北京市西城区2020届下学期初中九年级二模考试数学试卷

本试卷共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列各组图形中，能将其中一个图形经过平移变换得到另一个图形的是

2.中国国家航天局2020年4月24日在”中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为”天问”，将中国首次火星探测任务命名为”天问一号”. 火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5 500万千米，将5 500用科学记数法表示为

（A） （B） （C） （D）

3.图1是某个几何体的平面展开图，该几何体是

4.下列运算中，正确的是

（A） （B） （C） （D）

5.如图，实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

（A） （B） （C） （D）

6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为

（A） （B）

（C） （D）4

7.某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），S与t之间的函数关系如图所示．若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是

（A）汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟

（B）汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园

（C）加油后汽车行驶的速度为60千米/时

（D）加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快

8.张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：

①2019年10月至2020年3月通话时长统计表

②2020年4月与2020年5月，这两个月通话时长的总和为1100分钟

根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为

（A）550 （B）580 （C）610 （D）630

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______．

10.因式分解：＝_______．

11.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则△ABC的面积等于______．

12.如图，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是__．

13.如图，双曲线与直线y＝mx交于A，B两点，若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为_______．

14.如图，用10个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个宽为50 cm的大矩形，设每个小矩形的长为 x cm，宽为y cm，则可以列出的方程组是______．

15.某调查机构对某地互联网行业从业情况进行调查统计，得到当地互联网行业从业人员年龄分布统计图和当地90后从事互联网行业岗位分布统计图：

对于以下四种说法，你认为正确的是________ （写出全部正确说法的序号） ．

① 在当地互联网行业从业人员中，90后人数占总人数的一半以上

② 在当地互联网行业从业人员中，80前人数占总人数的13%

③ 在当地互联网行业中，从事技术岗位的90后人数超过总人数的20%

④ 在当地互联网行业中，从事设计岗位的90后人数比80前人数少

16.一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中.

（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是____.

（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有__个球.

三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：.

18.解方程：．

19.已知关于x的一元二次方程.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．

20.下面是小明设计的”在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：

已知：△ABC.

求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等.

作法：如图，

作∠BAC的平分线，交BC于点D.

则点D即为所求.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，

∵AD平分∠BAC，

∴ ________ ＝________ （ ） （填推理的依据） .

21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝ 90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）连接DE，若AC ＝，BC ＝2，

求证：△ADE是等边三角形．

22. 某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标，，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：

注”●”表示患者，”▲”表示非患者.

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这40名被调查者中，

①
指标低于0.4的有______人；

②将20名患者的指标的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标的

平均数记作，方差记作，则

__，__ （填”>”，”＝”或”<“） ；

（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标低于0.3的大约有____人；

（3）若将”指标低于0.3，且指标低于0.8″作为判断是否患有这种疾病的依据，则 发生漏判的概率是____.

23. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O 上两点，且，连接OC，BD，OD.

（1）求证：OC垂直平分BD；

（2）过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AD，CD.

①依题意补全图形；

②若AD＝6，，求CD的长.

24.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP．已知AB ＝ 6 cm，设B，D两点间的距离为x cm，B，P两点间的距离为y₁ cm，A，P两点间的距离为y₂ cm.

小明根据学习函数的经验，分别对函数y₁，y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整:

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，

分别得到了y₁，与x的几组对应值：

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y₁），（x，），并画出函数y₁，的图象；

（3）结合函数图象，回答下列问题：

① 当AP＝2BD时，AP的长度约为 ________cm；

② 当BP平分∠ABC时，BD的长度约为______cm.

25.在平面直角坐标系中，函数（）的图象G与直线交于点A（4，1），点B（1，n）（n≥4，n为整数）在直线l上．

（1）求的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象与直线l围成的区域（不含边界）为W．

① 当 n ＝ 5时，求的值，并写出区域W内的整点个数；

② 若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围．

26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB＝2OD.

（1）当时，

① 写出抛物线的对称轴；

② 求抛物线的表达式；

（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围.

27. 在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE >DE），AE，BD交于点F.

（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H.

求证：∠EAB ＝∠GHC；

（2）AE的垂直平分线分别与AD， AE， BD交于点P，M，N，连接CN.

① 依题意补全图形；

②
用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．

28. 对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点.

（1）如图，，，，

① 点P关于点B的定向对称点的坐标是______；

② 在点，，中，________是点P关于线段AB的定向对称点.

（2）直线分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点为圆心，为半径的圆.

