北京市东城区2020届下学期初中九年级统一测试（一）（一模）数学试卷

本试卷共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. 2019年上半年北京市实现地区生产总值15212.5亿元，同比增长6.3％，总体来看，经济保持平稳运行，高质量发展，将数据15212.5用科学记数法表示应为

A. B.

C. D.

2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是

A. 长方体 B. 正方体 C. 球 D. 圆柱

3. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，则∠2的度数是

A. 48° B. 78° C. 92° D. 102°

4. 将分解因式，结果正确的是

A. B. C. D.

5. 点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB，若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为

A. B. C. D.

6. 已知锐角∠AOB，如图，

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两孤交于点P，连接CP，DP；

（3）作射线OP交CD于点Q。

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是

A. CP∥OB B. CP＝2QC

C. ∠AOP＝∠BOP D. CD⊥OP

7. 将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a＋b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S₁，阴影部分的面积之和为S₂，若，则满足

A. B. C. D.

8. 党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平，为2020年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础，以下是根据近几年中国农村贫困人口数量（单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分。

（以上数据来源于国家统计局）

根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是

A. 2018年中部地区农村贫困人口为597万人

B. 2017—2019年，农村贫困人口数量都是东部最少

C. 2016—2019年，农村贫困人口减少数量逐年增多

D. 2017—2019年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________。

10. 随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a＋b＞4的概率是__________。

11. 若，则代数式的值是___________。

12. 如果一个正n边形的每个内角为108°，那么这个正n边形的边数为_________。

13. 《九章算术》中有这样一个题：”今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱。现有30钱，买得2斗酒，问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为______________。

14. 如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB，BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝____________。

15. 甲、乙两队参加了”端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：

①乙队率先到达终点；

②甲队比乙队多走了126米；

③在47.8秒时，两队所走路程相等；

④从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度比乙队的慢。

所有正确判断的序号是_______________。

16. 从－1，0，2，3四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数对（其中，且将与视为同一个数对），若满足：对于任意的和都有，则s的最大值是__________。

三、解答题（本题共68分，第17—22题。每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27—28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. 计算：。

18. 解不等式组：

19. 观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果。

解分式方程：。

解：去分母，得， 步骤1

去括号，得， 步骤2

移项，得， 步骤3

合并同类项，得， 步骤4

解得， 步骤5

所以，原分式方程的解为。 步骤6

20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根。

（1）求a的取值范围；

（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根。

21. 如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F。

（1）求证：BF＝DE；

（2）分别延长BE和AD，交于点G，若∠A＝45°，求的值。

22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，已知，。

（1）求m的值和一次函数的解析式；

（2）若点M为反比例函数图象在A，B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N，当MN长度最大时，直接写出点M的坐标。

23. 如图，直线与⊙O相离，OA⊥于点A，与⊙O相交于点P，是直线上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且。

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若tan∠ACB＝，求线段BP的长。

24. 人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总，人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义，下面是关于人口数据的部分信息。

a. 2018年中国大陆（不合港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）的频数分布直方图（数据分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：

b. 人口数量在2≤x＜4这一组的是：

2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9

c. 2018年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：

d. 下表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：

e. 世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高＞50‰，最低＜20‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点。

根据以上信息，回答下列问题：

（1）2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第___________位。

（2）人口增长率＝人口出生率－人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有___________个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为____________千万人（保留小数点后一位）。

（3）下列说法中合理的是_________________。

①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；

②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了”二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力。

25. 如图，P是线段AB上的一点，AB＝6cm，O是AB外一定点。连接OP，将OP绕点O顺时针旋转120°得OQ，连接PQ，AQ。

小明根据学习函数的经验，对线段AP，PQ，AQ的长度之间的关系进行了探究。

下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，PQ，AQ的长度（单位：cm）的几组值，如下表：

在AP，PQ，AQ的长度这三个量中，确定___________的长度是自变量，____________的长度和__________的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PQ时，线段AP的长度约为__________cm。

26. 在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点。直线与抛物线围成的封闭区域（不包含边界）为W。

（1）求抛物线顶点坐标（用含a的式子表示）；

（2）当时，写出区域W内的所有整点坐标；

（3）若区域W内有3个整点，求a的取值范围。

27. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF。

（1）依题意补全图1；

（2）若DM＝1，求线段EF的长；

（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值。

28. 在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中线弧。

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点。

①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧，直接写出△ABC的中线弧所在圆的半径r的最小值；

②如果2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧的弧长。

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点，求△ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围。

