北京101中学2021届上学期初中九年级9月月考数学试卷

（考试时间：120分钟 满分：100分）

一、选择题：本大题共16分，每题2分。

1. 中国国家航天局2020年4月24日在”中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为”天问”，将中国首次火星探测任务命名为”天问一号”，火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为

A. B. C. D.

2. 若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是

A. B. C. D.

4. 如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于A，B两点，过点B作BC⊥AB交直线a于点C，若∠1＝65°，则∠2的度数为

A. 25° B. 35° C. 65° D. 115°

5. 如果，那么的值是

A. 2 B. 4     C. －2 D. －4

6. 把直线向右平移2个单位可以得到直线，要得到直线，也可以把直线

A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位

C. 向上平移6个单位 D. 向下平移6个单位

7. 在平面直角坐标系中，点P在由直线，直线和直线所围成的区域内或其边界上，点Q在x轴上，若点R的坐标为，则的最小值为

A. B. C. D. 4

8. “实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标，厂家为了解某型号电动汽车的”实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的”实际平均续航里程”数据整理成下图，其中”⊙”表示A组的客户，”*”表示B组的客户。

下列推断不正确的是

A. A组客户的电动汽车的”实际平均续航里程”的最大值低于B组

B. A组客户的电动汽车的”实际平均续航里程”的方差低于B组

C. A组客户的电动汽车的”实际平均续航里程”的平均值低于B组

D. 这20位客户的电动汽车的”实际平均续航里程”的中位数落在B组

二、填空题：本大题共16分，每题2分。

9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_________。

10. 分解因式____________。

11. 一次函数的图象不经过第___________象限。

12. 如图，∠1，∠2，∠3均是五边形ABCDE的外角，AE∥BC，则∠1＋∠2＋∠3＝________°。

13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，点D，E分别是AB，AC的中点，若点F在线段DE上，且∠AFC＝90°，则∠FAE的度数为___________°。

14. 手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：

则这两个模型都制作完成所需的最短时间为__________分钟。

15. 正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上，下面四个结论中，

①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN是菱形；

③存在无数个四边形PMQN是矩形；④至少存在一个四边形PMQN是正方形。

所有正确结论的序号是_______________。

16. 如图所示，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm，当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动，当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为____________cm。

三、解答题：本题共68分，第17—20题，每小题5分，21题6分，22题5分，第23—26题，每小题6分，第27题7分，28题6分

17. 计算：。

18. 解分式方程：。

19. 下面是小星同学设计的”过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：

已知：如图，直线和直线外一点A

求作：直线AP，使得AP∥

作法：如图

①在直线上任取一点B（AB与不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线交于点C。

②连接AC，AB，延长BA到点D；

③作∠DAC的平分线AP。

所以直线AP就是所求作的直线

根据小星同学设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：∵，

∴∠ABC＝∠ACB（___________）（填推理的依据）

∵∠DAC是△ABC的外角，

∴∠DAC＝∠ABC＋∠ACB（___________）（填推理的依据）

∴∠DAC＝2∠ABC

∵AP平分∠DAC，

∴∠DAC＝2∠DAP

∴∠DAP＝∠ABC

∴AP∥（____________）（填推理的依据）

20. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点。

求证：EF平分∠BED。

21. 已知关于x的方程有两个实数根。

（1）求实数a的取值范围；

（2）若a为正整数，求方程的根。

22. 在平面直角坐标系中，直线过，直线。

（1）求直线的表达式；

（2）当时，不等式恒成立，请写出一个满足题意的的值。

23. 如图，在△ABC中，，AD平分∠BAC，CE∥AD且。

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）若△ABC是边长为4的等边三角形，对角线AC，DE相交于点O，在CE上截取CF＝CO，连接OF，求四边形AOFE的面积。

24. 我国的传统佳节端午节，历来有吃”粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个。

（1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？

（2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值。

25. 如图，点P是AB上一动点，连接AP，作∠APC＝45°，交弦AB于点C。已知，设两点间的距离为，P，C两点间的距离为，两点间的距离为。（当点P与点A重合时，的值为0；当点P与点B重合时，的值为0，的值为6）。

小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究。

下面是小元的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；

经测量m的值是__________（保留一位小数）。

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y₁），（x，y₂），并画出函数y₁，y₂的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为___________cm（保留一位小数）。

