北京市西城区2019-2020学年下学期初中七年级期末考试数学试卷

本试卷共三道大题，26道小题。满分100分。考试时间100分钟。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. -8的立方根是

A. -4 B. -2 C. 2 D. ±2

2. 将不等式的解集x>6表示在数轴上，下列图形中正确的是

A B C D

3. 点P（-5，4）所在的象限是

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 下列各数中的无理数是

A. B. C. D. -6

5. 已知m >n，下列结论中正确的是

A. m +2<n+2 B. m -2<n-2

C. -2m >-2n D. >

6. 下列各图中，线段CD是△ABC的高的是

A. B.

C. D.

7. 如图，分别将木条a，b 与木条c 钉在一起，若∠1=50°，∠2=80°，要使木条a 与b 平行，则木条a需要顺时针转动的最小度数为

A. 30° B. 50° C. 80° D. 130°

8. 下列命题中正确的是

A. 如果两个角相等，那么这两个角一定是对顶角

B. 如果两个角互为补角，那么这两个角一定是邻补角

C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

D. 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角相等

9. 党的十八大以来，我国实施精准扶贫精准脱贫，全面打响了脱贫攻坚战，扶贫工作取得了决定性进展。下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率“是指贫困人口占目标调查人口的百分比。

2015～2019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率统计图

根据统计图提供的信息，下列推断中不合理的是

A. 与2018年相比，2019年年末全国农村贫困人口减少了1109万人

B. 2015~2019年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万

C. 2015~2019年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降

D. 2015~2019年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率下降均不少于1. 2%

10. 已知关于x 的不等式2x-m <1-x 的正整数解是1，2，3，则m 的取值范围是

A. 3<m ≤4 B. 3≤m <4 C. 8<m ≤11 D. 8≤m <11

二、填空题（本题共18分，第13，18题每小题3分，其余每小题2分）

11. 计算：|–|=_________。

12. 小芸为了解同学们最感兴趣的在线学习方式，设计了如下的调查问题（选项不完整）：

她准备从“①在线听课，②在线讨论，③在线学习2~3小时，④用手机在线学习，⑤在线阅读“中选取三个作为该问题的备选答案，合理的选取是_________。（填序号）

13. 将一把直尺与一块含30°角的三角板按如图方式摆放。

若∠1=25°，则∠2=_________°，∠3=_________°。

14. 已知点A（m -1，2m +3）在 y轴上，则点A的坐标为_________。

15. 若一个多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为_________。

16. 用一组a，b，c的值说明命题 “若a>b，则ac>bc。“是假命题，这组值可以是a=_________，b=_________，c=_________。

17. 如图，AD 是△ABC的中线，E是AD的中点，连接EB，EC，CF⊥BE于点F。若BE=9，CF=8，则△ACE的面积为________。

18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为（0，3），（3，3），（3，0）。正方形OABC 从图中的位置出发，以每秒旋转90°的速度，绕点O 沿顺时针方向旋转。同时，点P从点O 出发，以每秒移动1个单位长度的速度，沿正方形的边，按照O→A→B→C→O →A…的路线循环运动。第1秒时点P的坐标为（1，0），第2秒时点P的坐标为________，第2020秒时点P 的坐标为________。

三、解答题（本题共52分，第19～22题每小题6分，第23～26题每小题7分）

19. 解不等式组

20. 小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如x² =a（a 为常数）的这类方程。

（1）小天先尝试解了下面两个方程：

① x²=1，解得x=1或x=-1；
② x²=-1，此方程无实数解。

方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数；

方程②无实数解的依据是：_______________；

（2）小天进一步探究了解方程③和④：

③ 3x²=21；
④（x+2）²=9。

解：x²=7。
解：x+2=3或x+2=-3。

x= 或x=- 。 x=1或x=-5。

请你参考小天的方法，解下列两个方程：

⑤ 2x²-72=0；
⑥
（x-1）²=5。

21. 如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，EF∥DC，点H在BC边上，且∠1+∠2=180°。求证：∠A=∠BDH。

