北京市丰台区2020届下学期初中九年级二模考试数学试卷

本试卷共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下图是某个几何体的展开图，该几何体是

（A）三棱柱 （B）三棱锥 （C）圆柱 （D）圆锥

2.熔喷布，俗称口罩的”心脏”，是口罩中间的过滤层，能过滤细菌，阻止病菌传播.经测量，医用外科口罩的熔喷布厚度约为米，将用科学记数法表示应为

（A） （B） （C） （D）

3.实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是

（A） （B） （C） （D）

4.如图，在中，，如果平分，那么的度数是

（A） （B） （C） （D）

5.如果，那么代数式的值未

（A） （B） （C） （D）

6.一组数据，将这组数据中的每一个数都加上，得到一组新数据，这两组数据的以下统计量相等的是

（A）平均数 （B）众数 （C）中位数 （D）方差

7.如图，点是上的定点，点为优弧上的动点（不与点重合），在点运动的过程中，以下结论正确的是

（A）的大小改变

（B）点到弦所在直线的距离存在最大值

（C）线段与的长度之和不变

（D）图中阴影部分的面积不变

8.如图，抛物线.将该抛物线在轴和轴下方的部分记作，将沿轴翻折记作和构成的图形记作.关于图形，给出如下四个结论，其中错误的是

（A）图形恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

（B）图形上任意一点到原点的距离都不超过1

（C）图形的周长大于

（D）图形所围成的区域的面积大于2且小于

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.如图，已知，用量角器度量的度数为
°.

10·不等式组的所有整数解是
.

11.一个不透明的盒子中装有3个黄球，6个红球，这些球除了颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为
.

12.小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边在同一条直线上可以得到

，依据是
.

13.如图，为的直径，弦于点.如果，那么的长为
.

14. 如图，正比例函数的图象和反比例函数的图象交于亮点，分别过点作轴的垂线，垂足为点，则与的面积之和为
.

15.经济学家在研究市场供求关系时，一般用纵轴表示产品单价（自变量），而用横轴表示产品数量（因变量），下列两条曲线分别表示某种产品数量与单价之间的供求关系，一条表示厂商希望的供应曲线，另一条表示客户希望的需求曲线，其中表示客户希望的需求曲线的是
（填入序号即可）.

16.小志自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有盒装草莓、荔枝、山竹，价格依次为40元/盒、60元/盒、80元/盒.为增加销量，小志对这三种水果进行促销：一次性购买水果的总价超过100元时，超过的部分打5折，每笔订单限购3盒.顾客支付成功后，小志会得到支付款的80%作为货款.

（1）顾客一笔订单购买了上述三种水果各一盒，则小志收到的货款是元
；

（2）小志在两笔订单中共售出原价180元的水果，则他收到的货款最少是
元

三、解答题（本题共68分，第17－24题，每小题5分，第25题6分，第26，28题，每小题7分，第27题8分）

17.下面是小文设计的”过圆外一点作圆的切线”的作图过程.

已知：和圆外一点.

求作：过点的的切线.

作法：①连接；

②以为直径作，交于点；

③作直线；

所以直线为的切线.

根据小文设计的作图过程，完成下面的证明.

证明：连接.

∵为的直径，

∴
＝
°

（
）（填推理的依据）

，______.

为的半径，

∴直线为的切线（
）（填推理的依据）

18.计算：

19.解分式方程：

20.关于的方程

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）请你选择一个合适的的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根.

21.如图，矩形，延长至点，使，连接，过点作交的延长线于点，连接.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接交于点.当时，求的长.

22.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点.

（1）求的值；

（2）如果，求一次函数的表达式.

23.如图，为的直径，为延长线上一点，为的切线，切点为，于点，且与交于点.

（1）求证：点为的中点；

（2）如果求的长.

24.2020年3月至5月，某校开展了一系列居家阅读活动.学生利用”宅家”时光，在书海中遨游，从阅读中获得精神慰藉和自我提升.为了解学生居家阅读的情况，学校从七、八两个年级各随机抽取50名学生，进行了居家阅读情况调查.下面给出了部分数据信息：

a.两个年级学生平均每周阅读时长x（单位：小时）的频数分布直方图如下（数据分成4组：）：

b.七年级学生平均每周阅读时长在6≤x<9这一组的是：

6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

c.两个年级学生平均每周阅读时长的平均数、中位数、众数、方差如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）补全图2；

（2）写出表中的值；

（3）返校后，学校计划将平均每周阅读时长不低于9小时的学生授予”阅读之星”称号.小丽说：”根据频数分布直方图中的数据信息，估计七年级约有20%的学生获得该称号，八年级约有18%的学生获得该称号，所以七年级获得该称号的人数一定比八年级获得该称号的人数多.”你认为她的说法
（填入”正确”或”错误”）；

（4）请你结合数据对两个年级的居家阅读情况进行评价.

