北京市丰台区2020届下学期高三年级综合练习（一）（一模）数学试卷

本试卷满分共150分 考试时间120分钟

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共 10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.若集合，，则A∪B=

（A） {0} （B）{0，1} （C）{0，1，2} （D）{－1，0，1，2}

2.已知向量a=（x，2），b=（－2，1），满足a //b ，则x=

（A） 1 （B）－1 （C）4 （D）－4

3.若复数z满足，则z对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

4.圆（x－1）² +y² =2的圆心到直线x +y+ 1 =0的距离为

（A） 2 （B）
（C）1 （D）

5.已知，，，则

（A）a> b>c （B）a>c> b

（C）b> a>c （D）b> c> a

6.”a>1″是”“成立的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于的有

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

8.过抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点F作倾斜角为60°的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B（点A在x轴上方），则的值为

（A） （B） （C） （D） 3

9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，且g（0）= 1，下列说法错误的是

（A）g（x）为偶函数

（B）

（C）当时，g（x）在上有3个零点

（D）若g（x）在上单调递减，则的最大值为9

10.已知函数若存在非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是

（A）（－∞，－1） （B）（－∞，－1]

（C）（－1，0） （D）[-1，0）

第二部分（非选择题 共 110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.设数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=2n－1，则S₅=________________.

12.若x>1，则函数的最小值为________________，此时x=________________.

13.已知平面α和三条不同的直线m，n，l.给出下列六个论断：①m⊥α；②m//α；

③m//l；④n⊥α；⑤n//α；⑥n //l.以其中两个论断作为条件，使得m//n成立.这两个论断可以是____________.（填上你认为正确的一组序号）

14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为”回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换”取实数的相反数”是一种”回归”变换.有下列3种变换：

①对，变换：求集合A的补集；

②对任意z∈C，变换：求z的共轭复数；

③对任意x∈R ，变换：（k，b均为非零实数）.

其中是”回归”变换的是___________.

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.

15.已知双曲线M：的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA，OC所在直线.若椭圆N：（a>b>0）经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则a=_________.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. （本小题共14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c=4，

(I)当b=2时，求a ；

（II）求的取值范围.

17.（本小题共14分）

如图，在四棱锥M－ABCD中，AB//CD，∠ADC=∠BMC=90°，MB=MC，AD=DC=AB=，平面BCM⊥平面ABCD.

（I）求证：CD//平面ABM；

（II）求证：AC⊥平面BCM；

（III）在棱AM上是否存在一点E，使得二面角E－BC－M的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

18.（本小题共14分）

在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A，B，C三个社区的志愿者服务情况如下表：

（I）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率；

（II）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以x表示负责现场值班值守的人数，求X的分布列；

（III）已知A社区心理咨询满意率为0.85，B社区心理咨询满意率为0.95，C社区心理咨询满意率为0.9，”ξ_A=1，ξ_B=1，ξ_C=1″分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询满意，”ξ_A=0，ξ_B=0，ξ_C=0″分别表示A，B，C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差D（ξ_A），D（ξ_B），D（ξ_C）的大小关系. （只需写出结论）

19.（本小题共15分）

已知函数f（x）=（x+a）lnx－x+1.

（I）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为1，求实数a的值；

（II）当a=0时，求证：f（x）≥0；

（IIIA）若函数f（x）在区间（1，+∞）上存在极值点，求实数a的取值范围.

20.（本小题共14分）

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，点P（1，0） 在椭圆C上，直线与椭圆C交于不同的两点A，B.

（I）求椭圆C的方程；

（II）直线PA，PB分别交y轴于M，N两点，问：x轴上是否存在点Q，使得∠OQN+∠OQM=？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题共14分）

已知有穷数列A：a₁，a₂，…，a_k，…a_n（n∈N^*且n≥3）.定义数列A的”伴生数列”B：b₁，b₂，…，b_k，…b_n，其中，规定.

（I）写出下列数列的”伴生数列”：

①1，2，3，4，5；

②1，－1，1，－1，1.

（II）已知数列B的”伴生数列”C：c₁，c₂，…，c_k，…c_n，且满足.

（i）若数列B中存在相邻两项为1，求证：数列B中的每一项均为1.

（ii）求数列C所有项的和.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分

11.25 12.3；2 13.①④（或③⑥）

14.①② 15.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.（本小题共14分）

解：（I）由余弦定理a²=b²+c²－2bccosA，

得a²=2² +4²－2×2×4·cos
=12.

所以.…………………………6分

（II）由可知，，即.

.

因为，所以C∈（）故.

因此

于是……………………4.分

17.（本小题共14分）

证明：（I）因为AB//CD，

AB平面ABM，

CD平面ABM ，

所以CD //平面ABM.…………………………3分

（II）取AB的中点N，连接CN.

在直角梯形ABCD中，

易知AN= BN=CD=，且CN⊥AB.

在Rt△CNB中，由勾股定理得BC=2.

在△ACB中，由勾股定理逆定理可知AC⊥BC.

又因为平面BCM⊥平面ABCD，

且平面BCM∩平面ABCD = BC，

所以AC⊥平面BCM. …………………………7分

（III）取BC的中点O，连接OM，ON.

所以ON// AC，

因为AC⊥平面BCM，

所以ON⊥平面BCM.

因为BM=MC，

所以OM⊥BC.

如图建立空间直角坐标系O-xyz ，

则M（0，0，1），B（0，1，0），C（0，-1，0），A（2，-1，0），

.

