北京101中学2020-2021学年上学期高一年级期中考试数学试卷

本试卷满分120分，考试时间100分钟

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|-1<x<1}，则AB=（ ）

A. {x|-1≤x≤1} B. {x|-l<x≤0}

C. {x|-1≤x<1} D. {x|0<x<1}

2. 命题”x>0，“的否定是（ ）

A. x>0，≤0 B. x>0，≤0

C. x<0，≤0 D. x<0，≤0

3. 已知a，b∈R，则”a>b”是”>1″的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知集合A={x|<0}，B={x|-1<x<m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（ ）

A. （3，+） B. （-1，3）

C. [3，+） D. （-1，3]

5. 方程组的解集是（ ）

A. {（1，-1），（-1，1）} B. {（1，1），（-1，-1）}

C. {（2，-2），（-2，2）} D. {（2，2），（-2，-2）}

6. 已知a，b是方程=0的两个实数根，则的值是（ ）

A. 2023 B. 2021 C. 2020 D. 2019

7. 下列函数中，在区间（1，+）上为增函数的是（ ）

A. y=-3x-1 B. y= C. y= D. y=|x-1|+2

8. 若不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不为空集，则a的取值范围是（ ）

A. a≤1 B. a≥1 C. a<1 D. a>1

9. 已知a>0，b>0，若a+b=4，则（ ）

A. 有最小值 B. 有最小值

C. 有最大值 D. 有最大值

10. 设函数在（-，+）上有意义，对任意的x，y∈R且x≠y，都有–<|x-y|，并且函数的对称中心是（-1，0），若函数–=x，则不等式g+g<0的解集是（ ）

A. （-，1）（2，+） B. （1，2）

C. （-，-1）（2，+） D. （-1，2）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11. 若函数，则的定义域为_________。

12. 已知是定义在R上的奇函数，且当x>0时，=，则=________。

13. 写出一个使得命题”x∈R，>0恒成立”是假命题的实数a的值________：

14. 某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如下表：

根据以上数据，当这个餐厅利润（利润=总收入-总成本）最大时，每盒盒饭定价为________元。

15. 函数=（t>0）是区间（0，+）上的增函数，则t的取值范围是________。

16. 几位同学在研究函数（x∈R）时给出了下面几个结论：

①函数的值域为（-1，1）；

②若≠，则一定有≠；

③在（0，+）上是增函数；

④若规定=，且对任意正整数n都有：=，则对任意n∈N*恒成立。

上述结论中正确结论的序号为_________。

三、解答题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. （本小题8分）

设全集U=R，集合A=（-，-1][4，+），B=（-，1]。求：

（1）（AB）；

（2）记（AB）=M，N={x|a-1≤x≤-2a}，且MN=N，求a的取值范围。

18. （本小题10分）

定义在R上的函数（a∈R）。

（1）若为偶函数且>，求实数m的取值范围；

（2）若不是偶函数且在区间[-1，2]上不单调，求实数a的取值范围。

19. （本小题10分）

记关于x的方程在区间（0，3]上的解集为A，若A至多有2个不同的子集，求实数a的取值范围。

20. （本小题10分）

已知不等式<0（a∈R）。

（1）当a=2时，解这个不等式；

（2）若≤1-x对x∈（-，0）恒成立，求实数a的最大值。

21. （本小题12分）

已知是定义在R上的单调递减函数，对任意实数m，n都有=。函数。定义在R上的单调递增函数的图像经过点A（0，0）和点B（2，2）。

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）若t∈[-1，2]，使得<0（m为常实数）成立，求m的取值范围；

（3）设，F₁（x）=f（x）-x，F₂（x）=g（x），F₃（x）=h（x）-h（2-x），

（i=0，1，2…，100）。若++…+（k=1，2，3），比较M₁，M₂，M₃的大小并说明理由。

参考答案

1. C

2. A

3. D

当a=0，b=-l时，满足a>b，但<l；

当a=-2，b=-1时，满足>1，但a<b。

所以”a>b”是”>l”的既不充分也不必要条件。

4. A

5. A

6. A

7. D

8. D

9. A

10. A

11.

12. 。

13. -1（答案不唯一，只需a∈（-，0）[3，+））。

14. 21.5。

15. [1，+）。

16. ①②③④.

