北京101中学2020届下学期高三年级第三次统考数学试卷

一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合A={x∈Z|≤0}，B={x|<1}，则AB=（
）

A. {-1，0，l，2} B. [-1，2） C. {-1，0，1} D. [-1，2]

2. 已知复数z=2+i，则z·=（
）

A. B. C. 3 D. 5

3. 下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（
）

A. = B.

C. D. sinx

4. 设抛物线C：上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是（
）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

5. 某公司一年需要购买某种货物4800吨，每次购买x吨，运费为3万元／次，一年的总存储费用为4x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（
）

A. 20 B. 30 C. 45 D. 60

6. 已知角以x轴正半轴为始边，其终边在射线（x≤0）上，则sin+cos=（
）

A. – B. – C. D.

7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（
）

A. B. C. D. 16

8．在△ABC中，若a=9，b=6，A=，则cos B=（
）

A. B. C. D.

9. 已知△ABC，则“sinA=COS B”是“△ABC是直角三角形“的（
）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10．若无穷数列{a_n}满足：a₁≥0，当n∈N*，n≥2时，|a_n-a_n-1|=max{a₁，a₂，…，a_n-1}（其中max{a₁，a₂，…，a_n-1}表示a₁，a₂，…，a_n-1中的最大项），则以下结论：

①若数列{a_n}是常数列，则a_n=0（n∈N*）；

②若数列{a_n}是公差d≠0的等差数列，则d<0：

③若数列{a_n}是公比为q的等比数列，则q>l；

④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有a_n+T=a_n，则a₁是数列{a_n}的最大项。

所有正确的结论是（
）

A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④

二、填空题共5小题。

11. 已知非零向量a，b的夹角为，且（a-b）⊥b，则=________。

12．已知a>0，b>0，若（ax²+）⁸的展开式中x⁴项的系数为70，则ab的值为________。

13．已知圆=0与双曲线的渐近线相切，则m的值为________。

14．已知点M（1，0），N（0，-1），若点P在函数y=ln（x+2）的图像上，则使得△PMN面积为1的点P的个数为________。

15. 定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x₁，x₂
（x₁≠x₂），均有成立，则称函数在定义域D上满足阶HLDER条件。

（1）函数=2x是否满足阶HLDER条件?___________（填“是”或“否“）；

（2）已知=（x≥0）满足阶HLDER条件，则常数k的最小值为________。

三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. 已知{a_n}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为S_n，满足a₂=6，_________，是否存在正整数k，使得S_k>1000?若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由。

从①S₃=21；②a₄=24；③a₅=48这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答。

17．体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成年人腋下温度T（单位：℃）平均在36℃～37℃之间即为正常体温，超过37.1℃即为发热。发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.1≤T≤38；高热：38<T≤40；超高热（有生命危险）：T>40。某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗。医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热。住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午4：00为患者测量腋下体温记录如下：

（1）请你计算住院期间该患者体温不低于39℃的各天体温平均值；

（2）在19日～23日这5天中，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目”项目“的检查，记X为高热体温下做“项目“检查的天数，试求X的分布列与数学期望：

（3）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果。假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由。

18．如图1，△DAC和△ABC都是等腰直角三角形，其中AB=BC，AC=CD=2。现将△DAC沿AC折起到△VAC的位置，如图2，M为VA的中点，过CM的平面CMN与直线AB平行，且与直线VB交于点N。

（1）求的值；

（2）当平面VAC⊥平面ABC时，

①求直线VB与平面MBC所成角的正弦值；

②在平面VAC内是否存在一点P，使得NP⊥平面MBC?若存在，求线段CP的长度；若不存在，说明理由。

19. 已知椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，|AB|=3。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意点到直线PA，PB的距离均相等?若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由。

