北京市石景山区2021届上学期初中九年级期末考试数学试卷

本试卷共三道大题，25道小题，满分100分，考试时间120分钟。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. 已知，则下列各式正确的是

A. B. C. D.

2. 在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值是

A. B. C. D.

3. 如图所示，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是

A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系

C. 二次函数关系 D. 反比例函数关系

4. 如图，PA，PB为⊙O的两条切线，点A，B是切点，OP交⊙O于点C，交弦AB于点D，下列结论中错误的是

A. PA＝PB B. AD＝BD C. OP⊥AB D. ∠PAB＝∠APB

5. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是

A. B. C. D.

6. 不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字”1“，”2“，”3“，除数字外三个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是

A. B. C. D.

7. 大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：”景到，在午有端，与景长，说在端”，如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是

A. 3cm B. 4cm C. 6cm D.9cm

8. 已知某函数的图象过A（2,1），B（－1，－2）两点，下面有四个推断：

①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线y＝4x平行

②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限

③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y轴的负半轴相交

④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线左侧

所有合理推断的序号是

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 若抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是____________。

10. 如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，BD＝4，sin∠DAC＝，则菱形的边长是___________。

11. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC＝___________°。

12. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的面积是___________。若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是___________。

13. 如图，A，B两点在函数（）图象上，AC垂直y轴于点C，BD垂直x轴于点D，△AOC，△BOD面积分别记为，则______。（填”＜”，”＝”，或”＞”）。

14. 如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1，∠AOB＝100°，则阴影部分的面积是______________。

15. 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象G与直线交于点A（__________），B（___________）（其中点A横坐标小于点B横坐标），记图象G在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W，若横、纵坐标都是整数的点叫做整点，则区域W内的整点有__________个。

16. 某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了统计表。

根据统计表提供的信息解决下列问题：

（1）请估计树苗成活的概率是__________（精确到小数点后第3位）；

（2）该地区已经移植这种树苗5万棵，估计这种树苗能成活_________万棵。

三、解答题（本题共52分，第17－21题，每小题5分，第22题6分，第23－25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. 计算：sin60°·tan30°＋。

18. 已知关于x的二次函数。

（1）该函数图象经过点（2，－3）。

①求这个二次函数的表达式及顶点坐标；

②分别求出这个二次函数图象与x轴，y轴的交点坐标；

（2）将这个二次函数的图象沿x轴平移，使其顶点恰好落在y轴上，请直接写出平移后的函数表达式。

19. 下面是小石设计的”过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程。

已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P。

求作：直线PN，使得PN与⊙O相切。

作法：如图2。

①作射线OP；

②在⊙O外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，⊙Q与射线OP交于另一点M；

③连接MQ并延长交⊙Q于点N；

④作直线PN。

所以直线PN即为所求作直线。

根据小石设计的尺规作图的过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明。

证明：∵MN是⊙Q的直径，

∴∠MPN＝__________°（_______________）（填推理的依据）。

∴OP⊥PN。

又∵OP是⊙O的半径，

∴PN是⊙O的切线（______________）（填推理的依据）。

20. 如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD。

（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；

（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，，求AD的长。

21. 在平面直角坐标系xOy中，直线与函数的图象交于点。

（1）求的值；

（2）点B是函数的图象上任意一点（不与点A重合），点P，Q在直线上，点P横坐标为2，若，求点Q横坐标的取值范围。

22. 如图，DO是⊙O的半径，点F是直径AC上一点，点B在AD的延长线上，连接BC，使得∠ABC＝∠AOD。

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接BF，若，tan∠ABC＝，求CF的长。

23. 已知关于x的二次函数。

（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；

（2）若点在抛物线上，则m__________n；（用”＜”，”＝”，或”＞”填空）

（3）是抛物线上的任意两个点，若对于，都有，求t的取值范围。

24. 已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB＝BC，矩形MBCD的对角线交于点O，连接MO，BO，点P为射线OB上一动点（与点B不重合），连接PM，作PN⊥PM交射线CB于点N。

