北京市东城区2020届下学期高三年级综合练习（二）（二模）数学试卷

本试卷共150分。考试时长120分钟。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知全集U={0，1，2，3，4，5}，集合A={0，1，2}，B={5}，那么（A）UB=

A. {0，1，2} B. {3，4，5} C. {1，4，5} D. {0，1，2，5}

2. 已知三个函数，，，则

A. 定义域都为R B. 值域都为R

C. 在其定义域上都是增函数 D. 都是奇函数

3. 平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为

A. （3，3） B. （-5，1） C. （3，-1） D. （-3，3）

4. 双曲线C：=1的渐近线与直线交于A，B两点，且|AB|=4，那么双曲线C的离心率为

A. B. C. 2 D.

5. 已知函数=的图象如图所示，那么函数g（x）=a^x+b的图象可能为

A B C D

6. 已知向量a=（0，5），b=（4，-3），c=（-2，-1），那么下列结论正确的是

A. a– b与c为共线向量 B. a – b与c垂直

C. a – b与a的夹角为钝角 D. a – b与b的夹角为锐角

7. 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著。书中记载这样一个问题”今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何?”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为

A. 135平方米 B. 270平方米 C. 540平方米 D. 1080平方米

8. 已知函数=lnx+ax²，那么”a>0″是”在（0，+）上为增函数”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是

A. 1+ B. 1+ C. 1+ D. 1+

10. 函数是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知

g（x）=（aR）。给出下列四个判断：

①对于给定的正整数n，存在aR，使得成立；

②当时，对于给定的正整数n，存在k∈R（k≠1），使得成立；

③当（kZ）时，函数g（x）+f（x）的图象既有对称轴又有对称中心；

④当（kZ）时，g（x）+f（x）的值只有0或。

其中正确判断有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共5题。每题5分，共25分。

11. 复数z=的共轭复数为_________。

12. 已知cos2=，则cos²（+）-2cos²（–）的值为_________。

13. 设，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：

①若m⊥，n⊥，则m∥n；②若m⊥，m⊥，则∥；③若⊥，⊥，则∥。

其中，正确结论的序号为_________。

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

14. 从下列四个条件①a=c；②；③cosB=；④b=中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是_________ （填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为_________。

15. 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件。由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）。配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）。在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为________。

三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. （本小题14分）

如图①，四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点。将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图②。

（I）求证：平面A₁EB⊥平面A₁ED；

（Ⅱ）若∠A₁ED=90°，求A₁C与平面A₁BD所成角的正弦值。

17. （本小题14分）

已知{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，且满足a₃=1，S₃=3a₂+1。{b_n}为等差数列，其前n项和为T_n，如图_________，T_n的图象经过A，B两个点。

（I）求S_n；

（Ⅱ）若存在正整数n，使得b_n>S_n，求n的最小值。

从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18. （本小题14分）

某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b。

甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知P（=0）=，P（=4）=。

（I）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；

（Ⅱ）求a，b的值；

（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断E如何变化（结论不要求证明）。

19. （本小题14分）

已知椭圆=1（a>b>0）的一个顶点坐标为A（0，-1），离心率为。

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线（k≠0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上。

20. （本小题15分）

已知=（a∈R）。

（I）当a=-2时，求证：在（-，0）上单调递减；

（Ⅱ）若对任意x≥0，≥1恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若有最小值，请直接给出实数a的取值范围。

21. （本小题14分）

设数列：A：a₁，a₂，…，a_n，B：b₁，b₂，…，b_n。已知a_i，b_j∈{0，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），定义n×n数表X（A，B）=，其中=

（I）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出X（A，B）；

（Ⅱ）若A，B是不同的数列，求证：n×n数表X（A，B）满足”（i=l，2，…，n；j=1，2，…，n；）”的充分必要条件为”a_k+b_k=1（k=1，2，…，n）”；

