本试卷共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。
一、选择题：（本大题共10小题，每题2分，共20分）
1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 若点
在双曲线
上，则代数式
的值为（ ）
A. －12 B. －7 C. －5 D. 5
3. 关于方程
的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
4. 如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC，若
，则BC的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且
，则∠ABD的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
6. 已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程
的一个根，则点P在（ ）
A. ⊙O的外部 B. ⊙O的内部
C. ⊙O上或⊙O的外部 D. ⊙O上或⊙O的内部
7. 如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝4，则线段AP的长为（ ）
A. 4 B. 
C. 8 D. 12
8. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
9. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°<θ<90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则随着θ的增大，∠PAH的度数（ ）
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 先增大后减小
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线
与双曲线
交于A，B两点，P是以点
为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点，若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（ ）
A. 
B. 
C. －2 D.
二、填空题：（本大题共10小题，每题3分，共30分）
11. 若关于x的方程
有一个根为－1，则
的值为__________。
12. 已知反比例函数
的图象分别位于第二、第四象限，请写出一个符合题意的k的值_______________。
13. 如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点A落在⊙O上，边AB、AC分别与⊙O交于点D、E，则∠DOE的度数为___________。
14. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB＝_________m。
15. 如图，在平面直角坐标系
中，点B在y轴上，
，反比例函数
的图象经过点A，若△ABO的面积为2，则k的值为__________。
16. 一个圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形，则这个圆锥底面圆的半径为__________。
17. 已知抛物线
与x轴交于A、B（A在B左侧）两点，且对称轴为
，则（1）m的值为_________；（2）当
时，x的取值范围是_________。
18. 如图，直角△ABC中，∠C＝90°，
，则△ABC的内切圆半径为_________。
19. 在平面直角坐标系
中，函数
的图象与函数
的图象组成图形G，对于任意实数n，过点
且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，则实数m的取值范围是_______________。
20. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3。
（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是___________；
（2）记
为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则
中最大的是________________。
三、解答题（本题共50分，第21题6分，第22~23题，每小题5分；第24~25题，每小题6分；第26~27题，每小题7分，第28题8分）
21. 下面是小美设计的”过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程。
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P。
求作：过点P的⊙O的切线。
作法：如图，
①以点P为圆心，以OP为半径画弧交⊙O于点B；
②以点B为圆心，OB为半径作⊙B；
③连接OB并延长与⊙B交于另一点C；
④作直线PC；
则直线PC即为所求。
根据小美设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接OP，
，∴点P在⊙B上，
又
OC是⊙B的直径，∴∠OPC＝90°（________________）（填推理的依据）。
⊥PC于点P，
点P在⊙O上，
是⊙O的切线（_______________）（填推理的依据）。
22. 如图，一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于A，B两点，点B的坐标为
。
（1）求出n的值，并确定反比例函数的表达式；
（2）请直接写出当
时，
的取值范围。
23. 有这样一个问题：探究函数
的图象与性质。
小亮根据学习函数的经验，对函数
的图象与性质进行了探究。
下面是小亮的探究过程，请补充完整：
（1）函数
中自变量x的取值范围是______________；
（2）下表是y与x的几组对应值，请直接写出m的值______________；
| … | －2 | －1 | 0 | 1 |
|
|
|
| 3 | 4 | 5 | 6 | … | |
| … |
|
|
| 0 |
|
|
|
| m |
|
|
| … | |
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是_______________；
②该函数的图象与直线x＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_____________越来越靠近而永不相交。
24. 如图，已知直角△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F。
（1）求证：
；
（2）若
，
，求BE的长。
