本试卷共150分。考试时长120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设全集
，集合
，则集合
＝
A. 
B. 
C. 
D.
2. 设复数
，则
＝
A. 
B. 
C. 
D.
3. 焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是
A. 
B. 
C. 
D.
4. 在锐角△ABC中，若
，则cosB＝
A. 
B. 
C. 
D.
5. 函数
是
A. 奇函数，且值域为
B. 奇函数，且值域为R
C. 偶函数，且值域为
D. 偶函数，且值域为R
6. 圆
截x轴所得弦的长度等于
A. 2 B. 
C. 
D. 4
7. 设
为非零实数，且
，则
A. 
B.
C. 
D. 以上三个选项都不对
8. 设向量
满足
，则
的最小值为
A. 
B. 
C. 1 D.
9. 设
为等比数列，则”对于任意的
“是”
为递增数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目。
图1的平行四边形ABCD由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为
A. 平行 B. 相交 C. 异面且垂直 D. 异面且不垂直
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 在
的展开式中，x的系数为____________。
12. 在等差数列
中，若
，则
＝__________；使得数列
前n项的和
取到最大值的n＝__________。
13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________。
14. 能说明”若
，则方程
表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组
的值是___________。
15. 已知函数f（x））的定义域为R，满足
，且当
时，
。有以下三个结论：
①
②当
时，方程
在区间
上有三个不同的实根；
③函数
有无穷多个零点，且存在一个零点
。
其中，所有正确结论的序号是_________。
三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分14分）
如图，在三棱柱
中，
底面ABC，AC⊥BC，D是
的中点，且
。
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求直线BC与平面
所成角的正弦值。
17. （本小题满分14分）
已知函数
同时满足下列四个条件中的三个：
①最小正周期为
；②最大值为2；③
；④
。
（Ⅰ）给出函数f（x）的解析式，并说明理由；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间。
18. （本小题满分14分）
随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔，其中，小型视频会议软件格外受人青睐，根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，F。
在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况，为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W（单位：人次）与使用量U（单位：人次），数据用柱状图表示如下：
定义软件的使用率
，当
时，称该款软件为”有效下载软件”，调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率。
（Ⅰ）在这6款软件中任取1款，求该款软件是”有效下载软件”的概率；
（Ⅱ）从这6款软件中随机抽取4款，记其中”有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中概率值记为x％，对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为”有效下载软件”？说明理由。
19. （本小题满分15分）
设函数
，其中
，曲线
在点
处的切线经过点
。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）证明：
。
20. （本小题满分14分）
已知椭圆
经过点
，离心率为
，O为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点（不在坐标轴上），直线CD交x轴于点
为直线AD上一点，且
，求证：
三点共线。
21. （本小题满分14分）
如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中
表示位于第m行第n列的数。将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即
，其中
）。
表1 表2
|
| … |
|
|
| … |
| |
|
| … |
|
|
| … |
| |
… | … | … | … | … | … | … | … | |
|
| … |
|
|
| … |
|
（Ⅰ）判断是否存在表1，使得表2中的
等于
？等于
呢？（结论不需要证明）
（Ⅱ）如果
，且对于任意的
，都有
≥1成立，对于任意的
，都有
成立，证明：
；
（Ⅲ）若
，求最小的正整数k，使得任给
，都有
成立。
【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1. D 2. A 3. D 4. C 5. B
6. B 7. C 8. B 9. C 10. B
二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分。
11. 30 12. 9，5 13.
14. 答案不唯一，如
15. ①②
注：第12题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题：本大题共6小题，共85分，其他正确解答过程，请参照评分标准给分。
16. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）如图，连接
，设
，并连接DE。
由三棱柱
，得
。 2分
又因为D是
的中点，
所以
∥
。 4分
又因为
平面
，
所以
∥平面
. 6分
（Ⅱ）因为
⊥底面
，
所以
两两垂直，故分别以
为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， 7分
则
，
所以
， 8分
设平面
的法向量
，
由
，得
令
，得
。 11分
设直线BC与平面
所成的角为
，
则
，
所以直线BC与平面AB1D所成角的正弦值为
。 14分
17. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件③，
则
，
这与
矛盾，故
不能满足条件③，
所以函数
只能满足条件①，②，④。 2分
由条件①，得
，
又因为
，所以
。 4分
由条件②，得
。 5分
由条件④，得
，
又因为
，所以
，
所以
。 8分
（Ⅱ）由
， 10分
得
， 12分
所以函数f（x）的单调递增区间为
。 14分
（注：单调区间写成开区间亦可。）
18. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）根据数据，可得软件A，B，C，D，E，F的使用率
，
，
所以软件A，B，E，F为”有效下载软件”。 2分
记事件M为”在6款软件中任取1款，该款软件是有效下载软件”， 3分
则事件M的概率
。 4分
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为2，3，4。 5分
则
。 8分
所以随机变量X的分布列为：
X | 2 | 3 | 4 |
P |
|
|
|
9分
所以随机变量X的数学期望
。 10分
（Ⅲ）不能认为大约有x％的软件为”有效下载软件”。 12分
理由如下：
若根据这6款软件中”有效下载软件”的概率来估计所有软件中”有效下载软件”的频率，即是用样本估计总体。
用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取。
但此次调查是”从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取”下载量排名前6名”的软件，不是从所有软件中随机抽取6款作为样本。
故不能认为大约有x％的软件为”有效下载软件”。 14分
19. （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由
，得
， 2分
则
，
所以曲线
在点
处的切线为
， 4分
将点
代入切线方程，得
。 5分
（Ⅱ）由题意，得
，
令
，得
， 7分
随着x变化，
的变化情况如下表所示：
|
|
|
|
| － | 0 | ＋ |
| ↘ | 极小值 | ↗ |
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增， 9分
所以函数
存在极小值，且极小值为
；函数
不存在极大值。10分
（Ⅲ）”
“等价于”
“， 11分
由（Ⅱ），得
（当且仅当
时等号成立）， ①
所以
，
故只要证明
即可（需验证等号不同时成立）。 12分
设
，
，则
。 13分
因为当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
（当且仅当
时等号成立）。 ②
因为①②两个不等式中的等号不同时成立，
所以当
时，
。 15分
20. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意，得
， 2分
又因为
， 3分
所以
，
故椭圆E的方程为
。 5分
（Ⅱ）
，
设
，则
， 6分
所以直线CD的方程为
， 7分
令
，得点P的坐标为
， 8分
设
，由
，得
（显然
）。 9分
直线AD的方程为
， 10分
将
代入，得
，即
，11分
故直线BQ的斜率存在，且
12分
。 13分
又因为直线BC的斜率
，
所以
，即
三点共线。 14分
21. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）存在表1，使得
；不存在表1，使得
等于
。3分
（Ⅱ）因为对于任意的
，都有
，
所以
，
所以
，
即
。 6分
又因为对于
，都有
，
所以
，
所以
，
所以
，
即
。 8分
（Ⅲ）当表l如下图时：
0 | 1 | 1 | … | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | … | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | … | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | … | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | … | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | … | 1 | 1 |
… | … | … | … | … | … |
1 | 1 | 1 | … | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | … | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | … | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | … | 1 | 0 |
其中，每行恰好有1个0和19个1；每列恰好有2个0和38个1；因此每行的和均为19，符合题意。
重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20；后2行各数均为0，因此k≥39。 10分
以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数（即包含
。）
假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数。
则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数。
这与表2中前39行中共有39×20＝780个数矛盾。
所以表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数。12分
其次，在表2中，根据重排规则得：当
时，
，
所以
，
所以
，
综上，
。 14分