北京市海淀区2020届下学期初中九年级二模考试数学试卷

本试卷共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是

2.若代数式有意义，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

3.如图，在△ABC中，，通过测量，并计算△ABC的面积，所得面积与下列数值最接近的是

A. B. C. D.

4.图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在

A. 区域①处 B. 区域②处 C. 区域③处 D. 区域④处

5.如图，在中， 平分，且，则的度数为

A.70° B.60° C.50° D.40°

6.如果，那么代数式的值为

A.1 B.2 C.3 D.4

7.如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于，那么圆心到弦的距离为

A. B. C. D.

8.在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为”同号点”.下列函数的图象中不存在”同号点”的是

A. B. C. D.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.单项式的系数是
.

10.如图，点在上，点在内，则
.（填）

11.下表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：

根据上表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为
.（结果精确到0.01）

12.函数的图象上有两点，若，写出一个符合题意的的值：
.

13.如图，在中，，过点作，交于点，若，则的长度为
.

14.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，将关于直线对称，得到，则点的对应点的坐标为
；再将向上平移一个单位长度，得到，则点的对应点的坐标为
.

15.小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行.他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行，小明每小时骑行，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时.设他们这次骑行线路长为，依题意，可列方程为
.

16.如图，在平面直角坐标系中，有五个点，将二次函数的图象记为.下列的判断中

①点一定不在上；

②点可以同时在上；

③点不可能同时在上.

所有正确结论的序号是
.

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：

18.解不等式，并在数轴上表示出它的解集.

19.下面是小王同学”过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线及直线外一点.

求作：直线，使得.

作法：如图，

①在直线外取一点，作射线与直线交于点，

②以为圆心，为半径画弧与直线交于点，连接，

③以为圆心，为半径画弧与线段交于点，

则直线即为所求.

根据小王设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：，

，（
）（填推理的依据）

______________，

.

，
，

.

（
）（填推理的依据）.

即.

20.已知关于的一元二次方程.

（1）如果此方程有两个相等的实数根，求的值；

（2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根.

21.如图，在中，为边的中点，连接，过点作，过点作与相交于点

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求的长.

22.坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系.图1反映了2014－2019年我国生活垃圾清运量的情况.

图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况.

根据以上材料回答下列问题：

（1）图2中，的值为
；

（2）2014－2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是
；

（3）据统计，2019年市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元.若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与市的占比相同，根据市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少.

23.如图，为的直径，为上一点，于点，的切线交的延长线于点.

（1）求证：；

（2）若.求的长.

24.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线交于点.是函数图象上一点，过作轴的平行线交直线于点.

（1）求和的值；

（2）设点的横坐标为.

①求点的坐标；（用含的代数式表示）

②若的面积大于，结合图象直接写出的取值范围.

25.如图1，在四边形中，对角线平分.为了研究图中线段之间的数量关系，设.

（1）由题意可得（在括号内填入图1中相应的线段）

关于的函数表达式为
；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，根据（1）中关于的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：①写出该函数的一条性质：
；

②估计的最小值为
.（结果精确到0.1）

26.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，将其图象在点之间的部分（含两点）记为.

（1）求点的坐标及该函数的表达式；

（2）若二次函数的图象与只有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.

27.如图1，等边三角形中，为边上一点，满足，连接，以点为中心将射线顺时针旋转，与的外角平分线交于点.

（1）依题意补全图1；

（2）求证：；

（3）若点关于直线的对称点为，连接.

①求证：；

②若成立，直接写出的度数为
°

28.在平面内，对于给定的，如果存在一个半圆或优弧与的两边相切，且该弧上的所有点都在的内部或边上，则称这样的弧为的内切弧.当内切弧的半径最大时，称该内切弧为的完美内切弧.（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系中，.

（1）如图1，在弧，弧，弧中，是的内切弧的是
；

（2）如图2，若弧为的内切弧，且弧与边相切，求弧的半径的最大值；

（3）如图3，动点，连接.

①直接写出的完美内切弧的半径的最大值；

②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧.点为弧上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交轴和直线于点，点为线段的中点，直接写出线段长度的取值范围.

【试题答案】

一、选择题

二、填空题

9. 3 10. < 11. 0.68 12. 1 （答案不唯一）

13. 2 14. （5，2），（5，3） 15. 16. ①②

注：第14题每空1分；第16题答对一个得1分，答对2个得满分，含有错误答案得0分

三、解答题

17.解：原式＝

＝2

18.解：去括号，得：

.

移项，得：.

合并同类项，得：.

系数化成1得：．

该不等式的解集在数轴上表示为：

19.解：（1）补全图形如图所示：

（2）等边对等角.

AQ.

同位角相等，两直线平行.

20.解：（1）∵原方程有两个相等实数根，

∴Δ＝0.

