本试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 集合
，则
＝（ ）
A. 
B. 
C. 
D. R
2. 在复平面内，复数
对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 16
4. 函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 
的展开式中，
的系数为（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 60
6. 如图是函数
的部分图象，将函数
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数
为偶函数
B. 函数
的图象的对称轴是直线
C. 函数
的单调递增区间是
D. 函数
的图象的对称中心是
7. 设F为双曲线C：
的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆
交于P，Q两点，若
，则C的离心率为（ ）
A. 
B. 
C. 2 D.
8. 已知圆C：
，若在圆C中存在弦AB，且满足
，且AB的中点在直线
上，则实数k的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
9. 已知数列
共有6项，其中
，且
，则满足条件的不同数列有（ ）
A. 6个 B. 8个 C. 10个 D. 12个
10. 0－1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列
满足
，且存在正整数m，使得
成立，则称其为
周期序列，并称满足
的最小正整数m为这个序列的周期，对于周期为m的
序列
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的
序列中，满足
的序列是（ ）
A. 11010… B. 11011… C. 10001… D. 11001…
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
11. 在边长为2的正三角形ABC中，
＝_____________。
12. 设数列
的前n项和为
，若
，则
＝___________，
＝_____________。
13. 已知函数
的值域为
，若关于x的不等式
的解集为
，则实数c的值为____________。
14. 已知
，函数
在区间
上的最大值为5，则实数a的取值范围是____________。
15. 在三棱锥
中，
两两垂直，点T在平面ABC上的射影为D，O为三棱锥
内任意一点，连接
并延长，交对面于点
，则下列结论中正确结论的序号是____________。
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是锐角三角形；
③
；
④
；
⑤
。
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 本小题13分。设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为
，且
。
（1）求角A的大小；
（2）从下面两个条件中任选一个，完成本题的解答。
①若
，求c的值；
②若
，求a的值。
17. 本小题13分。如图，在三棱柱
中，
⊥平面
，
分别为
的中点，
，
。
（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角
的余弦值。
18. （本小题14分）盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球。每次取1个，不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为
。
（1）求取球结束时，没有取到黄球的概率；
（2）求
的概率分布列，并求其数学期望
。
19. （本小题15分）椭圆
过点
，其离心率为
，椭圆C的左、右焦点分别为
，过左焦点
作直线
交椭圆于A，B两点。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△
的内切圆半径的最大值。（附：三角形内切圆半径为该三角形面积的2倍除以周长）
20. 已知函数
。
（1）当
时，讨论函数
的单调性；
（2）当
时，令
，试证明
。
21. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）
与
，其中
，若同时满足：
①两点列的起点和终点分别相同；②线段
⊥
，其中
，则称
互为正交点列。
（1）求
的正交点列
；
（2）判断
是否存在正交点列
？并说明理由；
（3）
，是否都存在无正交点列的有序整点列
？并证明你的结论。
【试题答案】
一、选择题
1. D 2. D
3. B
由三视图在长方体中作出三棱锥的直观图，如图所示，
则该三棱锥的体积
。
4. A
5. C
的通项公式为
，又
的通项公式为
，所以
的通项公式为
（
），令
得
，所以
的系数为
。
6. C 7. A 8. B 9. C 10. C
二、填空题
11. －2
12. 1；121
，
再由
，
又
，
所以
。
13. 9
14. 
15. ①②④⑤
16. （1）由正弦定理即
得
，
化简
，解得
，
因为0°＜A＜180°，
所以A＝60°。
（2）选①：由余弦定理得
，即
，
解得
。
经验证1，4都是解，所以c的值是1或4。
选②：由
，得到
，所以
，再由余弦定理，
得
，所以
。
17. （1）三棱柱
中，
因为
⊥平面ABC，
所以四边形
为矩形。
又
分别为
的中点，
所以AC⊥EF，
因为
，
所以AC⊥BE，
所以AC⊥平面BEF。
（2）由（1）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥
，
又
⊥平面ABC，
所以EF⊥平面ABC，
因为
平面ABC，
所以EF⊥BE。
如图建立空间直角坐标系
。
由题意得
，
，
所以
。
设平面BCD的法向量为
，则
即
令
，则
，
于是
。
又因为平面
的法向量为
，
所以
。
由题知二面角
为钝角，所以其余弦值为
。
18. 我们用
分别表示第i次取到红球，绿球，黄球的事件，
。
（1）
。
（2）
可以取
，
，
，
。
的概率分布列为：
| 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
。
19. （1）因为
，所以
，所以
，
则椭圆的标准方程为
。
（2）当直线
斜率为零时，△
不存在，设直线
的方程为
，
由
得
。
设点
，则有
，
设△
的内切圆半径为r，
则
，
所以
。
因为
，
所以
。
设
，则
，内切圆半径
，等号当且仅当
时取得，
所以△
的内切圆半径的最大值为
。
20. （1）
。
①当
时，
，
时，
单调增；
时，
单调减，
所以函数
的单调递增区间是
，单调递减区间是
。
②当
时，
，所以函数
的单调递增区间是
。
（2）当
时，
，
，
单调增；
单调减，
所以
，所以
。
21. （1）设点列
的正交点列是
，
由正交点列的定义可知
，设
，
，
由正交点列的定义可知
，
即
解得
所以点列
的正交点列是
。
（2）由题可得
，
设点列
是点列
的正交点列，
则可设
，
因为
与
相同，所以有
因为
，方程②显然不成立，
所以有序整点列
不存在正交点列。
（3）
，都存在整点列
无正交点列，
，设
，其中
是一对互质整数，
，
若有序整点列
是点列
正交点列，
则
，
则有
当n为偶数时，
取
，
由于
是整点列，所以有
，
等式④中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列
无正交点列；
当n为奇数时，
取
，
由于
是整点列，所以有
，
等式④中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列
无正交点列。
综上所述，
，都存在无正交点列的有序整数点列
。