判断点D （）______（填”是”或”不是”）⊙O的相邻点，如果是请在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程，如果不是请说明理由.

②分别判断E（0，-3），F（4，0），G（）中，是⊙O的相邻点有_________.

③点P在直线y=-x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围;

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.

27.如图1，在△4BC中，ACB=90°，AC=2，BC=，以点B为圆心，为半径作圆.点P为⊙B上的动点，连接PC，作P’C⊥PC，使点P’落在直线BC的上方，且满足P’C：PC=，连接BP，AP’.

（1）求∠BAC的度数，并证明△AP’C∽△BPC；

（2）若点P在AB上时，①在图2中画出△AP’C；②连接BP’，求BP’的长；

（3）点P在运动过程中，BP’ 是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP’取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由.

参考答案

1—15题，每题2分，共30分

1. B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D 7.A

8. 9. 6 10. 11. 12.

13. 14. 15. ②

16．计算：

解：原式= …………4分

=. …………5分

17. 解： 去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6， …………1分

去括号得：3x+3＞4x+4﹣6， …………2分

移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3， …………3分

合并同类项得：﹣x＞﹣5，

系数化为1得：x＜5. …………4分

故不等式的正整数解有1，2，3，4这4个. …………5分

18.(1）∵△=(-6m)²-4(9m²-9) ……………………………………………………1分

=36m²-36m²+36

=36>0.

∴方程有两个不相等的实数根…………………………………………………2分

（2）.……………………………………3分

∵3m+3>3m-3,

∴x₁=3m+3,x₂=3m-3, ……………………………………………………………4分

∴3m+3=2(3m-3) .

∴m=3. ………………………………………………………………………………5分

19.解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

……………………………2分

（2）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上………3分

EA=EB ……………………………………………………………………………4分

直径所对的圆周角是直角 …………………………………………………………5分

20.（1）78.75……………………………………1分

（2）B…………………………………2分

这名学生A课程成绩是76，比中位数78.75低，说明排名在30名后；而他的B课程成绩是71，比中位数70要高，说明排名在30名之前，所以B课程排名靠前。………3分

(3) 180人 ……………………………5分

21.（1）…………………………3分

（2）…………………5分

22. 解：本题答案不唯一，如：

（1）；
……………………………1分

（2）

……………………………2分

（3）或．
……………………………4分

23. （1）证明：∵是的直径，

∴.

∴.

∴.

∵
是的直径，，

∴MB是的切线.

∵是的切线，

∴.

∴.

∵ ,

∴.

∴. ———————————-3分

（2）由（1）可知，是直角三角形，在中，，，

根据勾股定理求得.

在和中，

∴∽.

∴.∴ .∴.

由（1）知，

∵，，

∴.

∵，

∴
是的中位线.

∴————————————–6分

24.解：（1）∵当点的横坐标为1，点在双曲线上，

∴点的纵坐标为．…………………………1分

将代入，得，∴．………………2分

（2）①时，将代入，得．

∴点的坐标为．……………………………3分

将代入，得，将代入，得，

∴点的坐标为，点的坐标为．

∴，．

∴．………………………………………4分

②若PM＜PN，结合函数图象得或．……6分

25. （1）m；—————————————————-2分

（2）∵ 抛物线与y轴交于A点，

∴
A（0，2）．————————— 3分

∵
AB∥x轴，B点在直线x=4上，

∴
B（4，2），抛物线的对称轴为直线x=2. ————— 4分

∴
m=2．

∴抛物线的表达式为． ——— 5分

（3）当时，如图1．

∵，

∴要使时，始终满足，

只需使抛物线的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．

∴． ——————— 6分

当时，如图2，时，恒成立． —— 7分

综上所述，或．

26. （1）60°—————- 1分 证明相似———— 3分

（2）画图正确——– 4分 BP’值为 —– 6分

（3）最大值时∠PBC=120°———— 7分 最小值时∠PBC=60°——— 8分

27. （1）①是—- 1分 画图———– 2分（通过构造垂径定理作图）

② E、G — 4分（少写一个扣1分，有错误答案不给分）

③ 0≤x≤3——– 7分（过程2分）

（2）0≤x≤9—————————- 9分