26. 在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记作，其中（为常数）。

例如：当，且时，。

（1）当，且时，＝_______；

（2）若，则a＝__________，b＝_________；

（3）设点是直线上的任意一点，点P经过变换得到点，若点P与点重合，求a和b的值。

27. 已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE。

（1）依题意补全图形；

（2）AE与DF的位置关系是_____________；

（3）连接AF，点D在运动变化的过程中，∠DAF的度数是否始终保持不变，如果不变请求出其度数，如果变化请说明理由。

28. 在平面直角坐标系中，对任意两点，如果＝d，则称与互为”距点”。例如：点，由＋，可得与互为”3－距点”。

（1）在点D（－2，－2），E（5，－1），F（0,4）中，原点O的”4－距点”是__________（填字母）；

（2）已知点A（2，1），点B（0,b），过点B平行于x轴的直线。

①当b＝3时，直线上的点A的”2－距点”的坐标为_____________________；

②若直线上存在点A的”2－距点”，在坐标系中画出这些A的”2－距点”组成的图形，并写出b的取值范围。

【试题答案】

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 10. 11. 三 12. 180

13. 64 14. 22 15. ①②④ 16.

三、解答题（本题共68分，第17—20题，每小题5分，21题6分，22题5分，第23—26题，每小题6分，第27题7分，28题6分）

17. 解：原式＝ 4分

。 5分

18. 解：方程两边同时乘以，得， 3分

解得，。 4分

经检验，是原方程的解。 5分

19. （1）略 2分

（2）等腰三角形两个底角相等（简写成：”等边对等角”） 3分

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和 4分

同位角相等，两直线平行 5分

20. 证明：∵BD平分∠ABC

∴∠ABD＝∠CBD 1分

∵DE∥AB

∴∠ABD＝∠BDE 2分

∴∠CBD＝∠BDE 3分

4分

∵F是BD中点

∴EF平分∠BED 5分

21. 解：（1）∵关于x的方程有两个实数根，

。 1分

解得。 2分

的取值范围为。

（2），且a为正整数，

， 3分

∴方程可化为。 4分

∴此方程的根为。 6分

22. 解：（1）∵直线过，

1分

2分

直线的表达式为。 3分

（2）答案不唯一，满足即可。 5分

23. （1）证明：∵CE∥AD且，

∴四边形ADCE是平行四边形。 1分

又在△ABC中，平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴四边形ADCE是矩形。 2分

（2）解：作OH⊥CE于点H，

∵△ABC是边长为4的等边三角形，AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝60°，∠DAC＝∠BAC＝30°，，

由（1）知四边形ADCE是矩形，

∴AC与DE互相平分，，

∴。 3分

∵在矩形ABCD中，∠AEC＝∠DCE＝90°，

∴∠ACE＝∠DAC＝30°，

在Rt△COH中，， 4分

。

。 6分

24.（1）解：设B生产线加工x小时，则A生产线加工（）小时。

， 2分

解得。 3分

答：B生产线至少加工7小时。

（2） 4分

整理得，，

解得（不符合题意，舍去） 6分

∴a的值为2

25. 解：（1）2.7； （±0.2） 1分

（2）如图； 3分

（3）2.3或4.2 6分

26. 解：（1）； 1分

（2）； 3分

（3）点经过变换得到的对应点与点P重合，

，

点在直线上，

，

4分

即

x为任意的实数，

解得

。 6分

27. 解：（1）补全图形如下：

1分

（2）AE与DF的位置关系是互相垂直； 2分

（3）∠DAF＝45° 3分

（想法1图形）

证明如下：过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：

∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，

，

∴四边形ABCG是正方形 4分

，∠BAG＝90°

关于直线AD的对称点为E，

，∠B＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠EAD。 5分

，

∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL）， 6分

∴∠GAF＝∠EAF，

∠BAG＝90°，

∴∠BAD＋∠EAD＋∠EAF＋∠GAF＝90°，

∠BAD＝∠EAD，∠EAF＝∠GAF，

∴∠EAD＋∠EAF＝45°，

即∠DAF＝45°。 7分

（想法2图形）

证明如下：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，

依题意可知：∠ABC＝∠BCF＝90°

∥FG

∥BG

∴四边形ABGF是平行四边形 4分

，∠BGC＝∠BAF，

点B关于直线AD的对称点为E。

，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠EAD 5分

∴Rt△AEF≌Rt△BCG（HL） 6分

∴∠EAF＝∠CBG

∠BCG＝90°，

∴∠BGC＋∠CBG＝90°

∴∠BAF＋∠EAF＝90°

∴∠BAD＋∠EAD＋∠EAF＋∠EAF＝90°

∠BAD=∠EAD

∴∠EAD＋∠EAF＝45°

即∠DAF＝45°。 7分

28.（1）； 2分

（2）①； 3分

②当直线经过点时，，

当直线经过点时，，

所以若直线上存在点A的”2－距点”，

图形 5分

则b的取值范围是。 6分