北京市西城区2019-2020学年下学期初中八年级期末考试数学试卷

本试卷共三道大题，25道小题。满分100分。考试时间100分钟。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

第1～10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是

A. B. C. D.

2. 下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是

3. 下列运算正确的是

A. B.

C. D.

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为

A. 10 B. 5     C. 4 D. 3

5. 下列关于一元二次方程的说法正确的是

A. 该方程只有一个实数根 B. 该方程只有一个实数根

C. 该方程的实数根为 D. 该方程的实数根为

6. 下列命题正确的是

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B. 对角线相等的四边形是矩形

C. 有一组邻边相等的四边形是菱形

D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

7. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是

A. B.

C. D.

8. 甲、乙两座城市某年四季的平均气温如图所示，下列说法正确的是

A. 甲城市的年平均气温在30℃以上

B. 乙城市的年平均气温在0℃以下

C. 甲城市的年平均气温低于乙城市的年平均气温

D. 甲、乙两座城市中，甲城市四季的平均气温较为接近

9. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME－7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的，如果图2中的＝1，那么OA₈的长为

A. B. 3     C. D.

10. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为，连接，，当点F在BC边上移动使得四边形成为正方形时，的长为

A. B. C. D. 3

二、填空题（本题共26分，其中第18题5分，其余每小题3分）

11. 计算：＝_____________。

12. 如图，在平行四边形ABCD中，若∠A＝2∠B，则∠D＝________°。

13. 若，则___________。

14. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若OB＝5，则AC＝___________。

15. 如果是关于x的方程的一个根，则b＝________。

16. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若∠ABC＝60°，OA＝1，则菱形的周长等于____________。

17. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD边上，CE＝3，若点F在正方形的某一边上，满足CF＝BE，且CF与BE的交点为M，则CM＝____________。

18. 如图，在△OAB中，∠1＝∠2. 将△OAB绕点O顺时针旋转180°，点A的对应点记为C，点B的对应点记为D，顺次连接BC，CD，DA得到四边形ABCD。

（1）补全图形；

（2）所得四边形ABCD为__________（从①矩形；②菱形；③正方形中选择，只填写序号即可），判断此结论的依据是____________。

三、解答题（本题共44分，第19～23题每小题6分，第24、25题每小题7分）

19. 计算：

（1）； （2）。

20. 解方程：。

21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EF∥AB。

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时PC+PF取得最小值，最小值是多少。

22. 甲、乙两支运动队各有10名队员，他们的年龄分布情况分别如图1、图2所示。

甲、乙两队队员年龄统计表

解决下列问题：

（1）求甲队队员的平均年龄a的值（结果取整数）；

（2）补全统计表中的①②③三处；

（3）阅读理解——扇形图中求中位数的方法：

【阅读与思考】

小明同学在求乙队队员年龄的中位数b时，是这样思考的：

因为中位数是将一组数据按大小排序后，排在中间位置的一个数或中间两个数的平均数，那就需要先找到数据按大小排序后，大致排在50％附近的数，再根据中位数的概念进行细化求解。

图2这个扇形图中的数据18～21是按大小顺序旋转排列的，我们就可以像图3所示的这样，先找到最大数据”21″与最小数据”18″的分界半径OM，为找到排在50％附近的数，再作出直径MN，那么射线ON指向的数据就是中位数。

王老师的评价：小明的这个方法是从中位数的概念出发，充分利用了扇形图的特性形象直观地解决问题。

【理解与应用】

请你利用小明的方法直接写出统计表中b的值。

23. 阅读材料：

中国—西班牙联合发行《中欧班列（义乌—马德里）》特种邮票1套2枚，它们的大小、形状相同（如图1）。邮票在设计时采用了多种数学元素：根据画面内容邮票以平行四边形的形式呈现，代表着列车前进的速度，凸显中欧班列的动态美；中国与西班牙两个列车图形保持对称，并向外延展，……；在单枚邮票票面上的平行四边形ABCD中，邻边AB与AD的长度比非常接近黄金分割数。

单枚邮票的规格见图2所示的技术资料（节选），设图1的平行四边形ABCD中BC边上的高为AH。

根据以上信息解决问题：

（1）提取信息：在平行四边形ABCD中，BC＝________mm，AB＝________mm，AH＝_________mm；

（2）计算BH的长（结果用最简二次根式表示）；

（3）如果将图1中的平行四边形ABCD设计成精确地满足相邻两边的比为黄金分割数，即在平行四边形ABCD中，满足，且，求此时2枚连印的邮票票面中平行四边形ABEF的周长（用含a的式子表示，结果用最简二次根式表示，无需计算近似值）。

24. 在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（2，0），四边形AOBC的第四个顶点C在第一象限，AC＝1，BC＝3。