①当时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求的取值范围；

②对于，当时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出b的取值范围.

【试题答案】

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．10.11.4

12．72°13.（－2，－3）14.

15．①③16．（1）红（2）20．

三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）

17．解：

．5分

18．解：方程两边乘以，得．

解得.

检验：当时，．

所以，原分式方程的解为. 5分

19．解：（1）依题意，得△＝．

＝．

∵≥，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：由求根公式，得，

∴，．

∵该方程有一个根大于2，

∴．

∴．

∴k的取值范围是．5分

20．解：（1）如图.

（2）DE，DF，角平分线上的点到角两边的距离相等. 5分

21．证明：（1）∵AE∥DC，CE∥DA，

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵在Rt△ABC中，D为AB的中点，

∴AD＝BD＝CD＝．

∴四边形ADCE是菱形．

（2）在Rt△ABC中，AC＝，BC＝2，

∴．

∴∠CAB＝30°．

∵四边形ADCE是菱形．

∴AE＝AD，∠EAD＝2∠CAB＝60°．

∴△ADE是等边三角形．5分

22．解：（1）①9.

②<，>.

（2）100.

（3）0.25. 5分

23．（1）证明：∵

∴∠COD＝∠COB．

∵OD＝OB，

∴OC垂直平分BD．

（2）解：①补全图形，如图所示.

②∵CE是⊙O切线，切点为C，

∴OC⊥CE于点C．

记OC与BD交于点F，由（1）可知OC垂直BD，

∴∠OCE＝∠OFB＝90°．

∴DB∥CE．

∴∠AEC＝∠ABD．

在Rt△ABD中，AD＝6，，

∴BD＝8，AB＝10．

∴OA＝OB＝OC＝5．

由（1）可知OC平分BD，即DF＝BF，

∴BF＝DF＝4．

∴．

∴CF＝2．

在Rt△CFD中，． 6分

24．解：（1）

（2）画出函数的图象；

（3）答案不唯一，如：

①3.86；

②3．6分

25．解：（1）∵点A（4，1）在函数（）的图象G上，

∴m＝4．

（2）①，经过点B（1，5），

∴．

解得．

此时区域内有2个整点．

②∵直线l

过定点A（4，1），

∵n为整数，

当n＝6时，直线，经过点B（1，6），区域内有4个整点，

当n＝7时，直线，经过点B（1，7），区域内有5个整点，

此时，可得．

当n≥8时，区域内的整点个数大于5个．

∴的取值范围是．6分

26．解：（1）当时，化为．

①．

②∵抛物线的对称轴为直线，

∴点D的坐标为（－1，），OD＝1．

∵OB＝2OD，

∴OB＝2．

∵点A，点B关于直线对称，

∴点B在点D的右侧．

∴点B的坐标为（，）．

∵抛物线与x轴交于点B（，），

∴．

解得．

∴抛物线的表达式为．

（2）设直线与x轴交点为点E，

∴E（，0）．

抛物线的对称轴为，

∴点D的坐标为（，）．

①当时，．

∵OB＝2OD，

∴OB＝b．

∴点A的坐标为（，），点B的坐标为（b，）．

当<时，存在垂直于x轴的直线分别与直线：

和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，

解得．

②当时，．

∴．

∵OB＝2OD，

∴OB＝－b．

∵抛物线与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，

∴点A的坐标为（，），点B的坐标为（－b，）．

当0<时，存在垂直于x轴的直线分别与直线：

和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，

解得b<－2．

综上，b的取值范围是或.6分

27．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，

∴∠AGH＝∠GHC．

∵GH⊥AE，

∴∠EAB＝∠AGH．

∴∠EAB＝∠GHC．

（2）①补全图形，如图所示．

②．

证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．

∵四边形ABCD是正方形，

∴点A，点C关于BD对称．

∴NA＝NC，∠1＝∠2．

∵PN垂直平分AE，

∴NA＝NE．

∴NC＝NE．

∴∠3＝∠4．

在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，

∴∠AQE＝∠4．

∴∠1＋∠AQE＝∠2＋∠3＝90°．

∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．

在Rt△ANE中，

∴．7分

28．解：（1）①；

②C，D．

（2）①由题意，，

若，

当直线l与以点为圆心，1为半径的圆相切时，．

当直线l经过点时，．

∴≤≤．

若，

当直线l经过点时，．

当直线l与以点为圆心，3为半径的圆相切时，．

∴≤≤．

综上，的取值范围是≤≤或≤≤．

②.7分