请将下面的证明过程补充完整：

证明：∵EF∥DC，

∴∠2+∠_______=180°。（理由：_______）

∵∠1+∠2=180°，

∴∠1=∠_______。

∴_______∥_______。（理由：_______）

∴∠A=∠BDH。

22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（0，1），B（4，2），C（2，-2）。

（1）在网格中画出这个平面直角坐标系；

（2）连接CB，平移线段CB，使点C 移动到点A，得到线段AD。

①
画出线段AD，并写出点D的坐标；

②
连接AC，DB，四边形ACBD的面积是_______。

23. 为弘扬传统文化，某校开展了“传承传统文化，阅读经典名著“活动，并举行了经典名著知识竞赛。为了解七年级学生（七年级有8个班，共320名学生）的阅读效果，综合实践调查小组开展了一次调查研究。

收集数据

（1）调查小组计划选取40名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下面的抽样方法中，合理的是_________；（填字母）

A. 抽取七年级1班、2班各20名学生的竞赛成绩组成样本

B. 抽取各班竞赛成绩较好的共40名学生的竞赛成绩组成样本

C. 从年级中按学号随机选取40名学生的竞赛成绩组成样本

整理、描述数据

抽样方法确定后，调查小组收集到了40名学生的竞赛成绩，其中竞赛成绩x 在80≤x≤100范围的具体成绩如下：

90，92，81，82，95，86，88，89，86，93，97，100，80，

81，86，89，82，85，98，90，97，100，84，87，92，96。

整理数据，得到如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）：

（2）请补全以上频数分布表和频数分布直方图；

应用数据

（3）若竞赛成绩不低于90分的记为 “优秀“，请你估计参加这次知识竞赛的全年级320名学生中，竞赛成绩为 “优秀“的约有多少人?

24. 某公园为了方便游客游览，设置了观光接驳车。公园设计的其中一条观光路线上设有A，B，C，D四个站点（如图所示），相邻两个站点的距离都是5千米，游客只能在站点上、下车。一辆接驳车在A，D之间往返行驶，一名游客在距离A 站点x 千米（5<x<10）的M 处徒步游览时，临时有事要赶回站点A，此时他正好遇到开往站点D 的接驳车，他决定走到站点B 等待刚才那辆车从站点D 开回。已知接驳车行驶的平均速度为30千米/时，该游客步行的平均速度为6千米/时，游客上下车的时间忽略不计。

（1）接驳车在A，D 之间往返行驶一次所需时间为_______小时；

（2）该游客从 M 处走到站点B 所需时间为_______小时；（用含x 的式子表示）

（3）如果该游客不晚于接驳车到达了站点B，那么当时他离站点A 的距离x 最多有多远?

25. 对于平面直角坐标系xOy 中的任意一点P （x，y），给出如下定义：记a=x+y，b=-y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点“。

例如：点P（2，3）的一对 “相伴点“是点
（5，-3）与（-3，5）。

（1）点Q（4，-1）的一对 “相伴点“的坐标是_________与_________；

（2）若点A（8，y）的一对 “相伴点“重合，则y 的值为_________；

（3）若点B 的一个 “相伴点“的坐标为（-1，7），求点B 的坐标；

（4）如图，直线l
经过点（0，-3）且平行于x 轴。若点C 是直线l上的一个动点，点M与N是点C的一对“相伴点“，在图中画出所有符合条件的点 M，N 组成的图形。

