北京市丰台区2020届下学期高三年级综合练习（二）（二模）数学试卷

本试卷满分共150分 考试时间120分钟

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 集合A={x∈Z|-2<x<2）的子集个数为

(A)4 (B)6 (C)7 (D)8

2. 函数 的定义域为

(A)(0，2) (B)[0，2]

(C)(-∞,0) (2,+∞) (D)(-∞,0] [2,+∞)

3. 下列函数中，最小正周期为π的是

(A) (B)

(C) (D)

4. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n，则a₂+a₃=

(A)3 (B)6 (C)7 (D)8

5. 设a，b为非零向量，则”a⊥b”是”|a+b|=|a-b|”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

6. 已知抛物线M:x²=2py（p>0）的焦点与双曲线N：的一个焦点重合，则p=

(A) (B)2 (C) (D)4

7. 已知函数f(x)=ln（1-x）- ln(1+x)，则f(x)

(A)是奇函数，且在定义域上是增函数

(B)是奇函数，且在定义域上是减函数

(C)是偶函数，且在区间(0，1)上是增函数

(D)是偶函数，且在区间(0，1)上是减函数

8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为

(A) (B)

(C) (D)

9. 在△ABC中，AC=3，BC=，AB=2，则AB边上的高等于

(A) (B) (C) (D)

10.某中学举行了科学防疫知识竞赛。经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐。他们还将进行四场知识竞赛。规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c(a>b>c，且a，b，c∈N*)；选手总分为各场得分之和。四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是

(A)每场比赛的第一名得分a为4 (B)甲至少有一场比赛获得第二名

(C)乙在四场比赛中没有获得过第二名 (D)丙至少有一场比赛获得第三名

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 已知复数z=2-i，则|z|=______________.

12. 已知直线x+y+1=0的倾斜角为α，则cosα=____________.

13. 双曲线M：的离心率为，则其渐近线方程为_________。

14. 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法。天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。干支纪年法天干地支对应的规律如下表：

2049年是新中国成立100周年。这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴。使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_________年；使用于支纪年法可以得到________种不同的干支纪年。

15. 已知集合P={(x，y){(x-cosθ)²+(y-sinθ)²=4，0≤θ≤π}。由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的”水滴”。给出下列结论：

①”水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为(0，1)；

②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；

③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则|CD|=3+；

④白色”水滴”图形的面积是.

其中正确的有_________。

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. （本小题共14分）

如图，四边形ABCD为正方形，MA∥PB，MA⊥BC，AB⊥PB，MA=1，AB=PB=2。

（I）求证：PB⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求直线PC与平面PDM所成角的正弦值。

17. （本小题共14分）

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S₅=20。

(I)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若等比数列{b_n}满足a₄+b₄=9，且公比为q，从①q=2；②q=；③q=-1

这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{a_n-b_n}的前n项和T_n。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18. （本小题共14分）

为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动，为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：

(I)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；

(II)现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导。规定：这3个动作中至少有2个动作达到”优”，总考核记为”优”，在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到”优”的概率均为0.1。在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为”优”。能否认为甲同学在指导后总考核达到”优”的概率发生了变化？请说明理由。

19. （本小题共15分）

已知函数。

(I)求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）求证：当x∈(0，+∞)时， ；

(Ⅲ)当x>0时，若曲线y=f(x)在曲线的上方，求实数a的取值范围。

20. （本小题共14分）

已知椭圆C：经过A(1，0)，B(0，b)两点。O为坐标原点，且△AOB的面积为。过点P(0，1)且斜率为k（k>0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T.

（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求直线l的斜率k的取值范围；

(Ⅲ)设，求λ+μ的取值范围。

21.（本小题共14分）

已知无穷集合A，B，且AN，BN，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}，定义：满足N* (A+B)时，则称集合A，B互为”完美加法补集”。

（I）已知集合A={a|a=2m+1，m∈N），B={b|b=2n，n∈N）。判断2019和2020是否属于集合A+B，并说明理由；

(Ⅱ)设集合

(i)求证：集合A，B互为”完美加法补集”；

(ii)记A(n)和B(n)分别表示集合A，B中不大于n（n∈N*）的元素个数，写出满足A（n）B（n）=n+1的元素n的集合。（只需写出结果，不需要证明）

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 12. 13.