20. 已知函数=（a∈R）。

（1）若曲线y=在（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；

（2）已知在[0，1]上的最大值不小于2，求a的取值范围；

（3）写出所有可能的零点个数及相应的a的取值范围。（请直接写出结论）

21. 对于无穷数列{c_n}，若对任意m，n∈N*，且m≠n，存在k∈N*，使得c_m+c_n=c_k成立，则称{c_n}为“G数列“。

（1）若数列{b_n}的通项公式为b_n=2n，{t_n}的通项公式为t_n=2n+1，分别判断{b_n}，{t_n}是否为“G数列“，并说明理由；

（2）已知数列{a_n}为等差数列，

①若{a_n}是“G数列“，a₁=8，a₂∈N*，且a₂> a₁，求a₂所有可能的取值；

②若对任意n∈N*，存在k∈N*，使得a_k=S_n成立，求证：数列{a_n}为“G数列“。

参考答案

1. C 2. D 3. C 4. B 5. D 6. C 7. A 8. A 9. D 10. D

11．2． 12．1． 13．±． 14．3． 15．（1）否；（2）1．

16．选择①，因为a₂=6，S₃=21，所以q≠1。

所以S₃=+a₂+ a₂q=+6+6q=21。所以q=2或q=。

当q=2时，a₁=3，S_n==3（2ⁿ-1），

令S_k>1000，即2^k>，所以使得S_k>1000的正整数k的最小值为9。

当q=时，a₁=12，S_n==24（1-）

令S_k>1000，即2^k<-，所以不存在满足条件的正整数k。

选择②，因为a₂=6，a₄=24，所以q=±2。

当q=2时，a₁=3，S_n==3（2ⁿ-1），

令S_k>1000，即2^k>，所以使得S_k>1000的正整数k的最小值为9。

当q=-2时，a₁=-3，所以S_n=，

令S_k>1000，即（-2）^k>1001。

当k为偶数时，2^k>1001，所以正整数k的最小值为10。

当k为奇数时，原不等式无解；

所以使得S_k>2020的正整数k的最小值为10。

选择③，因为a₂=6，a₅=48，所以q³=8。

所以q=2，a₁=3，S_n==3（2ⁿ-1），

令S_k>1000，即2^k>。

所以使得S_k>1000的正整数k的最小值为9。

17．（1）由表可知，该患者共6天的体温不低于39℃，记平均体温为，

=（39.4+39.7+40.1+39.9+39.2+39.0）=39.55℃。

所以，患者体温不低于39℃的各天体温平均值为39.55℃。

（2）X的所有可能取值为0，1，2。

P（X=0）=，P（X=1）= ，P（X=2）= 。

则X的分布列为：

所以E（X）=0×+1×+2×=。

（3）“抗生素C”治疗效果最佳可使用理由：

①“抗生素B”使用期间先连续两天降温1.0℃又回升0.1℃，“抗生素C”使用期间持续降温共计1.4℃，说明“抗生素C”降温效果最好，故“抗生素C”治疗效果最佳。

②“抗生素B”治疗期间平均体温39.03℃，方差约为0.0156；“抗生素C”平均体温38℃，方差约为0.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳。

“抗生素B”治疗效果最佳可使用理由：

自使用“抗生素B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素B”治疗当天共降温0.7℃，是单日降温效果最好的一天，故“抗生素B”治疗效果最佳。

18．（1）因为AB∥平面CMN，平面CMN平面VAB=MN，

所以AB∥MN。

因为M为VA的中点，所以N为VB的中点，所以。

（2）①在等腰直角三角形VAC中，

因为AC=VC=2，所以VC⊥AC。

又平面VAC⊥平面ABC，

平面VAC平面ABC=AC，

所以VC⊥平面ABC。

在平面ABC内过点C做y轴垂直于AC，

则VC⊥y轴，VC⊥AC，

如图建立空间直角坐标系C-xyz。

则C（0，0，0），V（0，0，2），B（1，1，0），M（1，0，1），

=（1，1，-2），=（1，0，1），=（1，1，0）。

设平面MBC的法向量为n=（x，y，z），

则令x=1，则y=-1，z=-1所以n=（1，-1，-1）。

设直线VB与平面MBC所成角为，

则

②若在平面VAC内存在一点P，NP⊥平面MBC，

设P（x₀，0，z₀），则∥n，

因为N（，，1），所以=（x₀–，–，z₀-1），

所以，所以，，

所以，存在点P（1，0，），CP==。

19．（1）由题意得解得：a=2，b=，c=1。

所以椭圆的标准方程为。

（2）依题意，若直线l的斜率不为零，可设直线l：x=my+1（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）。

假设存在点P，设P（x₀，0），由题设，x₀≠1，且x₀≠x₁，x₀≠x₂。

设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，则k₁=，k₂=。

因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在x=my+1上，故x₁=my₁+1，x₂=my₂+1。