26. 已知△ABC，过点B 作DE⊥BC 于点B，过点C 作FH ∥DE。

（1）BC 与FH 的位置关系是________；

（2）如图1，点M在直线DE和FH之间，连接BM，CM。若∠ABM=∠ABD，∠ACM =∠ACF，∠BAC=72°，求∠BMC的度数；

（3）若∠ABE 和∠ACH 的平分线交于点N，在图2中补全图形，用等式表示∠BNC与∠BAC 的数量关系，并证明。

图1 图2

附加题

试卷满分：20分

一、解答题（本题共13分，第1题6分，第2题7分）

1. 已知一个三角形的三条边的长分别为n+2，n+6，3n。

（1）n+2_______n+6；（填 “>”，“=”或 “<“）

（2）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；

（3）若这个三角形的三条边都不相等，且n为正整数，直接写出n 的最大值。

2. 在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在射线DC上，EF⊥BC于点F，EM平分∠AEF交直线AB于点M。

（1）如图1，点E在线段DC上，若∠A=90°，∠M =。

①
∠AEF=________；（用含的式子表示）

②
求证：BD ∥ME；

（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，EM 交BD 的延长线于点N，用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系，并证明。

图1 图2

二、阅读探究题（本题7分）

3. 在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点。给出如下定义：对于任意两个整点M （x₁，y₁），N（x₂，y₂），M与N的“直角距离“记为d_MN，d_MN =|x₁-x₂|+|y₁-y₂|。

例如，点M（1，5）与N（7，2）的“直角距离“d_MN=|1-7|+|5-2|=9。

（1）已知点A（4，-1）。

①
点A 与点B（1，3）的 “直角距离“d_AB = ________；

②
若点A 与整点C（-2，m）的 “直角距离“d_AC =8，则m的值为________；

（2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格。小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）。

为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离“之和最小。目前该社区内有两个火警高危点，分别是D（-2，-1）和E（2，2）。

①
若对于火警高危点D 和E，消防站P 不仅要满足上述条件，还需要消防站P 到D，E两个点的 “直角距离“之差的绝对值最小，则满足条件的消防站P 的坐标可以是 _______（写出一个即可），所有满足条件的消防站P 的位置共有_______个；

②
在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点F（4，-2），那么满足与这三个火警高危点的“直角距离“之和最小的消防站P 的坐标为_______。