25. 中国女排在历次比赛中都取得了优异成绩，她们的训练场如图1所示，长为18m，宽为9m，网高为2.24m，某队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的点C发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2。
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围），并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由。
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，左边线0.5m），求发球点O到右边线所在直线
的距离。（参考数据：
）
26. 已知二次函数
的图象经过点
，与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C。
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）将二次函数
的图象在点B、C之间的部分（包含点B、C）记为图象G。已知直线
总位于图象G的上方，请直接写出k的取值范围：_____________。
（3）如果点
和点
在函数
的图象上，且
，
，求
的值。
27. 如图①，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE. 把△ADE绕点A逆时针方向旋转
，如图②。
（1）请你在图②中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；
（2）请你在图③中，画出当
＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；
（3）若
，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段AM的最大值：_____________。
28. 等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，给出如下定义：设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，满足
的点叫做等边三角形的”环中心点”。在平面直角坐标系
中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为
。
（1）已知点
，在点D、E、F中，是等边△ABC的”环中心点”的是：________________；
（2）如图，
①过点A作直线交x轴正半轴于点M，使∠AMO＝30°，若线段AM上存在等边△ABC的”环中心点”P（
），求m的取值范围；
②与①中AM平行的直线
与x轴、y轴分别交于点
、
，请直接写出：当s满足什么条件时，线段TS上总存在等边△ABC的”环中心点”：___________________。
【试题答案】
一、选择题（本题共20，每小题2分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | B | C | A | D | D | A | B | C | C | A |
二、填空题（本题共30，每小题3分）
题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||
答案 | －1 |
| 60° | 8 | 2 | ||
题号 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||
答案 | 6 | －1 |
| 2 |
|
|
|
三、解答题（本题共50，第21题6分，第22~23题，每小题5分；第24~25题，每小题6分；第26~27题，每小题7分，第28题8分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程。
21. （本小题满分6分）
补全的图形如图所示
2分
直径所对的圆周角是直角 4分
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 6分
22. （本小题满分5分）
（1）
3分
（2）
5分
23. （本小题满分5分）
（1）
1分
（2）
2分
3分
（4）（2，2） 4分
（5）
5分
24. （本小题满分6分）
证明：（1）连接OD
∵BC切⊙O于点D
∴OD⊥BC 1分
∴∠ODC＝90°
又∵∠ACB＝90°
∴OD∥AC
∴∠ODE＝∠F 2分
∴∠OED＝∠ODE
∴∠OED＝∠F
3分
（2）∵OD∥AC
∴△BOD∽△BAC 4分
即
5分
6分
（本题方法多样）
25. （本小题满分6分）
（1）设抛物线的表达式为：
，
将
代入上式并解得：
，
故抛物线的表达式为：
， 2分
当
时，
， 3分
当
时，
， 4分
故这次发球过网，但是出界了。
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ，OQ交于点Q，
在Rt△OPQ中，
，
当
时，
，解得：
或－5（－5舍去），
，而
，
故
，
，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处。 6分
26. （本小题满分7分）
（1）根据题意得：
解得
二次函数的表达式为
， 1分
顶点坐标为（2，－1）。 2分
（2）
4分
（3）
和点
在函数
的图像上，
∥x轴， 5分
又∵二次函数
的对称轴是直线
，
， 6分
。 7分
法2：
和点
∥x轴， 5分
又
①
和点
在函数
的图像上，
，整理得
②
由①②得
。 6分
。 7分
27.（本小题满分7分）
（1）
； 1分
理由：连接CE和BD，如图2所示，
图2
由题意可知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∵∠EAD＝∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝∠DAB，
又∵
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
。 2分
（2）当
＝45°时，连接CE和BE，如图3所示，延长AD交BC于F， 3分
＝45°，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
图3
∴∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，
，∠EAB＝135°，
∴∠EAB＋∠ABC＝135°＋45°＝180°，
∴AE∥BC， 4分
，
。 5分
（3）
7分
28. （本小题满分8分）
（1）E，F。 2分
（2）①依题意
，
可求得直线AM的解析式为
。 3分
经验证E在直线AM。
因为
，∠MAO＝60°，
所以△OAE为等边三角形，
所以AE边上的高长为
。 4分
当点P在AE上时，
，
所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的环中心点，
所以
。 5分
②
。 8分