14. 己卯;60 15. ②③④

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. （本小题共14分）

证明：(I)因为MA⊥BC，MA∥PB，

所以PB⊥BC，

因为AB⊥PB，ABBC=B，

所以PB⊥平面ABCD。 ……5分

(II)因为PB⊥平面ABCD，

AB平面ABCD，AD平面ABCD，

所以PB⊥AB，PB⊥AD。

因为四边形ABCD为正方形，

所以AB⊥BC。

如图建立空间直角坐标系B-xyz，

则P(0,0,2),M(2,0,1),C(0,2,0),D(2,2,0),

设平面PDM的法向量为u=(x，y，z)，

则即

令z=2，则x=1，y=-1。于是u=(1，1，2)。

平面PDM的法向量为u=(1，1，2)。

设直线PC与平面PDM所成的角为θ，

所以.

所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为.………14分

17. （本小题共14分）

解： (I)设等差数列{a_n}的公差为d，

又因为，且a₁=2，

所以S₅=10+10d=20，故d=1.

所以。 ……6分

(II)由(I)可知，a₄=5，又a₄ +b₄=9，所以b₄ =4.

若选择条件①q=2，可得，

。 ………14分

若选择条件②，可得，

若选择条件③q=-1，可得，

.

18. （本小题共14分）

解：(I)记”选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，

参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，

所以………4分

(II) X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所，

，

X的分布列为：

………11分

（III)答案不唯一。

答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为”优”的概率发生了变化。理由如下：

指导前，甲同学总考核为”优”的概率为：

指导前，甲同学总考核为”优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到”优”的概率发生了变化。

答案示例2：无法确定。理由如下：

指导前，甲同学总考核为”优”的概率为：

虽然概率非常小，但是也可能发生，

所以，无法确定总考核达到”优”的概率发生了变化。 ……14分

19. （本小题共15分）

解：(I)因为，定义域R，

所以.

令f'(x)=0，解得x=0。

随x的变化，f'(x)和f(x)的情况如下：

由表可知函数f(x)在x=0时取得极大值f(0)=1，无极小值。 ………5分

(II)令，

由x>0得e^x -1>0，

于是g'(x)>0，

故函数g(x)是[0，+∞）上的增函数。

所以当x∈(0，+∞)时，g（x）>g(0)=0，即。 ………9分

(III)当时，由(II)知，满足题意。

令

当时，若x∈，，

则h(x)在上是减函数。

所以x∈时，h(x)<h(0)=0，不合题意。

当a0时h'(x)<0，则h(x)在(0，+∞)上是减函数，

所以h(x)<h(0)=0，不合题意，

综上所述，实数a的取值范围 。 ……15分

20.（本小题共14分）

解：(I)因为椭圆C：经过点A(1，0)，

所以 解得a=1.

由△AOB的面积为可知，，

解得，

所以椭圆C的方程为x²+2y²=1。 ……………………3分

(II)设直线l的方程为y=kx+1，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)。

联立，消y整理可得：。

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以，解得。

因为k>0，所以k的取值范围是。 ………7分

(III)因为A(1，0),P(0,1)M(x₁，y₁),N(x₂, y₂),

所以直线AM的方程是：。

令x=0，解得

所以点S的坐标为。

同理可得：点T的坐标为。

所以.

由,

可得：

所以.

同理

由（II）得

所以

所以的范围是。 …14分

21. （本小题共14分）

解：(I)由a=2m+1，b=2n得a+b= 2(m+n)+1是奇数，

当a= 2×1009+1，b=2×0=0时，a+b= 2019，

所以2019∈A+B，2020A+B. ……………4分

（II）(i)首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组（），

其中

使得

由于

这种形式的自然数p至多有个，且最大数不超过。

由 ，每个都有两种可能，

所以这种形式的自然数p共有个结果，

下证

其中，则

假设存在中，取i最大数为j，则

所以0≥1不可能。

综上，任意正整数p可唯一表示为

显然，

满足，所以集合A，B互为”完美加法补集”.…………………11分

（ii） ………………14分

（若用其他方法解题，请酌情给分）