本试卷共150分。考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若全集
，则
A. 
B. 
C. 
D.
2. 下列函数中，值域为
且为偶函数的是
A. 
B. 
C. 
D.
3. 若抛物线
的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则
等于
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4. 已知三条不同的直线
和两个不同的平面
，下列四个命题中正确的为
A. 若m∥
∥
，则m∥n B. 若
∥m，
，则
∥
C. 若
∥
∥
，则
∥
D. 若
∥
⊥
，则
5. 在△ABC中，若
，则∠A的大小为
A. 
B. 
C. 
D.
6. 将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
A. 
B. 
C. 
D.
7. 某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为
A. 
B. 
C. 2 D. 4
8. 对于非零向量
，”
“是”
“的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 如图，正方体
的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面
的边界及其内部运动，若
，则△
面积的最大值为
A. 
B. 
C. 
D.
10. 为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座，例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中”√”表示就座人员），根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 若复数
为纯虚数，则实数a＝___________。
12. 已知双曲线E的一条渐近线方程为y＝x，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程可以为___________。（写出一个即可）
13. 数列
中，
，若其前k项和为126，则k＝________。
14. 已知点
，O为坐标原点，则
＝________，
夹角的取值范围是___________。
15. 已知函数
给出下列三个结论：
①当
时，函数
的单调递减区间为
；
②若函数
无最小值，则a的取值范围为
；
③若
且
，则
，使得函数
恰有3个零点
，且
。
其中，所有正确结论的序号是___________。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. （本小题共14分）
已知
是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为
，又________，且
，是否存在大于1的正整数k，使得
？若存在，求k的值；若不存在，说明理由。
从①
，②
这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答。
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
17. （本小题共14分）
在四棱锥
中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，
＝1，E为线段AD的中点，PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G。
（Ⅰ）求证：BE∥FG；
（Ⅱ）若PC与AB所成的角为
，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值。
18.（本小题共14分）
为了推进分级诊疗，实现”基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务，已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示，为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示。
（Ⅰ）估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；
（Ⅱ）若以图2中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；
（Ⅲ）据统计，该地区被访者的签约率约为44％，为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55％以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释。
19.（本小题共15分）
已知椭圆
过
两点，离心率为
。
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）过点A的直线
与椭圆W的另一个交点为C，直线
交直线
于点M，记直线
的斜率分别为
，求
的值。
20.（本小题共14分）
已知函数
。
（Ⅰ）求
的单调递增区间；
（Ⅱ）求证：曲线
在区间
上有且只有一条斜率为2的切线。
21.（本小题共14分）
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意的点
，定义
，任取点
，记
，若此时
＋
成立，则称点A，B相关。
（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①
；②
。
（Ⅱ）给定
，
，点集
。
（i）求集合
中与点
相关的点的个数；
（ii）若
，且对于任意的
，点
相关，求S中元素个数的最大值。
【试题答案】
阅卷须知：
1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2. 其他正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | D | A | B | D | C | C | A | B | C | C |
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
答案 |
|
| 6 |
| ②③ |
，
注：第12题答案不唯一，写出一个形如
或
（
）的方程即可；第14题第一空3分，第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得
分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。
16.（本小题共14分）
解：选择条件①，不存在正整数
,使得
.
解法1
理由如下：
在等差数列
中，
又
，
.
所以由 
得
所以 
.
又因为
，
所以数列
为递增数列.即
，都有
.
所以不存在正整数
,使得
.
解法2
理由如下：
在等差数列
中，
又
，
.
所以由 
得
所以
.
令
，即
.
解得
或
.
因为
，所以
与
均不符合要求.
所以不存在正整数
,使得
.
选择条件②，存在正整数
,使得
.
理由如下：
在等差数列
中，
又
，
.
所以由 
得
所以
.
令
，即
.
整理得
.解得
或
.
因为
，所以
.
所以当
时，
.
17.（本小题共14分）
（Ⅰ）证明：因为
为
中点，所以
.
又因为
，所以
.
在梯形
中，
，
所以四边形
为平行四边形.
所以
.
又因为
平面
，且
平面
，
所以
平面
.
因为
平面
，平面
平面
，
所以
.
（Ⅱ）解：（解法1）因为
平面
，且
平面
，
所以
，且
.
