北京市西城区2020-2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷

本试卷共150分。考试时长120分钟。

第一部分
（选择题
共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则复数=

A. 2-i B. 1-2i C. 2+i D. 1+2i

2. 在（a+b）ⁿ的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n=

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

3. 椭圆=1的焦点坐标为

A. （5，0），（-5，0） B. （3，0），（-3，0）

C. （0，5），（0，-5） D. （0，3），（0，-3）

4. 已知直线l₁：ax-y-1=0，l₂：ax+（a+2）y+1=0。若l₁⊥l₂，则实数a=

A. -1或1 B. 0或1

C. -1或2 D. -3或2

5）已知平面⊥平面，=l。下列结论中正确的是

A. 若直线m⊥平面，则m∥

B. 若平面⊥平面，则∥

C. 若直线m⊥直线l，则m⊥

D. 若平面⊥直线l，则⊥

6. 将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给3人，每人至少1张。如果分给同一人的2张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是

A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

7. 已知双曲线C：=1的两个焦点是F₁，F₂，点P在双曲线C上。若C的离心率为，且|PF₁|=10，则|PF₂|=

A. 4或16 B. 7或13

C. 7或16 D. 4或13

8. 在正三棱锥P-ABC中，AB=3，PA=2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

9. 已知圆O₁的方程为（x-a）²+（y-b）²=4，圆O₂的方程为x²+（y-b+1）²=1，其中a，b∈R。那么这两个圆的位置关系不可能为

A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切

10. 点M在直线l：x=2上，若椭圆C：x²+=1上存在两点A，B，使得△MAB是等腰三角形，则称椭圆C具有性质P。下列结论中正确的是

A. 对于直线l上的所有点，椭圆C都不具有性质P

B. 直线l上仅有有限个点，使椭圆C具有性质P

C. 直线l上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆C具有性质P

D. 对于直线l上的所有点，椭圆C都具有性质P

第二部分
（非选择题
共100分）

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 已知复数z=i·（1+i），则|z|=_______。

12. 若双曲线C：x²–=l（b>0）的焦距为2，则b=_______；C的渐近线方程为_______。

13. 设（x-2）⁴=a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，则a₁+a₂+a₃+a₄=_______。

14. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），D（0，0，1），则直线AD与BC所成角的大小是_______。

15. 已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q。若△PQF是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是_______。

16. 如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为B₁C₁，C₁D₁的中点，P是底面A₁B₁C₁D₁上一点。若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是_______；最大值是_______。

三、解答题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17. （本小题10分）

生物兴趣小组有12名学生，其中正、副组长各1名，组员10名。现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛。

（I）如果正、副组长2人中有且只有1人入选，共有多少种不同的选派方法?

（II）如果正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选派方法?

18. （本小题12分）

已知圆C过原点O和点A（1，3），圆心在直线y=1上。

（I）求圆C的方程；

（II）直线l经过点O，且l被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程。

19. （本小题13分）

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，D，E，F分别是BC，BB₁，AA₁的中点。

（I）求证：CF∥平面ADE：

（II）求证：BC₁⊥平面ADE。

20. （本小题13分）

如图，设点A，B在x轴上，且关于原点O对称。点P满足tan∠PAB=2，tan∠PBA=，且△PAB的面积为20。

（I）求点P的坐标；

（II）以A，B为焦点，且过点P的椭圆记为C。设M（x₀，y₀）是C上一点，且-1<x₀<3，求y₀的取值范围。

21. （本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角P-BE-C的余弦值为。

（I）求PD的长；

（II）求点C到平面PEB的距离。

22. （本小题14分）

已知椭圆C：=1（a>b>0）的一个焦点为F（-l，0），A₁（-a，0），A₂（a，0），且|A₂F|=3。

（I）求椭圆C的方程；

（II）过点F的直线交椭圆C于点M，N。记△A₁MN和△A₂MN的面积分别为S₁和S₂。

当S₂-S₁=时，求直线MN的方程。

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1. A 2. C 3. B 4. C 5. D

6. B 7. A 8. A 9. C 10. D

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11. 12. 2 y=±2x

13. -15 14. 60°

15. （1，+∞） 16.