25.小腾的爸爸计划将一笔资金用于不超过10天的短期投资，针对这笔资金，银行专属客户经理提供了三种投资方案，这三种方案的回报如下：

方案一：每一天回报30元；

方案二：第一天回报8元，以后每一天比前一天多回报8元；

方案三：第一天回报0.5元，以后每一天的回报是前一天的2倍.

下面是小腾帮助爸爸选择方案的探究过程，请补充完整：

（1）确定不同天数所得回报金额（不足一天按一天计算），如下表：

其中
；

（2）计算累计回报金额，设投资天数为（单位：天），所得累计回报金额是（单位：元），于是得到三种方案的累计回报金额）。与投资天数的几组对应值：

其中

；

（3）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出的图象；

（4）结合图象，小腾给出了依据不同的天数而选择对应方案的建议：

26.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点.

（1）求点的坐标（用含的式子表示）；

（2）求抛物线与轴的交点坐标；

（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围.

27.如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，点关于直线的对称点为，连接交直线于点，连接.

（1）根据题意补全图形；

（2）判断的形状，并证明；

（3）连接，用等式表示线段之间的数量关系，并证明.

温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路.

解法1的主要思路：

延长至点，使，连接，可证，再证是等腰直角三角形.

解法2的主要思路：

过点作于点，可证是等腰直角三角形，再证.

解法3的主要思路：

过点作于点，过点作于点，设用含或的式子表示.

······.

28.过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆.特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆.在平面直角坐标系中，点.

（1）已知点，分别以为圆心，1为半径作，以为圆心，2为半径作，其中是点和轴的点线圆的是
；

（2）记点和轴的点线圆为，如果与直线没有公共点，求的半径的取值范围；

（3）直接写出点和直线的最小点线圆的圆心的横坐标的取值范围.

【试题答案】

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 10. 0，1 11. 12. AC∥DE；内错角相等，两直线平行 13. 3 14. 1 15. ① 16. 112；128

三、解答题（本题共68分，第1724题，每小题5分，第25题6分，第26，28题，每小题7分，第27题8分）

17.证明：连接OA，OB.

∵OP为⊙E的直径，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°.

（直径所对的圆周角是直角）.

∴OA⊥AP，OB⊥BP.

∵OA，OB为⊙O的半径，

∴直线PA，PB为⊙O的切线.（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.……5分

18.解：原式＝

＝…4分

＝.……5分

19.解：.

.…..2分

.

.……4分

经检验，是原方程的解.

∴原方程的解是.……5分

20.解：（1）

≥0.……1分

∴原方程总有两个实数根.2分

（2）当m＝0时，原方程化为2x²＋2x＝0.

解得x₁＝0，x₂＝－1.……5分（m的值不唯一，满足题意解答正确即可）

21.（1）证明：∵CF∥AE，

∴∠1＝∠2.

在△ADE与△FDC中，

∴△ADE≌△FDC.

∴AE＝CF.……1分

∴四边形ACFE是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°.

∴CE⊥AF.

∴四边形ACFE是菱形.…3分

（2）解：∵矩形ABCD中，

∴∠ABC＝∠BCD＝90°.

CD＝AB＝2.

∵∠ACB＝30°，

∴BC＝，EC＝4.

在Rt△BCE中，

BE＝.…4分

∵GD∥BC，，

∴.

∴BG＝.……5分

22.解：（1）∵反比例函数的图象经过

点A（2，1），

∴k＝2……2分

（2）分别过点A，B作AD，BE垂直y轴于点D，E.

∵A（2，1），

∴AD＝2.

情况1：当点B在线段AC上时.

∵AC＝2AB，∴BE＝AD＝1.

∴B（1，2）.

∵一次函数过点A（2，1），B（1，2），

可得，

解得.

∴一次函数表达式为.

情况2：当点B在线段AC反向延长线上时.

∵AC＝2AB，

∴BE＝AD＝3.

∴B（3，）.

∵一次函数过点

A（2，1），B（3，），

可得，

解得.

∴一次函数表达式为.……5分

23.解：（1）连接OD，BF相交于点G.

∵CD为⊙O的切线，

∴∠ODC＝90°.……1分

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AFB＝＝.

∴BF∥EC.

∴∠OGB＝∠ODC＝90°.

即OD⊥BF.

∴D为的中点.……2分

（2）在Rt△COD中，sinC＝，

设⊙O的半径为r.

∴.

∴r＝.……3分

由（1）得∠ABF＝∠C，

∴sin∠ABF＝sinC＝.…4分

在Rt△ABF中，

sin∠ABF＝，

∴.

