北京市朝阳区2020－2021学年下学期初中八年级期末学业水平调研数学试卷

北京市朝阳区2020－2021学年下学期初中八年级期末学业水平调研数学试卷

本试卷共25道小题，满分100分，闭卷考试，时间90分钟。

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．下列二次根式中，最简二次根式是

A．                B．                C．                D．

2．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是

A．5，12，13            B．1，2，3            C．3，3，3            D．4，5，6

3．一个菱形的两条对角线的长度分别是6 cm和8 cm，这个菱形的面积是

A．12 cm²                B．14 cm²            C．24 cm²            D．48 cm²

4．下列计算正确的是

A．                    B．        

C．                        D．

5．对八年级500名学生某次数学检测的成绩（百分制）进行了两次统计，第一次统计时，系统把一位缺考同学的成绩自动填充为该次检测唯一的零分，第二次统计时，老师删去了这个零分，则以下统计量在这两次统计中一定保持不变的是

A．平均数                B．众数                C．中位数            D．方差

6．若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填

A．平行四边形，矩形                    B．矩形，菱形        

C．菱形，正方形                        D．正方形，平行四边形

7．如图，A，B为的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出

A．1个                B．2个                C．3个                D．4个

8．如图，中国国家博物馆收藏了元代制作的计时工具”铜壶滴漏”，这是目前发现形制最大、最完备的一个多级滴漏，从1316年使用到1919年，一直为人民报时、计时．从上至下的四个铜壶依次名为”日壶”、”月壶”、”星壶”、”受水壶”，通过多级滴漏，使得”星壶”中的水可以匀速滴入圆柱形的”受水壶”中，”受水壶”中带有刻度的木箭随着水位匀速上移，对准标尺就能读出相应的时间．在一天中，”受水壶”中的水面高度h与时间t的函数图象可能是

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
．

10．请写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式：
．

11．为了庆祝中国共产党成立100周年，加深同学们对中国共产党历史的认识，激发爱党、爱国热情，某班举行了党史知识竞赛，成绩统计如下表，这组数据的中位数是
．

12．一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中
（填”面试”或”笔试”）的权重较大．

13．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，若DE＝3，则BC的长为
．

14．如图，一次函数的图象经过点A（1，2），关于x的不等式的解集为
．

15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝4，∠BAD＝60°，则EF的最小值为
．

16．若直线与两条坐标轴围成的三角形的面积是2，则k的值为
．

三、解答题（本题共52分，17－22题，每小题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

17．计算：．

18．已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；

②分别以点C，D为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；

③画射线OP．

射线OP即为所求．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接PC，PD．

由作法可知OC＝OD＝PC＝PD．

∴四边形OCPD是
．

∴OP平分∠AOB（
）（填推理的依据）．

19．如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且DE＝BF．

求证：四边形AECF是平行四边形．

20．一次函数的图象经过点（－1，0）和（0，2）．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）若直线与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．

21．如图，A，B，H是直线l上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，且HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．

22．在2020年开展的第七次全国人口普查，是在中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查，全面查清中国人口数量、结构、分布、城乡住房等方面的情况，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程，向第二个百年奋斗目标进军，提供科学准确的统计信息支持．

下面给出了本次调查公布的部分数据：

a．图1为2010年（第六次）、2020年（第七次）统计的各省、自治区、直辖市的常住人口占全国人口比重的统计图．（注：图1中射线为两轴夹角的角平分线）

b．图2为七次人口普查中全国人口和年平均增长率的统计图，其中后两次统计中全国人口分为65岁以下人口和65岁及以上人口．

（说明：数据来自国家统计局官方网站，所有数据为大陆所有省、自治区、直辖市和现役军人的人口．）

根据以上信息，回答下列问题：

（1）从2010年到2020年，常住人口占全国人口的比重增长最多的是广东省，请在图1中用”○”圈出表示广东省的点；

（2）2010年各地区人口比重的方差为，2020年各地区人口比重的方差为，由图1可知
（填”>”，”<“，”＝”）．

（3）由图2可知，下列推断合理的是
（填写序号）．

①在这七次调查中，全国人口数量每次都在增加；

②在这七次调查中，从1982年往后，全国人口的年均增长率逐渐下降，说明全国人口每年增加的数量都在减小；

③当一个国家或地区65岁及以上老年人口数量占总人口比例超过7%时，意味着这个国家或地区进入老龄化，从最近两次人口普查数据可以看出，中国老龄化问题日趋严重．

23．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A，B重合），CF⊥DE于点G，交AD于点F，连接BG．