（1）尺规作图：作出四边形AOBC（不要求写作法）；

（2）求∠OAC的度数及四边形AOBC的面积。

25. 在平行四边形ABCD中，O是对角线BD的中点，点E在平行四边形ABCD外，且∠AED＝90°，过点C作直线ED的垂线，垂足为F，连接OE，OF。

（1）如图1，当平行四边形ABCD为矩形，且∠DAE＝45°时，画出线段OE与OF，并直接写出这两条线段的数量关系；

（2）在图2中，根据题意补全图形，写出线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（3）如图3，当平行四边形ABCD为正方形时，若，直接写出OF的长。

附加题

试卷满分：20分

一、操作题（本题6分）

从下面正方形网格的格点A～N中，选择恰当的格点，分别画出以所选择格点为顶点的以下图形，并用字母表示。

①矩形；②菱形；③既不是矩形也不是菱形的平行四边形。

二、方案比较（本题6分）

在边长为1的正方形中放置5个大小相同的小正方形，现在有如下两个放置方案（这两个方案中小正方形的边长分别为a₁，a₂）：

（1）补全表格；

（2）比较a₁与a₂的大小关系并说明理由。

三、解答题（本题8分）

对于平面内三点M，N，P，我们规定：若将点M绕点P顺时针旋转α（0°<α<360°）后能与点N重合，就将其简记为：。

在平面直角坐标系中，。

解决下面的问题：

（1）如图1，若，画出点T并直接写出点T的坐标；

（2）如图2，，直线与x轴的交点为C。

①若，且点Q落在直线上，求的值；

②若点E在四边形ASBP的边上运动，在直线上存在相应的点F，使得，请直接写出点E的横坐标的取值范围。

【试题答案】

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共26分，其中第18题5分，其余每小题3分）

11. 12. 60 13. －6 14. 10 15. 1 16. 8

17. 或

18. （1）见图1（2分）；

（2）①（1分），对角线相等的平行四边形是矩形（答案不唯一）（2分）

三、解答题（本题共44分，第19~23题每小题6分，第24、25题每小题7分）

19. 解：（1）

2分

。 3分

（2）

2分

＝5－2＋3

＝6。 3分

20. 解：。 1分

。 2分

方程有两个不相等的实数根

3分

4分

。

所以，原方程的根为。 6分

21. （1）证明：如图2。

∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠1＝∠2，

∵EF∥AB，

∴四边形ABEF是平行四边形， 2分

∵AE平分∠BAD，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

， 3分

∴四边形ABEF是菱形。 4分

（2）点P与点E重合，3。 6分

22. 解：（1）（岁）。 1分

（2）①19； 2分

②19； 3分

③19，20，21。 5分

（3）20。 6分

23. 解：（1）。 3分

（2）如图3。

在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，

，

。 4分

（3）C_{平行四边形ABEF}＝

。 6分

24. 解：（1）作图见图4（分别以A，B为圆心，1，3为半径作弧，两弧在第一象限交于点C， 1分

（2）如图4，连接AB。

，

。 2分

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝45°，

。 3分

∵在△ABC中，，

， 4分

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， 5分

∴∠OAC＝∠OAB＋∠BAC＝45°＋90°＝135°， 6分

。 7分

25. 解：（1）作图见图5，。 1分

（2）作图见图6。 2分

。 3分

证明：连接AC，延长EO，FC，两条延长线交于点G，

∵平行四边形ABCD，O是对角线BD的中点，

， 4分

∵CF⊥EF，

∴∠CFE＝90°，

∵∠AED＝90°，

∴∠CFE＋∠AED＝180°，

∴CF∥AE，

∴∠1＝∠2。

在△OAE与△OCG中，

∴△OAE≌△OCG，

。 5分

在Rt△EFG中，∠EFG＝90°，OF为斜边EG的中线，

，

。 6分

（3）。 7分

附加题答案

一、操作题（本题6分）

解：画图见图1。

①矩形ABGE；②菱形CDGF；③既不是矩形也不是菱形的平行四边形DMNF。

二、方案比较（本题6分）

解：（1）①； 2分

②。 3分

（2）

。 4分

理由如下：

方法1：如图2，方案一中，；方案二中，，

又，

。

。 6分

方法2：，

。

方法3：计算，可得。

三、解答题（本题8分）

解：（1）画图见图3。 1分

。 2分

（2）①如图4，以点P为圆心，PS为半径作弧，交直线于点，连接，，则∠PCQ₁＝90°，

，

，

，

，

∵直线与x轴的交点为C，

。

在Rt△中，∠＝90°，

。

在△中，，

，

，△为等边三角形，∠＝60°，

∴∠∠＝30°。

∠＝180° – ∠＝180°－30°＝150°， 5分

∠＋∠＝150°＋60°＝210°， 6分

∴＝150°或210°。

②。 8分