因为四边形
为平行四边形，
，
所以
.
以
为坐标原点，如图建立空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
.
设
（
），
所以
，
.
因为
与
所成角为
，
所以
＝
＝
＝
.
所以
.
则
，
.
所以
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，则
，所以
.
所以
.
所以直线
与平面
的所成角的正弦值为
.
（Ⅱ）（解法2）
连结
,
因为
且
，所以四边形
为平行四边形.
所以
.
因为
与
所成角为
，所以
与
所成角为
.
即
.
因为
平面
，且
平面
，
所以
.
又因为
，所以平行四边形
是矩形.
所以在等腰直角三角形
中，
.
因为
平面
，且
平面
，
所以
，且
.
又因为
，
以
为坐标原点，如图建立空间直角坐标系
则
，
，
，
，
.
所以
，
，
.
设平面
的法向量为
，则
即
令
，则
，所以
.
所以
.
所以直线
与平面
的所成角的正弦值为
.
18.（本小题共14分）
解: （Ⅰ）由图1可知，该地区居民中年龄在71~80岁的频率为
.
由图2可知，样本中年龄在71~80岁居民家庭医生的签约率为70.0%，
因为该地区居民人数约为2000万，
所以该地区年龄在71~80岁，且已签约家庭医生的居民人数约为
（万人）.
（Ⅱ）由题意，从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为
.
设
表示事件”从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，其中第i个人已签约家庭医生”（
），
则
，
（
）.
设事件C为”从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有1人已签约家庭医生”，
则
.
所以
.
所以这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为
.
（Ⅲ）应着重提高年龄在31~50岁居民的签约率.
理由如下：
①依题意，该地区年满18周岁居民签约率从
提高到
以上，需至少提升
；
②年龄在31~50岁居民人数在该地区的占比约为：
，占比大；
③年龄在31~50岁居民的医生签约率较低，约为
；
④该地区年满18周岁居民的人数在该地区的占比约为：
；
所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从
提升至
，可将该地区年满18周岁居民签约率提升
，大于 
.
19.（本小题共15分）
解：（Ⅰ）由题意，
解得
所以椭圆
的方程为
.
（Ⅱ）由题意，直线
不与坐标轴垂直.
设直线
的方程为： 
（
）.
由
得
.
设
，因为
，所以
.
得
.
即
.
又因为
，所以
.
由
得
所以点
的坐标为
.
所以
.
所以
.
20.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）
.
令
得
.
所以
的单调递增区间为
.
（Ⅱ）证明：要证曲线
在区间
上有且只有一条斜率为
的切线，
即证方程
在区间
上有且只有一个解.
令
，得
.
设
，
则
.
当
时，令
，得
.
当
变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 极大值 |
|
所以
在
上单调增，在
上单调减.
因为
,所以当
时，
；
又
，所以当
时，
有且只有一个零点.
所以当
时，
有且只有一个零点.
即方程
，
有且只有一个解.
所以曲线
在区间
上有且只有一条斜率为
的切线.
21.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）①由题知
，进而有
，
，
所以
.
所以
两点相关；
②由题知
，进而有
，
，
所以
，
所以
两点不相关.
（Ⅱ）（ⅰ）设
的相关点为
，
，
,
由题意，
，
.
因为点
相关，则
.
所以
.
所以
.
当
时,
,则
相关点的个数共3个;
当
时,则
相关点的个数共
个;
当
时, 
，则
相关点的个数共
个.
所以满足条件点B共有
（个）.
（ⅱ）集合
中元素个数的最大值为
.
符合题意
下证：集合
中元素个数不超过
.
设
，若点
相关，则
.
则
.
所以
.
设集合
中共有
个元素，分别为
，
，
，
不妨设
，而且满足当
，
.
下证：
.
若
，
.
若
，则必有
.
记，
，
，
，
显然，数列
至多连续3项为0，必有
，
假设
，
则
.
而
,
因此，必有
或
.
可得，
不可能同时为0，则
.
所以
.
必有
，
.
所以，
，
.
因此
，
，
.
若
，则
，矛盾.
同理，
，矛盾.
因此，假设不成立.
所以
.
所以集合
中元素个数的最大值为
.