（Ⅲ）若数列A与B中的1共有n个，求证：n×n数表X（A，B）中1的个数不大于。

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

1. B 2. C 3. A 4. D 5. B

6. B 7. B 8. A 9. C 10. C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11. -1+i 12. -1

13. ①② 14. ①③④，，或者②③④，

15. 5

三、解答题（共6小题，共85分）

16. （本小题14分）

（I）证明：因为四边形ABCD中，AD//BC，CD⊥BC，BC=1，AD=2，

E为AD中点，

所以BE⊥AD。

故图②中，BE丄A₁E，BE⊥DE。

又因为A₁EDE=E，A₁E，DE平面A₁DE，

所以BE丄平面A₁DE。

又因为BE平面A₁EB，

所以平面A₁EB丄平面A₁DE。 5分

（II）解：由∠A₁ED = 90°得A₁E丄DE，

又A₁E⊥BE，BE⊥DE，

因此，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz。

由A₁E=CD=DE=l，

得A₁（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），

=（1，0，-1），
=（0，1，-1），

设平面A₁BD的法向量为n=（x，y，z），

则即

令z=l得x=1，y=l，

所以n=（1，1，1）是平面A₁BD的一个法向量。

又=（1，1，-1），

设直线A₁C与平面A₁BD所成角为，

所以sin=|cos<n，>|= 14分

17. （本小题14分）

解：（I）由S₃=3a₂+1，得a₁=2a₂，即=，

因为，所以，，

所以=8=。 6分

（II）由图①知：T₁=b₁=1，T₃=-3，可判断d<0，数列{b_n}是递减数列；

而{8-2^3-n}递增，由于，所以选择①不满足”存在n，使得b_n>S_n“。

由图②知：T₁=b₁=1，T₃=6，可判断d>0，数列{b_n}是递增数列；

由图③知：T₁=b₁=-3，T₃=0，可判断d>0，数列{b_n}是递增数列。

所以选择②③均可能满足”存在n，使得b_n>S_n“。

第一种情况：

如果选择条件②，即T₁=b₁=1，T₃=6，可得：d=1，b_n=n。

当n=1，2，3，4，5，6，7时，b_n>S_n不成立，

当n=8时，b₈=8，S₈=8-2^3-8<b₈，

所以使得b_n>S_n成立的n的最小值为8。 14分

第二种情况：

如果选择条件③，即T₁=b₁=-3，T₃=0，可得：d=3，b_n=3n-6。

当n=1，2，3，4时，b_n>S_n不成立，

当n=5时，b₅=9，S₅=8-2^3-5<b₅成立，

所以使得b_n>S_n成立的n的最小值为5。 14分

18. （本小题14分）

解：因为P（=0）=，所以a>60，且b>80。

设事件A表示”甲同学被项目A招募”，由题意可知，P（A）==；

设事件B表示”甲同学被项目B招募”，由题意可知，P（B）=；

设事件C表示”甲同学被项目C招募”，由题意可知，P（C）=；

设事件D表示”甲同学被项目D招募”，由题意可知，P（D）=；

（I）由于事件”甲同学至多获得三个项目招募”与事件”=4″是对立的，

所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是1-P（=4）=1-=。 4分

（II）由题意可知，

=；

=；

解得，。 12分

（III）变大。 14分

19.（本小题14分）

（I）解：由题意可知

解得

所以椭圆C的方程为。 4分

（II）证明：设，，。

由得，

所以，

所以当k为任何实数时，都有>0，

所以，。

因为线段PQ的中点为M，

所以，。

因为B（1，0）。

所以=，=。

所以·=

=

=

=

=

又因为，，

所以·≠0，

所以点M不在以AB为直径的圆上。 14分

20. （本小题15分）

（I）解：，

对于，

当时，，，

所以，

所以在上单调递减。 4分

（II）解：当时，，对于任意aR，命题成立；

当时，设，

则，

因为，，

所以，在上单调递增，

又，

所以，

所以在上单调递增，且，

①当时，，

所以在上单调递增。

因为，

所以>1恒成立。

②当时，，

因为在上单调递增，

又当时，=，

所以存在，对于，<0恒成立。

所以在上单调递减，

所以当时，，不合题意。

综上，当时，对于任意，恒成立。 13分

（III）解：。 15分

21. （本小题14分）

（I）解：X（A，B）=。 3分

（II）证明：””

若（k=1，2，…，n），由于

令A：a₁，a₂，…，a_n，由此数列B：1-a₁，1-a₂，…，1-a_n，

由于a_i=b_ja_i=1-a_ja_i+ a_j=1 a_j=1- a_i
a_j= b_i。

从而有。

“”

若。

由于A，B是不同的数列，

（1）设，，对任意的正整数。

①若，可得，。

所以。

②若，可得，，

所以。

同理可证，时，有（k=1，2，…，n）成立。

（2）设，，对任意的正整数，

①若，可得，，所以有，则A，B是相同的数列，不符合要求。

②若，可得，，所以有，则A，B是相同的数列，不符合要求。

同理可证，时， A，B是相同的数列，不符合要求。

综上，有数表X（A，B）满足”“的充分必要条件为”（k=1，2，…，n）”。

11分

（III）证明：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，

由此有，A中0的个数为，B中1的个数为，B中0的个数为p。

若，则数表X（A，B）的第i行为数列B：b₁，b₂，…，b_n，

若，则数表X（A，B）的第i行为数列B：1-b₁，1-b₂，…，1-b_n，

所以数表X（A，B）中1的个数为p（）+（）p=2p（）≤2。

所以数表X（A，B）中1的个数不大于。 14分