【试题答案】

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 10. 11. －5 12. 5

13. 14. 15. ③④ 16. 5

三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27—28题，每小题7分）

17. 解：原式＝ 4分

。 5分

18. 解：

由①得，， 2分

由②得，， 4分

∴不等式组的解集为。 5分

19. 解：错误的步骤是：步骤1、2、3、6，理由略， 4分

正确的结果是x＝1。 5分

20. 解：（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，

，

即，

。 3分

（2）将代入方程，

解得。

将代入方程，

解方程得，

∴方程的另一个根为。 5分

21. （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，

∴CB＝CD。

又∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，

∴∠BEC＝∠DFC＝90°。

∵∠C＝∠C，

∴△BEC≌△DFC，

，

。 2分

（2）解：设，

∵∠A＝45°，

∴△DEG和△BEC都是等腰直角三角形。

∵四边形ABCD为菱形，

，

可求出，

。 5分

22. 解：（1）将点代入，

得。

∴反比例函数解析式为，

∵BE⊥y轴，AD⊥y轴，

∴∠CEB＝∠CDA＝90°，

∴△CDA∽△CEB。

，

，

，

，

，

，

，

。

。

将代入，

得

解得，。

∴一次函数的解析式为。 3分

（2）当MN长度最大时，点M的坐标为（2，2）。 5分

23. （1）证明：如图，连接OB，则OP＝OB。

∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，

∴∠ACB＝∠ABC，

而OA⊥，即∠OAC＝90°，

∴∠ACB＋∠CPA＝90°，

即∠ABP＋∠OBP＝90°，

∴∠ABO＝90°，

∴OB⊥AB，故AB是⊙O的切线。 2分

（2）解：∵tan∠ACB＝，

∴在Rt△ACP中，设，

，

，

，

，

，

∵∠ABO＝90°，

由勾股定理，得，

即，

解得，

，

，

，

。

过O作OD⊥PB于D，

在△ODP和△CAP中，

∵∠OPD＝∠CPA，∠ODP＝∠CAP＝90°，

∴△ODP∽△CAP，

，

，

。 6分

24. 解：（1）6； 2分

（2）2，3.8； 4分

（3）①②。 6分

25. 解：（1）AP，PQ，AQ； 3分

（2）如图所示：

5分

（3）3.07。 6分

26. 解：（1），

∴抛物线顶点坐标为。 2分

（2）当时，画出直线和抛物线围成的封闭区域W，

∴区域W内的所有整点坐标分别为（1，0），（2，0），（1，－1），（3，1）。 4分

（3）①，

当时，区域W内的所有整点有4个；

当时，区域W内的所有整点多于3个；

当时，区域W内的所有整点有4个；

当时，区域W内的所有整点有3个；

当时，区域W内的所有整点多于3个。

②，

当时，区域W内的所有整点有0个；

当时，区域W内的所有整点多于3个。

∴区域W内有3个整点时，a的取值范围是，

综上，a的取值范围是。 6分

27. 解：（1）补全图形如图1所示。 1分

（2）如图2，连接BM。

∵点D与点E关于AM所在的直线对称，

∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABF＝90°。

又，

∴△ADM≌△ABF，

，∠FAB＝∠MAD，

∴∠FAB＝∠MAE，

∴∠FAB＋∠BAE＝∠BAE＋∠MAE，

∴∠FAE＝∠MAB，

∴△FAE≌△MAB（SAS），

。

∵四边形ABCD是正方形，

，

，

，

∴在Rt△BCM中，，

。 5分

（3）当点M在CD边上运动时，若使△AEF为等腰三角形，则tan∠DAM＝1或。

7分

28. 解：（1）①如图（答案不唯一）。

中线弧所在圆的半径r的最小值为。 2分

②当中线弧所在圆与AC，AB都相切时，中线弧的弧长最大。

如图，此时中线弧所在圆的圆心在BC上，半径为。

所以最大弧长。 3分

（2）△ABC的中线弧所在圆的圆心P在CD的垂直平分线上，

如图，若中线弧在CD下方，

当中线弧所在圆与BC相切时，可得圆心P的坐标为（0，5）。

所以△ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标。

如图，若中线弧在CD上方，

当中线弧所在圆与AC相切时，可得圆心P的坐标为。

所以△ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标。

综上，△ABC的中线弧所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为：或。

7分