而x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等等价于“PF平分∠APB”，

继而等价于k₁+k₂=0。

则k₁+k₂=

。

联立消去x，得（3m²+4）y²+6my-9=0，

有，。

则

即-4m+mx₀=0，故x₀=4或m=0（舍）。

当直线l的斜率为零时，P（4，0）也符合题意。

故存在点P（4，0），使得x轴上任意点到直线PA，PB距离均相等。

20．（1）因为=（a∈R），所以。

依题意，即。

当时，，此时切线不与x轴重合，符合题意，因此。

（2）由（1）知，，

当a≤0时，因为x∈[0，1]，e^x>0，-2ax≥0，

故，即单增，因此。

依题意，当a≤0时，，所以a≤0符合题意。

当a>0时，，，有x=ln2a。

，变化如下：

故_min=2a-2aln2a=2a（1-ln2a）。

当1-ln2a≥0时，即0<a≤时，≥0，单调递增，

因此_max==e–a。

依题意，令e–a≥2，有0<a≤e-2。

当1-ln 2a<0时，即a>时，=e-2a<0，=1>0，

故存在唯一∈（0，1）使=0。

此时有=0，即，，变化如下：

所以，x₀∈（0，1）。

依题意，令g（x）=e^x–，x∈（0，1），则>0，g（x）在（0，1）单调递增，

所以g（x）<g（1）=<2，所以<2，此时不存在符合题意的a。

综上所述，当a∈（–，e-2]，在[0，1]上的最大值不小于2，

若a（–，e-2]，则在[0，1]上的最大值小于2，

所以a的取值范围为（–，e-2]。

方法二：

（2）当x∈[0，1]时，最大值不小于2，等价于

=≥2在x∈[0，1]上有解，显然x=0不是解，

即a≤在x∈（0，1]上有解，

设g（x）=，x∈（0，1]，则。

设h（x）=xe^x-2e^x+4，x∈（0，1]，则≤0。

所以h（x）在（0，1]单调递减，h（x）≥h（1）=4-e>0，

所以>0，所以在（0，1]上单调递增，所以_max=g（1）=e-2。

依题意需a≤e-2，所以a的取值范围为（–，e-2]。

方法三：

（2）由（1）知，=e^x-2ax，

当a≤时，= e^x-2ax≥e^x–ex，

设h（x）= e^x–ex，x∈[0，1]，≤0，

所以h（x）在[0，1]单调递减，故h（x）≥h（1）=0。

所以≥0，所以在[0，1]单调递增，

因此_max=f（1）=e–a。

依题意，令e-a≥2，得a≤e-2。

当a>时，=e^x–ax²≤e^x–x²，

设（x）= e^x–x²，x∈[0，1]，则（x）=e^x–ex=h（x）≥0，

所以（x）在[0，1]单调递增，

故（x）_max=（1）=e-=<2，即<2，不符合题意。

综上所述，a的取值范围为（–，e-2]。

（3）当a≤0时，y=有0个零点；当0<a<时，y=有1个零点；

当a=时，y=有2个零点；当a>时，y=有3个零点。

21. （1）{b_n}是“G数列“，理由是：

对任意m，n∈N*，且m≠n，b_m=2m，b_n=2n，b_m+b_n=2（m+n）=b_m+n，m+n∈N*，

b_m+n为数列{b_n}中的第（m+n）项。

②数列{t_n}不是“G数列“，理由是：

因为t_n=2n+1，所以{t_n}的每一项均为奇数，

因为t₁+ t₂=3+5=8为偶数，不是（t_n）中的项，即不存在k∈N*，使得t₁+ t₂= t_k。

（2）①因为{a_n}为等差数列，且a₁=8，a_n=8+（n-1）（a₂-8）。

若{a_n}是“G数列“，则对任意m，n∈N*且m≠n，存在k∈N*，使得a_m+a_n=a_k成立，

即8+（m-1）（a₂-8）+8+（n-1）（ a₂-8）=8+（k-1）（a₂-8），

又因为a₂> a₁，所以k=+m+n-1，

因为k∈N*，且a₂>8，则a₂-8=1，2，4，8。

所以a₂=9，10，12，16。

②根据条件，对任意n∈N*，存在k∈N*，使得a_k=S_n成立，

即na₁+d= a₁+（k-1）d。

当d=0时，必有a₁=0，此时数列{a_n}为“G数列“。

当d≠0时，对任意n∈N*，k=1++（n-1）∈N*，

取n=2，k=2+∈N*，此时只可能取不小于-1的整数。

（A）当=-1时，k=1+–（n-1）=+2，

当n=1，2，3时，k分别取值1，1，2，均为正整数；

当n>3，n∈N*时，n与n-3的奇偶性不同，

则∈N*，所以k=+2也为正整数。

（B）当∈N时，显然k=1++（n-1）∈N*。

令=s，则s的取值范围为{s∈Z|s≥-1}。

因为a₁=sd，所以a_n=sd+（n-1）d=（s+n-1）d。

若对任意m，n∈N*且m≠n，有m+n≥3，

又因为s≥-1且S∈Z，所以r=s+m+n-1必为正整数。

因为a_m+ a_n=（s+m-1）d+（s+n-1）d=（2s+m+n-2）d，a_r= a_s+m+n-1=（2s+m+n-2）d，

所以a_m+ a_n=a_r，即对任意m，n∈N*且m≠n，存在r=s+m+n-1∈N*，使得a_m+a_n=a_r。

所以当d≠0时，{a_n}为“G数列“。

综上所述，{a_n}为“G数列“。