北京101中学2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 直线的倾斜角的度数是（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

3. 点（0，1）到直线距离的最大值为（ ）

A. 1 B. C. D. 2

4. 直线与互相垂直，则实数a的值为（ ）

A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 以上都不对

5. 已知向量a=（1，x，-2），b=（0，l，2），c=（1，0，0），若a，b，c共面，则x等于（ ）

A. -1 B. l C. 1或-1 D. 1或0

6. 如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，B₁E₁=D₁F₁=A₁B₁，则BE₁与DF₁所成角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.

7. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为对角线BD₁的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个

8. 设复数z满足|z-1-i|=，则|z|的最大值为（ ）

A. B. 2 C. 2 D. 4

9. 通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角。已知，，则l₁，l₂夹角的余弦值是（ ）

A. B. C. D.

10. 已知，是不同的两点，点C（cos，sin），且·=，·=，则直线AB与圆的位置关系是（ ）

A. 相离 B. 相切

C. 相交 D. 以上三种情况都有可能

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 复数z=，则|z|=_________。

12. 已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），则顶点D的坐标为__________。

13. 已知圆C：与直线，则圆心C的坐标为_________，若圆C关于直线l对称，则k=___________。

14. 直线与圆相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时，k=__________。

15. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是侧面B₁C₁CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D₁B，点H在棱D₁D上运动，则二面角H-AC-P的余弦值的取值范围是________。

三、解答题共5小题，共45分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16. （本小题8分）

已知复数（i是虚数单位）。

（1）求；

（2）如图，复数z₁，z₂在复平面上的对应点分别是A，B，求。

17. （本小题8分）

已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点。

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与圆有公共点，求r的取值范围。

18. （本小题10分）

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形。BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=AD=1，E为线段AD的中点。PE⊥底面ABCD，且PE=，点F是棱PC的中点，平面BEF与校PD相交于点G。

（1）求证：BE∥FG；

（2）求直线PB与平面BEF所成角的正弦值；

（3）设H为PB中点，DH平面BEF=M，求BM的长。

19. （本小题10分）

已知圆M：，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。

（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；

（2）求四边形QAMB面积的最小值；

（3）若|AB|=，求直线MQ的方程。

20. （本小题9分）

已知集合Rⁿ={（x₁，x₂，…，x_n）|x_i∈R，i=1，2. …，n}（n≥1），定义Rⁿ上两点A（a₁，a₂，…，a_n），B（b₁，b₂，…，b_n）的距离d（A，B）=。

（1）当时，以下命题正确的有_________（不需证明）；

①若A（1，2），B（4，6），则d（A，B）=7；

②在△ABC中，若∠C=90°，则[d（A，C）]²+[d（C，B）]²=[d（A，B）]²；

③在△ABC中，若d（A，B）=d（A，C），则∠B=∠C；

（2）当n=2时，证明R²中任意三点A，B，C之间的距离满足d（A，B）≤d（A，C）+d（C，B）；

（3）当n=3时，设A（0，0，0），B（4，4，4），P（x，y，z），其中x，y，z∈Z，d（A，P）+d（P，B）=d（A，B）。

求满足条件的P点的个数n，并证明从这n个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或以它们为顶点的三棱锥体积不大于。

参考答案

1. D

2. A

3. D

4. C

5. A

6. A

7. B

设长方体的棱长为a，建立空间直角坐标系，如图所示。

则D（0，0，0），D₁（0，0，a），C₁（0，a，a），C（0，a，0），B（a，a，0），B₁（a，a，a），A（a，0，0），A₁（a，0，a），

P（a，a，a），

则，

，

，，

，

故有4个不同的取值，答案为B。

8. C

9. A

10. C

11. 1。

12. （5，13，-3）。

提示：AC的中点坐标为（，，）。因为AC的中点同时为BD的中点，

所以D的坐标为（，，，即（5，13，-3）。

13. （1，2）；1。

14. ±。

15. [，]。

16.

（1）因为z=1-i，

所以。

（2）因为，，

所以。

17.

（1）因为圆C的圆心在y轴上，所以设圆C的方程为。

因为圆C过（0，0），（0，2）两点，所以解得

所以圆C的方程是。

（2）r的取值范围为[-1，+1]

18.

（1）因为E为AD中点，所以DE=AD=1。

又因为BC=1，所以DE=BC。

在梯形ABCD中，DE∥BC，所以四边形BCDE为平行四边形。所以BE∥CD。

又因为BE平面PCD，且CD平面PCD，所以BE∥平面PCD。

因为BE平面BEF，平面BEF平面PCD=FG，

所以BE∥FG。

（2）因为PE⊥平面ABCD，

且AE，BE平面ABCD，

所以PE⊥AE，且PE⊥BE。

因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC=90°，

所以AE⊥BE。

以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E-xyz。

则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），D（-1，0，0）。

设P（0，0，），

。

所以=（0，1，0），=（），=（0，1，）。

设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），

则即

令x=，则z=1，所以n=（，0，1）。

所以。

所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为。

（3），所以，因为M线段DH，所以存在∈[0，1]，=，所以=（，，），所以

=+=（-1，-1，）

因为M平面BEF

所以·n=0，所以=，|BM|=

19. （1）设过点Q的圆M的切线方程为，

则圆心M到切线的距离为1，

所以，所以或0，

所以QA，QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。

（2）因为MA⊥AQ，所以S_MAQB=|MA|·|QA|=|QA|=。

所以四边形QAMB面积的最小值为。

（3）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，

所以|MP|=。

在Rt△MBQ中，|MB|²=|MP||MQ|，

即1=|MQ|，所以|MQ|=，所以。

设Q（x，0），则，所以，所以，

所以MQ的方程为或。

20. （1）①。

d（A，B）=|a₁–b₁|+|a₂–b₂|=|a₁–c₁+c₁–b₁|+|a₂–c₂+c₂–b₂|

（2）≤|a₁–c₁|+|c₁–b₁|+|a₂–c₂|+|c₂–b₂|

=|a₁–c₁|+|a₂–c₂|+|c₁–b₁|+|c₂–b₂|=d（A，C）+d（C，B）

（3）首先确定满足条件的点P有125个，即n=125，它们分布在4×4×4的正方体格点上。

下证从这125个点中任取11个点，必有4个点共面或构成的三棱锥体积不大于。

记选出的11个点为P₁，P₂，…，P₁₁。若其中有4个点共面则得证；否则，记S_i={（x，y，i-1）|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈Z}，i=1，2，3，4，5，则k∈{l，2，3，4，5}使得这11个点中的3个点（不妨记作P₁，P₂，P₃）属于S_k（抽屉原理），此时≤8。

当k=1时，若P₄∈S₂，则≤，得证；否则，P₄，…，P₁₁这8个点分布在S₃，S₄，S₅中，可以证明S₃或S₅中含有这8个点中的3个点（不妨记作P₄，P₅，P₆）且P₇∈S₄，则≤。k=5时同理可证。

当k=2，3，4时，仿照上面的证明过程易证。