注：12、16题每空2分。

三、解答题（共6小题，共76分）

17. （共10分）

解：（I）正、副组长2人中有且只有1人入选，

选派方法数为C·C=90。 ……3分

（II）正、副组长2人都入选，且组员甲没有入选，

选派方法数为CC=9。 ……6分

正、副组长2人中有且只有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为

CC=72。 …9分

所以正、副组长2人中至少有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为

9+72=81。 ……10分

18. （共12分）

解：（I）设圆C的圆心坐标为（a，1）。 ……1分

依题意，有， ……3分

解得a=2。 ……4分

从而圆C的半径为r=， ……5分

所以圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5。 ……6分

（II）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为2。 ……7分

显然直线x=0符合题意。 ……8分

当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx，即kx-y=0。 ……9分

所以=2， …10分

解得k=-。 ……11分

所以直线l的方程为y=-x。 ……12分

综上，直线l的方程为x=0或3x+4y=0。

19. （共13分）

解：（I）设AEBF=O，连接OD。

因为ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，且AB=AA₁，

所以侧面A₁ABB₁为正方形。 ……1分

因为E，F分别是BB₁，AA₁的中点，

所以O是BF的中点。 ……2分

又因为D是BC的中点，

所以OD∥CF。 ……4分

因为OD平面ADE，CF平面ADE， ……5分

所以CF∥平面ADE。 ……6分

（II）因为△ABC为正三角形，

所以AD⊥BC。 ……7分

又CC₁⊥平面ABC，

所以AD⊥CC₁。 ……8分

所以AD⊥平面B₁BCC₁。 ……9分

所以BC₁⊥AD。 ……10分

连接B₁C。

因为侧面B₁BCC₁为正方形，

所以BC₁⊥B₁C。 ……11分

所以BC₁⊥DE。 ……12分

所以BC₁⊥平面ADE。 ……1 3分

20. （共13分）

解：（I）设A（-c，0），B（c，0）。

则直线PA的方程为y=2（x+c），直线PB的方程为y=-（x-c）。 ……2分

由解得

所以P（–）. …3分

故△PAB的面积S=|AB|·|y_P|=c²。 ……4分

所以c²=20，

解得c=5。 ……5分

所以点P的坐标为（-3，4）。 ……6分

（II）由（I）得A（-5，0），B（5，0），

所以|PA|==2，|PB|=。……8分

设以A，B为焦点且过点P的椭圆方程为C：。

则a=（|PA|+|PB|）=3，又b²=a²-c²=20， ……10分

所以椭圆C的方程为. ……11分

所以，即。

因为-1<x₀<3，所以0≤<9。

所以16<≤20。 ……12分

所以y₀的取值范围是[-2，-4）（4，2]。 ……13分

21. （共14分）

解：（I）依题意，DA，DC，DP两两互相垂直，如图

建立空间直角坐标系D-xyz。 ……1分

设PD=h（h>0）。

由题意得E（1，0，0），B（2，2，0），P（0，0，h）。

所以=（1，0，-h），=（1，2，0）。

设平面PEB的法向量为n=（x₀，y₀，z₀），

则即…4分

令x₀=2，则y₀=-1，z₀=。

于是n=（2，-l，）。 ……6分

又因为PD⊥平面ABCD，

所以平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1）。 ……7分

依题意，有cos<m，n>==, …。9分

解得h=2，

所以PD=2。 ……10分

（II）由（I）得，平面PEB的法向量为n=（2，-1，1）。 ……11分

又C（0，2，0），

所以=（-2，0，0）。 ……12分

所以点C到平面PEB的距离为。 …。14分

22. （共14分）

解：（I）依题意，椭圆C的半焦距c=1， ……1分

所以|A₂F|=a+c=3。

解得a=2。 ……2分

所以b²=a²-c²=3。 ……3分

所以椭圆C的方程为。 ……4分

（II）当直线MN的斜率不存在时，其方程为x=-1。

此时M（-l，），N（-1，–），或M（-l，–），N（-l，）。

所以S₁=，S₂=，即S₂-S₁=3，不合题意。 ……5分

当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1）（k≠0）。

由得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0。 …6分

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂= ……8分

因为S₁=|A₁F|（|y₁|+|y₂|），：S₂=|A₂F|（|y₁|+|y₂|），

所以S₂-S₁=×2×（|y₁|+|y₂|）=|y₁-y₂|=|k（x₁-x₂）| …10分

=|k|

=. …。12分

令=，解得k=±1。 ……13分

所以直线MN的方程为x-y+1=0，或x+y+1=0。 ……14分