本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若复数
，则
在复平面内的对应点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 圆
的半径为（ ）
A. 1 B. 
C. 2 D. 4
3. 已知向量
，则
等于（ ）
A. 
B. 
C. 2 D. 3
4. 若椭圆
的离心率为
，则实数m等于（ ）
A. 3 B. 1或3 C. 1或
D. 3或
5. 关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是（ ）
A. 若a∥M，b∥M，则a∥b B. 若a∥M，b⊥a，则b⊥M
C. 若
，且a⊥b，则a⊥M D. 若a⊥M，a∥N，则M⊥N
6. “
“是”方程
表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7. 在平面直角坐标系中，记d为点
到直线
的距离，当
变化时，d的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝x，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）
A. 
，都存在某个位置，使得AB⊥CD
B. 
，都不存在某个位置，使得AB⊥CD
C. 
，都存在某个位置，使得AB⊥CD
D. 
，都不存在某个位置，使得AB⊥CD
9. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
就是其中之一（如图）。给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
；
③曲线C所围成的”心形”区域的面积小于3。
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
10. 已知正方体
，点
分别是线段
和
上的动点，观察直线CE与
与
。给出下列结论：
①对于任意给定的点E，存在点F，使得
；
②对于任意给定的点F，存在点E，使得
；
③对于任意给定的点E，存在点G，使得
；
④对于任意给定的点G，存在点E，使得
。
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
11. 已知i为虚数单位，设复数z满足
，则
＝__________。
12. 在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为－1且倾斜角为
的直线方程为____________。
13. 若直线
与椭圆
相交于A，B两个不同的点，则
等于___________。
14. 如图，长方体
中，ABCD是边长为1的正方形，
与平面ABCD所成的角为60°，则棱
的长为____________；二面角
的大小为__________。
15. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3。
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是____________；
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_____________。
16. 已知M为椭圆
上一点，N为椭圆长轴上一点，O为坐标原点。
给出下列结论：
①存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；
②不存在点M，N，使得△OMN为等边三角形；
③存在点M，N，使得∠OMN＝90°；
④不存在点M，N，使得∠OMN＝90°。
其中，所有正确结论的序号是___________。
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17. 在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2），B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E。
（Ⅰ）求圆E的方程；
（Ⅱ）若过原点O的直线
与圆E相交所得弦的长为
，求直线
的方程。
18. 在△ABC中，
。
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若点P为射线AB上的一个动点（与点A不重合），设
。
①求k的取值范围；
②直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得
。
19. 如图，在长方体
中，底面ABCD是正方形，
，E是
的中点。
（Ⅰ）求证：AC⊥
；
（Ⅱ）求点B1到平面ACE的距离；
（Ⅲ）求二面角
的大小。
20. 已知椭圆
＝1（
）的离心率为
，
，△OAB的面积为1。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。
求证：
为定值。
21. 如图，四棱锥
中，AD⊥平面ABP，BC∥AD，∠PAB＝90°。
，
，E是PB的中点。
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角
的余弦值是
，求m的值；
（Ⅲ）若
，在线段AD上是否存在一点F，使得PF⊥CE。若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理由。
22. 如图，已知四边形ABCD是椭圆
的内接平行四边形，且
分别经过椭圆的焦点
。
（Ⅰ）若直线
的方程为
，求AC的长；
（Ⅱ）求平行四边形ABCD面积的最大值。
【试题答案】
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
A | B | A | D | D | C | D | C | C | B |
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
11. 
； 12. 
； 13. 
； 14. 
，45°；
15. 
； 16. ①④
三、解答题：共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17. 解：（Ⅰ）设△ABC的外接圆E的圆心
，半径为
，则E为：
。
由题意，得
，
解得
，所以
。
（Ⅱ）设直线
的方程为
或
（舍）。
如图，设
与圆E相交于点
，过圆心D作直线
的垂线，垂足为P，
所以
，即
，
在Rt△DPN中，
，
所以
，
又因为圆E的圆心到直线
的距离
，
所以
，
解得
，
故直线
的方程为
。
18. 解：（Ⅰ）在△ABC中，
，
根据余弦定理
所以
。
因为
，
所以
。
（Ⅱ）①在△ABC中，
根据正弦定理，得
，
因为点P为射线AB上一动点，
所以
。
所以k的取值范围为
。
②答案不唯一，取值在区间
上均正确。
19. 因为
是长方体，底面ABCD是正方形，所以DA、DC、
两两垂直，如图，以D为原点，直线
分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。
则
。
（Ⅰ）证明：因为
，
所以
，
所以AC⊥
。
（Ⅱ）解：
，
设
是平面AEC的一个法向量，则
，
即
取
，则
，即
，
，
点
到平面
的距离是
，
所以点
到平面ACE的距离是
。
（III）解：
是平面DAE的一个法向量，
=（0,1,0）。
是平面AEC的一个法向量。
设二面角D-AE-C的大小是
，则
，
所以二面角D-AE-C的大小是60度。
20. 解（I）由题意得
解得
所以椭圆C的方程为
（II）由（I）知，A（2,0）,B（0,1）
设P
，则
当
时，
直线PA的方程为
令
，得
，从而
。
直线PB的方程为
。
令
y
所以
＝4。
当
时，
，
所以
。
综上，
为定值。
21. （Ⅰ）证明：因为AD⊥平面PAB，BC∥AD，
所以BC⊥平面PAB，
又因为
平面PAB，所以AE⊥BC。
在△PAB中，
，E是PB的中点，
所以AE⊥PB。
又因为
，所以AE⊥平面PBC，
又因为
平面AEC，所以平面AEC⊥平面PBC。
（Ⅱ）解：因为AD⊥平面PAB，
所以AD⊥AB，AD⊥PA，
又因为PA⊥AB，
所以如图建立空间直角坐标系
，
则
，
，
设平面AEC的法向量为
。
则
即
令
，则
，
于是
。
因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，又PB⊥AE，
所以PB⊥平面AED。
又因为
，
所以取平面AED的法向量为
，
所以
，
即
，解得
。
又因为
，所以
。
（Ⅲ）结论：不存在。理由如下：
证明：设
，
当
时，
，
。
由PF⊥CE知，
，这与
矛盾，
所以，在线段AD上不存在点F，使得PF⊥CE。
22. （Ⅰ）解：由
解得
，
所以
两点的坐标为
，
所以
。
（Ⅱ）解：①当直线AD的斜率不存在时，
此时易得
，
所以平行四边形ABCD的面积为
。
②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为
，
将其代入椭圆方程，整理得
，
设点
，
则
，
连结
，
则平行四边形ABCD的面积
。
又
，
所以
。
综上，平行四边形ABCD面积的最大值是6。