17. （1）由题意知，AB=（-，1][4，+），

又全集U=R，所以（AB）=（1，4）。

（2）由（1）得M=（1，4），由MN=N得NM。

①当N=时，有a-1>-2a，所以a>；

②当N≠时，有此不等式组无解。

综上，a的取值范围是（，+）。

18. （1）因为为偶函数，所以=恒成立，

即恒成立，所以，

所以=，其图像是开口向上的抛物线且关于y轴对称，

因为>，所以，所以m>0。

所以实数m的取值范围是（0，+）。

（2）依题意，所以或，

所以实数a的取值范围是（，）（，）。

19. 因为A至多有2个不同的子集，所以A至多有1个元素。

因为，所以所以=0，

所以原题等价于函数在区间（0，3]上至多有1个零点。

①当a=0时，=1在区间（0，3]上无零点，符合题意；

②当a>0时，抛物线=开口向上，对称轴为x=1，=1，

所以=1-a≥0，所以0<a≤1；

③当a<0时，抛物线=开口向下，对称轴为x=1，=1=，

所以在（0，3]上至多有一个零点，符合题意。

综上，实数a的取值范围是（-，1]。

20. （1）当a=2时，原不等式可化为（2x+1）（x-1）<0。

所以不等式解集为（，1）。

（2）≤l-x对x∈（-，0）恒成立，

等价于ax+1≥（x-1）（1-x）对x∈（-，0）恒成立，

等价于（a-2）x≥-对x∈（-，0）恒成立，

等价于a-2≤-x-对x∈（-，0）恒成立。

因为，当且仅当-x=即时等号成立，

所以a-2≤2，所以a≤2+2，

所以实数a的最大值为2+2。

21. （1）是R上的奇函数。证明如下：

因为任意实数m，n都有，

所以，所以=0，

从而对x∈R，恒有=，所以，

所以，所以为奇函数。

（2）由（1）知，为R上单调递减的奇函数，

由<0得<=，

所以>-8t-m，>，。

令，则。

当t∈[-l，2]时，。

所以t∈[-l，2]，使得+<0成立，

等价于t∈[-1，2]，使得m>h（t）成立，

所以m>=-11，所以m的取值范围是（-11，+∞）。

（3）依题意，易证F₁（x）= -x在R上单调递减，

所以M₁=|F₁（b₁）-F₁（b₀）|+| F₁（b₂）- F₁（b₁）|+…+| F₁（b₁₀₀）-F₁（b₉₉）|

= F₁（b₀）- F₁（b₁）+ F₁（b₁）- F₁（b₂）+…+ F₁（b₉₉）- F₁（b₁₀₀）

= F₁（b₀）- F₁（b₁₀₀）= F₁（0）-F_l（1）=。

因为=2=-2在[0，]单调递增，在[，1]单调递减，

所以M₂=|F₂（b₁）- F₂（b₀）|+| F₂（b₂）- F₂（b₁）|+…+| F₂（b₁₀₀）- F₂（b₉₉）|

= F₂（b₁）- F₂（b₀）+ F₂（b₂）- F₂（b₁）+…+ F₂（b₅₀）- F₂（b₄₉）

+F₂（b₅₀）- F₂（b₅₁）+ F₂（b₅₁）- F₂（b₅₂）+…+ F₂（b₉₉）- F₂（b₁₀₀）

=-F₂（b₀）+F₂（b₅₀）+ F₂（b₅₀）- F₂（b₁₀₀）=- F₂（0）+ F₂（）+F₂（）-F₂（1）=-0++-0=1。

由在R上单调递增，易证F₃（x）=h（x）-h（2-x）在R上单调递增，

所以M₃=|F₃（b₁）- F₃（b₀）|+| F₃（b₂）- F₃（b₁）|+…+| F₃（b₁₀₀）- F₃（b₉₉）|

= F₃（b₁）- F₃（b₀）+ F₃（b₂）- F₃（b₁）+…+ F₃（b₁₀₀）- F₃（b₉₉）

= F₃（b₁₀₀）- F₃（b₀）=F₃（1）-F₃（0）=（h（1）-h（2-1））-（h（0）-h（2））=0-（0-2）=2，

所以M₁=M₃>M₂。