（1）如图1，当点M与点A重合时，且点P在线段OB上。

①依题意补全图1；

②写出线段PM与PN的数量关系并证明。

（2）如图2，若∠OMB＝，当点P在OB的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN的数量关系。

25. 对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：

过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点。例：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个覆盖的特征点。

（1）已知点C（2，3），

①在中，是△ABC的覆盖特征点的为___________；

②若在一次函数的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围。

（2）以点D（2，4）为圆心，半径为1作圆，在抛物线上存在⊙D的覆盖的特征点，直接写出a的取值范围________________。

【试题答案】

阅卷须知：

1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。

2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。

3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9. 10. 5 11. 45° 12. 13. ＝

14. 15. ；2 16. （1）0.911；（2）4.555

三、解答题（本题共52分，第17—21题，每小题5分，第22题6分，第23—25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17. 解：原式＝ 4分

＝1 5分

18. 解：（1）①∵该二次函数图象经过点（2，－3），

，解得， 1分

∴二次函数的表达式为，

∴二次函数顶点坐标为（1，－4）。 2分

②令，则，

∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为（0,-3）， 3分

令，则。

∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为。 4分

（2）。 5分

19. 解：（1）补全图形如下图； 2分

（2）90，直径所对的圆周角是直角；

经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 5分

20.（1）证明：∵AB∥CE，

∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED。

∵F是AC中点，

，

∴△AFD≌△CFE，

∴AD＝CE，

∴四边形ADCE是平行四边形。 2分

（2）解：过点C作CG⊥AB于点G，

，∠B＝30°，

∴∠DCB＝∠B＝30°。

∴∠CDA＝60°，

在△ACG中，∠AGC＝90°，AC＝，∠CAG＝45°，

。

在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，

，

。 5分

21. 解：（1）∵点在直线上，

。 1分

∵函数的图象经过点

。 2分

（2）设点B到直线AP的距离为h。

，

。

，点P横坐标为2，

如图1，当点Q在射线AP上时，；

如图2，当点Q在线段PA延长线上时，。

综上所述：点Q横坐标的取值范围或。 5分

22. 解：（1）连接CD。

，

∴∠ACD＝∠AOD，

∵∠ABC＝∠AOD，

∴∠ACD＝∠ABC，

∵AC是⊙O直径，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ABC＋∠BCD＝90°，

∴∠BCA＝∠BCD＋∠ACD＝90°，

∴BC⊥AC

∴BC是⊙O的切线。 2分

（2）在△ACD中，∠ADC＝90°，，tan∠ACD＝tan∠ABC＝，

。

在△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝，AC＝4，

。

在△BCF中，∠BCF＝90°，，

。 6分

23. 解：（1），

∴抛物线的对称轴为。 2分

（2）＜。 4分

（3）当时，此时都有，符合题意；

当时，令时，，不符合题意。

综上所述：。 7分

24. 解：（1）①补全图形如图1。 1分

②线段PM与PN的数量关系为：。 2分

证明：过点P分别作PG⊥MB于G，PH⊥BC于H，

线段PN交MB于点F，如图2。

∵四边形MBCD是矩形，AB＝BC，

∴四边形MBCD是正方形，

∴BO平分∠MBC，∠MBC＝90°，

∵PG⊥MB，PH⊥BC，

∴PG＝PH，∠PHB＝∠PGM＝90°，

∵PM⊥PN，∠MBC＝90°，

∴∠MPN＝∠GBN＝90°，

∵∠MFP＝∠BFN，

∴∠PMG＝∠PNH，

∴△PMG≌△PNH，

。 5分

（2）补全图形如图3。

线段PM与PN的数量关系为：。 7分

25. 解：（1）①P₂，P₃。 2分

②当m>0时，结合函数图象可知符合题意，

当m<0时，由题意得：

当时，

点为△ABC的覆盖的特征点。

又∵点P在一次函数的图象上，

∴当直线过点时，解得：

。

∴结合函数图象可知。

综上所述：。 5分

（2）。 7分