北京四中2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷

试卷分为两卷,卷(I)100分,卷(Ⅱ)50分,满分共计150分

考试时间:120分钟

卷(I)

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分

1. 已知向量=(1,2,-1),则下列向量与垂直的是( )

A. (0,0,1) B. (-2,1,0) C. (1,1,2) D. (4,-1,1)

2. 若直线l1:2x+ay+1=0与直线l2x-2y+2=0平行,则a=( )

A. 1 B. -1 C. 4 D. -4

3. 已知m,n表示两条不同直线,表示平面。下列说法正确的是( )

A. 若m∥,n∥,则m∥n

B. 若m⊥,n,则m⊥n

C. 若m⊥,m⊥n,则n∥

D. 若m∥,m⊥n,则n⊥

4. 在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,那么必有( )

A. 平面ADC⊥平面BCD B. 平面ABC⊥平面BCD

C. 平面ABD⊥平面ADC D. 平面ABD⊥平面ABC

5. 圆与直线相交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程是( )

A. 4x+3y+6=0 B. 3x+4y+8=0

C. 4x-3y-6=0 D. 4x-3y+6=0

6. 若A(-2,3),B(3,-2),C(1,m)三点共线,则m的值为( )

A. B. -1 C. -2 D. 0

7. 下列命题正确的是( )

A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D. 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

8. 如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )

9. 直线kx-y+2k+1=0与x+2y-4=0的交点在第四象限,则k的取值范围为( )

A. (-6,-2) B. (-,0) C. (-,-) D. (-

10. 斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )

A. 直线AB上 B. 直线BC上

C. 直线AC上 D. △ABC内部

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分

11. 过A(1,0),B(0,)两点的直线的倾斜角为_________。

12. 圆心为C(-4,3)且与直线2x+y+10=0相切的圆的方程为_________。

13. 圆截直线x-y-6=0所得弦长等于_________。

14. 若空间向量=(5,3,m),=(1,-1,2),=(0,2,-3)共面,则m=_________。

15. 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC中点,则点B到平面AB1E的距离为__________。

16. 三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,且OA=OB=OC。给出下列四个命题:

①(2=3(2

·()=0;

③()和的夹角为60°;

④三棱锥O-ABC的体积为|(·|。其中所有正确命题的序号为________。

三、解答题:本大题共3小题,共36分

17.(10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CC1,AC⊥BC,D为BC1中点。AC1与A1C交于点O。

(1)求证:OD∥平面A1B1C1

(2)求证:平面AC1B⊥平面A1BC。

18. (14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AB=AP,E为棱PB的中点。

(1)求直线PD与CE所成角的余弦值;

(2)求直线CD与平面ACE所成角的正弦值;

(3)求二面角E-AC-P的余弦值。

19. (12分)已知直角三角形ABC的顶点坐标A(-4,0),直角顶点B(-2,-2),顶点C在x轴上。

(1)求BC边所在的直线方程;

(2)设M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;

(3)已知与AB平行的直线DE交x轴于点D,交y轴于点E(0,-7)。若P为圆M上任意一点,求三角形PDE面积的取值范围。

卷(Ⅱ)

一、过程性评价(考生不必作答):共10分

二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分

1. 圆(x-1)2+(y-3)2=5关于直线y=x对称的圆方程为_________。

2. 已知△ABC的三个顶点分别是A(0,3),B(4,2),C(2,1)。若直线l过点A,且将△ABC分割成面积相等的两部分,则直线l的方程是__________。

3. 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,将△ABD沿对角线BD折起,设折起后点A的位置为A’,且平面A’BD⊥平面BCD。则下列四个命题中正确的是__________。

①A’D⊥BC ②三棱锥A’-BCD的体积为

③CD⊥平面A’BD ④平面A’BD⊥平面A’DC

4. 在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。若∠DBA≥45°,则点A的横坐标的取值范围为__________。

三、解答题:本大题共2小题,共24分

5.(14分)在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,∠PDC=120°。

(1)求证:AD⊥平面PCD;

(2)线段BC上是否存在点F,使得平面PDF⊥平面PAC?如果存在,求的值;如果不存在,说明理由;

(3)若M是棱PA的中点,N为线段BC上任意一点,求证:MN与PC一定不平行。

6. (10分)设n∈N*,且n≥3。对1,2,…,n的一个排列i1 i2in,如果当s<t时,有isit,则称(isit)是排列i1 i2in的一个逆序,排列i1 i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数。例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1)(3,1),则排列231的逆序数为2。记为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数。

(1)求的值;

(2)判断的大小,并说明理由;

(3)求(n≥4)的表达式(用n表示)。

参考答案

卷(I)

1-10 BDBAC DCBCA

11

12

13

14

15

16

120°

-2

  1. ②③

17. (1)因为OD为△ABC1的中位线,所以OD∥AB。

又AB∥A1B1,所以OD∥A1B1

又OD平面A1B1C1

所以OD∥平面A1B1C1

(2)因为AC⊥BC,CC1⊥BC,

所以BC⊥平面ACC1A1

所以BC⊥AC1

又因为AC1⊥A1C,所以AC1⊥平面A1BC。

所以平面AC1B⊥平面A1BC。

18. (1)建系.=(0,1,-1),=,所以直线PD与CE所成角的余弦值

(2)=(-1,0,0),平面ACE的法向量是=(1,-1,-1),

所以sin

(3)平面ACP的法向量为=(-1,1,0),

所以|cos<,>|=,又由图可知,为锐角,所以cos

19. (1)

(2)M:(x+1)2+y2=9。

(3)DE:y=-x-7,所以D(-7,0),所以|DE|=7

又h[d-r,d+r],即h∈[2-3,2+3],

所以S∈[21,21]。

卷(Ⅱ)

1

2

3

4

③④

5. (1)因为平面ABCD⊥平面PCD,

且AD⊥DC,

所以AD⊥平面PCD。

(2)存在。

从而=(2,1,-),=(2,-2,0),

所以平面PAC的一个法向量是=(1,1,)。

∈[0,1],

=(0,-1,),=(2-2,1+,0)。

=1时,平面PDF的一个法向量=(1,0,0),不成立;

≠1时,平面PDF的一个法向量

所以由·=0得,

时,平面PDF⊥平面PAC。

(3)建系。P(0,-1,),C(0,2,0);A(2,0,0),B(2,1,0)

所以M(1,-),N(2-2,1+,0)。

从而=(0,3,-),=(1-2+,-),

则1-2=0时,不平行;1-2≠0时,0≠2,不平行。

6. 解:(1)记(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有

(123)=0,(132)=1,(213)=1,(231)=2,(312)=2,(321)=3,

所以=1,=2。

(2)

i1 i2in为12…n的一个逆序数为2的排列,则i1 i2in(n+1)即为12…n(n+1)的一个逆序数为2的排列,且当i1 i2in不同时,i1 i2in(n+1)不同。故

又123…(n+1)(n-1)n也是一个逆序数为2的排列,且它不能写成i1 i2in(n+1)的形式,所以等号不成立,>

(3)对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置。因此,

对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1。

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1。

为计算,当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置。

因此,++n。

当n≥5时,

=[]+[]+…+[]+

=(n-1)+(n-2)+…+4+

因此,n≥5时,

发表评论