即.

∴.

（2）∵原方程有一个实数根为0，

∴

即.

∴原方程可化为.

∴另一个根为2.

21.（1）证明：

∵AG∥DC，CG∥DA，

∴四边形为平行四边形.

∵中，，为边的中点，

∴.

∴四边形是菱形.

（2）解：∵四边形是菱形，

∴.

∵，

∴.

∴.

∵，

∴.

22.解：（1）18.

（2）2.1.

（3）

答：根据G市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是1000亿元.

23.（1）证明：

∵DB是⊙O的切线，

∴∠OBD＝∠OBC＋∠DBC＝90°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB.

∴∠DBC＝∠OCA.

（2）解：在Rt△ACB中，∠A＝30°，AC＝2，可得CB＝ACtanA＝.

∵∠A＝30°，

∴∠COB＝2∠A＝60°.

∴∠D＝90°∠COB＝30°.

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠A＝30°.

∴∠DBC＝∠OCA＝30°.

∴∠D＝∠DBC.

∴CB＝CD.

∴CD＝.

24．解：（1）依题意，P（1，p）在函数的图象上，

可得＝2，得点P（1，2）.

将P（1，2）代入直线，得.

（2）①由于M是函数图象上一点，且点M的横坐标为m，

可得点M的纵坐标为.

又因为过M作x轴的平行线交直线于点N，

得，解得，即N点坐标为（，）.

②或者.

25.解：（1）AC，.

（2）如图所示：

（3）①当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）.

②4.8.

26.解：（1）∵y＝mx²＋2mx＋3的图象与与y轴交于点B，

∴点B的坐标为（0，3）.

∵y＝mx²＋2mx＋3的图象与x轴交于点，

∴将代入y＝mx²＋2mx＋3可得.

∴m＝－1.

∴该函数的表达式为y＝－x²－2x＋3.

（2）∵将二次函数y＝mx²＋2mx＋3的图象在点A，B之间的

部分（含A，B两点）记为F，

∴F的端点为A，B，并经过抛物线y＝mx²＋2mx＋3的

顶点C（其中C点坐标为（－1，4））.

∴可画F如图1所示.

∵二次函数y＝x²＋2x＋a的图象的对称轴为x＝－1，

且与F只有一个公共点，

∴可分别把A，B，C的坐标代入解析式y＝x²＋2x＋a中.

∴可得三个a值分别为－3，3，5.

可画示意图如图2所示.

∴结合函数图象可知：

二次函数y＝x²＋2x＋a的图象与F只有一个公共点时，

a的取值范围是－3≤a<3或a＝5.

27．（1）依题意补全图形

（2）证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°.

∴∠1＋∠2＝60°.

∵射线AD绕点A顺时针旋转60°得到射线AE，

∴∠DAE＝60°.

∴∠2＋∠3＝60°.

∴∠1＝∠3.

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABN＝180°－∠ABC＝120°.

∵BM平分∠ABN，

∴∠4＝∠5＝60°.

∴∠4＝∠C.

∴△ABE≌△ACD.

∴AD＝AE.

（3）①证明：连接AF，设∠BAD＝α，

∵点B与点F关于直线AD对称，

∴∠FAD＝∠BAD＝α，FA＝AB.

∵∠DAE＝60°，

∴∠BAE＝∠DAE－∠DAB＝60°－α.

∵等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，

∴∠EAC＝∠BAE＋∠BAC＝120°－α.

∵AB＝AC，AF＝AB，

∴AF＝AC.

∴∠F＝∠ACF.

∵∠FAC＝∠BAC－∠FAD－∠BAD＝60°－2α，

且∠F＋∠ACF＋∠FAC＝180°，

∴∠ACF＝60°＋α.

∴∠EAC＋∠ACF＝180°.

∴AE∥CF.

②20°.

28.解：（1）弧G₂，弧G₃.

（2）∵弧G为△OAB的内切弧，且弧G与边AB，OB相切，

∴弧G所在圆的圆心在∠OBA的角平分线BI上.

易知若弧G的半径最大，则弧G所在圆的圆心I在△OAB的边OA上.设弧G与边AB，OB相切分别切于点O，H.

∴IH⊥AB.

∵A（8，0），B（0，6），

∴BO＝6，AO＝8，AB＝＝10.

∵∠IOB＝∠IHB＝90°，OI＝IH，BI＝BI，

∴△IOB≌△IHB.

∴BH＝BO＝6.

∴AH＝AB－BH＝4，AI＝AO－OI＝8－OI，OI＝HI.

在Rt△AIH中，AI²＝AH²＋HI²，即.

解得OI＝3.

（3）①△OAM的完美内切弧半径的最大值为.

②线段DF长度的取值范围是且.

注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.