∴AF＝9.……5分

24.（1）正确补全图形；……1分

（2）6.5；……2分

（3）错误.……3分

（4）答案不唯一，理由支持结论即可.……5分

25.解：（1）m＝256；（2）n＝511.5………2分

（3）正确画出函数图象：

………3分

（4）如果爸爸投资天数不超过6天时，应该选择方案一；如果爸爸投资天数在7到9天时，应该选择方案二；如果爸爸投资天数为10天时，应该选择方案三.…6分

26.解：（1）令x＝0，则y＝3a.

∴点A的坐标为（0，3a）.………………………………………………1分

（2）令y＝0，则ax²4ax＋3a＝0.…………………………………………2分

∵a≠0，∴解得.

∴抛物线与x轴的交点坐标分别为（1，0），（3，0）.…………4分

（3）①当a0时，

可知3a≥a2.解得a≥－1.

∴a的取值范围是－1≤a0.

②当a＞0时，由①知a≥－1时，点Q始终在点A的下方，所以抛物线与线段PQ恰有一个公共点时，只要1≤a3即可.

综上所述，a的取值范围是－1≤a0或1≤a3………7分

.解：（1）正确补全图形：

……………………………2分

（2）△ACD是等腰直角三角形；…………………………………3分

证明：∵将CA绕点C顺时针旋转45°，

∴∠ACP＝45°.

∵点D与A关于直线CP对称，

∴∠DCP＝∠ACP＝45°，AC＝CD.

∴∠ACD＝90°.

∴△ACD是等腰直角三角形.………………………………4分

（3）AB＋BC＝；………………………………………………5分

解法1证明：延长BC至点F，使CF＝AB，连接DF，EF.

∵△ACD是等腰直角三角形，AE＝DE，

∴AE＝CE，∠AEC＝90°.

∵∠ABC＝90°，

∴∠BAE＋∠BCE＝180°.

∵∠FCE＋∠BCE＝180°，

∴∠BAE＝∠FCE.

∴△ABE≌△CFE.…………………………………………6分

∴BE＝FE，∠1＝∠2.

∴∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝90°.

即∠BEF＝90°.

∴△BEF是等腰直角三角形.……………………………7分

∴BC＋CF＝.

即AB＋BC＝.……………………………………8分

解法2证明：过点A作AM⊥BE于点M，取AC中点G，连接GB，GE.

设∠GBE＝，∠ABG＝，

∵∠ABC＝∠AEC＝90°，

∴AG＝BG＝EG＝AC.

∴∠ABG＝∠BAC＝，∠GBE＝∠GEB＝.

在△BGE中，

∵∠GBE＋∠BGE＋∠BEG＝180°，

∴.

∴.

即∠ABE＝45°.……………………………………6分

（或根据圆的定义判断A，B，C，E在以点G为圆心的圆上，根据同弧CE所对圆周角相等，证明∠ABE＝45°）

∵∠AMB＝90°，

∴∠BAM＝∠CAE＝45°.

∴∠BAC＝∠MAE.

∵∠ABC＝∠AME＝90°，

∴△ABC∽△AME.…………………………………………7分

∴.

∴BCME.

又∵ABBM.

∴AB＋BC.……………………8分

解法3证明：过点A作AM⊥BE于点M，过C作CN⊥BE于点N，

∴∠AME＝∠CNE＝90°.

即∠MAE＋∠AEM＝90°.

∵∠MEC＋∠AEM＝90°.

∴∠MAE＝∠MEC.

∵AE＝CE，

∴△AME≌△ECN.……………………………………6分

∴AM＝EN.

同解法2，可证∠ABM＝∠CBM＝45°.……………………………7分

设BN＝a，EN＝b

∴BCa，ABb.

∴AB＋BC.……………………8分

（说明：三条线段数量关系写为：等其他等式如果正确也给分）

28.解：（1）⊙A，⊙C；………………………………………………………………2分

（2）如图1，⊙D₁过点P，且与x轴和直线y＝都相切.

此时⊙D₁的半径r＝1.

如图2，⊙D₂过点P，且与x轴和直线y＝都相切.切点分别为M，N，连接D₂M，D₂N，D₂P，过点D₂作D₂Q⊥y轴于点Q.

设D₂M＝r，

∴D₂P＝D₂M＝r.

易证OQ＝D₂M＝r.

∴PQ＝r.

∵∠MEN＝60°，

∴∠D₂EM＝30°.

∴EM＝.

∴OM＝D₂Q＝.

根据勾股定理可以得到：D₂P²＝D₂Q²＋PQ²，

即＝＋.

解得r₁＝1（舍），r₂＝.

∴1<r<.………………………………………………………5分

（3）≤x0或0x≤.………………………………………………………7分