参考答案

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，第13，18 题每小题3分，其余每小题2分）

11．–。 12．①②⑤。 13．55，125。

14．（0，5）。 15．9。

16．答案不唯一，如：a= 2，b=1，c=-1。

17．18。

18．（0，-2），（1，3）。

（说明：第16题列举对
a>b 得1分，全对得2分；第13，18 题答对一个空得2分，全对得3分）

三、解答题（本题共52分，第19～22题每小题6分，第23～26题每小题7分）

19．

解：解不等式①，得x≤1。 2分

解不等式②，得x>-4。 5分

所以原不等式组的解集为-4<x≤1。 6分

20．（1）负数没有平方根； 2分

（2）⑤2x²-72=0

解：x²=36。

x= 6或x=-6。 4分

⑥（x-1）²=5

解：x-1=或x-1=-。

x=1+ 或x=1-。 6分

21. 证明：∵EF∥DC，

∴∠2+∠FCD__ =180°。 1 分

（理由：两直线平行，同旁内角互补__） 2 分

∵∠1+∠2=180°，

∴∠1=∠__FCD__。
3 分

∴__DH∥AC。 5分

（理由：内错角相等，两直线平行） 6 分

∴∠A=∠BDH。

22. 解：（1）坐标系如图所示； 2 分

（2）①线段
AD 如图所示， 3 分

点
D 的坐标为（2，5）； 5 分

② 14。 6 分

23．解：（1）C； 2 分

（2）补全频数分布表和频数分布直方图如下：

……………6 分

（3）×320= 96（人）。 7 分

答：估计全体七年级学生中，竞赛成绩为“优秀“的约有96人。

24．解：（1）1； 2 分

（2）； 3 分

（3）。 5 分

解得x≤。 6 分

答：该游客离站点A的距离最远为千米． 7 分

25．解：（1）（3，1），（1，3）； 2 分

（2）-4； 3 分

（3）设点B 的坐标为（x，y），

则或

解得或

∴点
B 的坐标为（6，-7）或（6，1）； 5 分

（4）如图所示。

…………………7 分

26．解：（1）BC⊥FH； 2 分

（2）如图1。

图 1

∵FH∥DE，

∴∠DBC+∠FCB=180°。

∴∠ABD+∠ACF=180°-∠ABC-∠ACB。

∵在△ABC 中，∠BAC =180°-∠ABC-∠ACB，

∴∠ABD+∠ACF=∠BAC =72°。

∵∠ABM=∠ABD，∠ACM=∠ACF，

∴∠ABM+∠ACM=∠ABD+∠ACF

=（∠ABD+∠ACF）=18°。

∴在△MBC 中，∠BMC =180°-∠MBC-∠MCB

=180°-（∠ABM+∠ACM）-（∠ABC+∠ACB）

=180°-18°-（180°-72°）

=54°。 4 分

（3）∠BAC+2∠BNC=360°。 5 分

证明：过点N 作直线 PQ∥DE，如图2。

图2

∵PQ∥DE，

∴∠PNB=∠EBN。

∵FH∥DE，PQ∥DE，

∴FH∥PQ。

∴∠PNC=∠HCN。

∴∠BNC=∠PNB+∠PNC

=∠EBN+∠HCN。

∵BN，CN 分别平分∠ABE 和∠ACH，

∴∠ABN=∠EBN，∠ACN=∠HCN。

∵在四边形 ABNC 中，

∠BAC+∠ABN+∠BNC+∠ACN =360°，

∴∠BAC+∠EBN+∠BNC+∠HCN =360°。

∴∠BAC+∠BNC+∠BNC =360°。

∴∠BAC+2∠BNC=360°． 7 分

附加题答案

一、解答题（本题共13分，第1题6分，第2题7分）

1．解：（1） <； 2 分

（2）∵这个三角形是等腰三角形，

∴ n+2=3n 或 n+ 6=3n 。

∴ n=1或 n= 3 。 4 分

当
n=1 时，三条边的长分别为3，7，3，不能构成三角形；

当
n= 3 时，三条边的长分别为5，9，9，能构成三角形。

所以三角形的三条边的长分别为5，9，9． 5 分

（3）7． 6 分

2．解：（1）① 180°-2； 2 分

②
证明：如图 1。

图 1

∵EF⊥BC 于点 F，

∴∠EFC=90°。

∴∠C+∠CEF =90°。

∵∠A=90°，

∴∠C+∠ABC =90°。

∴∠CEF=∠ABC。

∵∠AEF=180°-2，

∴∠CEF=2。

∴∠ABC=2。

∵BD 平分∠ABC，

∴∠ABD=∠ABC=。

∴∠ABD=∠M。

∴BD∥ME。
4 分

（2）2∠BNE=90°+∠BAC。 5 分

证明：如图 2。

图 2

∵BD 平分∠ABC，EM 平分∠AEF，

设∠ABD=x，∠AEM=y，

∴∠ABC=2x，∠AEF=2y。

∵∠ABD+∠BAD=180°-∠ADB，

∠NED+∠END=180°-∠NDE，

而∠ADB=∠NDE，

∴∠ABD+∠BAD=∠NED+∠END。

∴x+∠BAD=y+∠END，

即 x–y=∠END-∠BAD。

同理，∠ABC+∠BAC=∠FEC+∠EFC。

∴2x+∠BAC=2y+∠EFC，

即 2x-2y=∠EFC-∠BAC。

∵EF⊥BC 于点F，

∴∠EFC=90°。

∴2（x–y）=90°-∠BAC。

∴2（∠END-∠BAD）=90°-∠BAC。

即 2（∠BNE-∠BAC）=90°-∠BAC。

∴2∠BNE=90°+∠BAC。 7 分

二、阅读探究题（本题7分）

3．解：（1）① 7； 2 分

②-3或 1； 4 分

（2）①
答案不唯一，如（0，0）， 5 分

8； 6 分

②（2，-1）。 7分