易知平面BCM的一个法向量为m=（1，0，0）.

假设在棱AM上存在一点E，使得二面角E-BC-M的大小为

不妨设，

所以，

设n=（x，y，z）为平面BCE的一个法向量，

则即

令x=λ，z=2λ-2，所以n=（λ，0，2λ-2）

从而.

解得或λ=2.

因为0≤λ≤1，所以

由题知二面角E-BC-M为锐二面角.

所以在棱AM上存在一点E，使得二面角E-BC-M的大小为，

此时 .……………………………………14分

18.（本小题共14分）

解：（I）记”从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作”为事件D

.

所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率为 …………………………4分

（II）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知： A，B，C三个社区负责现场值班值守的概率分别为.

X的所有可能取值为0，1，2，3.

X的分布列为：

……………………11分

（III） ……………………14分

19.（本小题共15分）

解：（I）因为f（x）=（x+a）lnx-x+1，

所以.

由题知，

解得a=0. …………………………4分

（II）当a=0时，f（x）=xlnx-x+1，

所以f’（x）=lnx.

当x∈（0，1）时，f’（x）<0，f（x）在区间（0，1）上单调递减；

当x∈（1，+∞）时，f’（x）>0，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增；

所以f（1）=0是f（x）在区间（0，+∞）上的最小值.

所以f（x）≥0. …………………………8分

（II） 由（I）知，

若a≥0，则当x∈（1，+∞）时， f’（x）>0，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，此时无极值.

若a<0，令g（x）= f’（x），

则.

因为当x∈（1，+∞）时，g’（x）>0， 所以g（x）在（1，+∞）上单调递增.

因为g（1）=a<0，

而g（e^-a）=-a+ae^a=a（e^a-1）>0，

所以存在x₀∈（1，e^-a），使得g（x₀）=0.

f’（x）和f（x）的情况如下：

因此，当x=x₀时，f（x）有极小值f（x₀）.

综上，a的取值范围是（-∞，0）. ……………………15分

20.（本小题共14分）

解：（I）由题意

解得a²=2，b²=1.

所以椭圆C的方程为. …………………………5分

（II）假设存在点Q使得∠OQN +∠OQM =
.设Q（m，0），

因为∠OQN+∠OQM =，

所以∠OQN=∠OMQ.则tan∠OQN=tan∠OMQ.

即，所以|OQ| ²=|ON|OM|.

因为直线y=y₀交椭圆C于A，B两点，则A，B两点关于y轴对称.

设A（x₀，y₀），B（-x₀，y₀） （x₀≠±1），

因为P（1，0），

则直线PA的方程为：.

令x=0，得.

直线PB的方程为：.

令x=0，得.

因为|OQ| ²=|ON|OM|，

所以

又因为点A（x₀，y₀）在椭圆C上，

所以y ₀²=2（1-x₀²）.

所以.即.

所以存在点Q
使得∠OQN +∠OQM =成立. ……………………14.分

21. （本小题共14分）

解：（I）①1，1，1，1，1；

②1，0，0，0，1. ……………………4分

（II）（i）由题意，存在k∈{1，2，…，n-1}， 使得b_k=b_k+1=1.

若k=1，即b₁=b₂=1时，c₁=c₂=0.

于是b_n=b₂=1，b₁=b₃=1.

所以c_n=c₃=0，所以b₄=b₂=1.即b₂=b₃=b₄=1.

依次类推可得b_k=b_k+1=1（k=2，3，…，n-1）.

所以b_k=1（k= 1，2，…，n）.

若2≤k≤n-1，由b_k=b_k+1=1得c_k=c_k+1=0.

于是b_k-1=b_k+1=b_k=1.所以c_k-1=c_k=0.

依次类推可得b₁=b₂=1.

所以b_k=1（k =1，2，…，n）.

综上可知，数列B中的每一项均为1. …………………………8分

（ii）首先证明不可能存在k∈{2，…，n-1}使得b_k-1=b_k=b_k+1=0

若存在k∈{2,…，n-1}使得b_k-1=b_k=b_k+1=0，

则c_k-1=c_k=c_k+1=1.

又b_k-1=b_k+1得c_k=0与已知矛盾.

所以不可能存在b_k-1=b_k=b_k+1=0，k∈{2，…，n-1}.

由此及（i）得数列{b_n}的前三项b₁，b₂，b₃的可能情况如下：

（1）b₁=b₂=b₃=1时，由（i）可得b_k=1（k=1，2,…，n）.

于是c_k =0（k=1，2，…，n）.

所以所有项的和S=0.

（2）b₁=1，b₂ =0，b₃=1时，c₂ =0，

此时b₂ +c₂=0与已知矛盾.

（3）b₁=1，b₂=0，b₃=0时，c₁=0，c₂=1，c₃=1.

于是b_n=b₂=0，b₂≠b₄=1.

故c_n=1，c₄=0，b₅=b₃=0

于是b₁≠b_n-1=0，c₅=1，b₆=0，

于是b₁=b₄，b₂=b₅，b₃=b₆，且b_n-2=1，b_n-1=0，b_n=0.

依次类推b_k=b_k+3且n恰是3的倍数满足题意.

所以所有项的和.

同理可得b₁=0，b₂=1，b₃=0及b₁=0，b₂=0，b₃=1时，

当且仅当n恰是3的倍数时，满足题意.

此时所有项的和S=
.

综上，所有项的和S=0或S=
（n是3的倍数）…………………………14分

（若用其他方法解题，请酌情给分）