（1）求证：AE＝DF；

（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．

24．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：

对于两个数a，b，

称为a，b这两个数的算术平均数，

称为a，b这两个数的几何平均数，

称为a，b这两个数的平方平均数．

小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：

（1）若a ＝ －1，b ＝ －2，则M ＝
，N ＝
，P ＝
；

（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为a＋b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N²．

①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M²，P²的图形；

②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：
（把M，N，P从小到大排列，并用”＜”或”≤”号连接）．

25．对于两个实数a，b，规定Max（a，b）表示a，b两数中较大者，特殊地，当a ＝ b时，Max（a，b）＝a．如：Max（1，2）＝ 2，Max（－1，－2）＝ －1，Max（0，0）＝ 0．

（1）Max（－1，0）＝
，Max（n，n －2）＝
；

（2）对于一次函数，，

①当x≥－1时，Max（y₁，y₂）＝ y₂，求b的取值范围；

②当x＝1－b时，Max（y₁，y₂）＝p，当x＝1＋b时，Max（y₁，y₂）＝q，若p≤q，直接写出b的取值范围．

【试题答案】

一、选择题（本题共24分，每小题3分）

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

三、解答题（本题共52分，17－22题，每小题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

17．解：原式＝……………………………………………4分

＝2． ……………………………………………………………………………5分

18．解：（1）补全图形如图所示．

…………………………………………3分

（2）菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角． ………………………………5分

19．证明：如图，连接AC交BD于点O． …………………1分

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD．    …………………………3分

∵DE＝BF，

∴OE＝OF．    …………………………………………………………………………4分

∴四边形AECF是平行四边形．    ……………………………………………………5分

20．解：（1）设这个一次函数的表达式为y＝kx＋b．

∵一次函数的图象经过点（－1，0）和（0，2），

∴

解得

所以这个一次函数的表达式为y＝2x＋2．……………………………………3分

（2）． …………………………………………………………5分

21．解：∵AC⊥l于点A，

∴∠CAH＝90°．…………………………………………………………………1分

∴．……………………………………………………2分

同理．

∵HC＝HD，

∴． …………………………………………3分

设AH＝x，则BH＝5－x．

∵AC＝2，BD＝3，

∴． ……………………………………………4分

解得x＝3． ……………………………………………………………………5分

即AH＝3．

22．（1）如图所示．

………………………………1分

（2）<．………………………………………………………………………………2分

（3）①③． ………………………………………………………………………5分

23．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°．……………………………………………………1分

∴∠ADE＋∠AED＝90°．

∵CF⊥DE于点G，

∴∠AED＝∠DFC． ………………………………………………………………………2分

∴△AED≌△DFC．………………………………………………………………………3分

∴AE＝DF．………………………………………………………………………………4分

（2）当点E为AB的中点时，△BCG为等腰三角形． ……………………………5分

证明：如图，延长CB交DE的延长线于点P．

∵点E为AB的中点，

∴AE＝BE．

∵∠A＝∠ABP＝90°，∠AED＝∠BEP，

∴△AED≌△BEP．………………………6分

∴AD＝BP＝BC．

∵∠PGC＝90°，

∴BG＝＝BC． ……………………………………………………………………7分

即△BCG为等腰三角形．

24．解：（1），，；……………………………………………………3分

（2）答案不唯一．如：

…………………………………5分

（3）N≤M≤P． ………………………………………………………………………7分

25．解：（1）0，n；…………………………………………………………………2分

（2）①可求直线，的交点坐标为．……3分

由题意可知当x≥时，必有Max（y₁，y₂）＝ y₂．……………………4分

要想使x≥－1时，Max（y₁，y₂）＝ y₂成立，

需满足－1≥． ………………………………………………………5分

∴b≥0． ………………………………………………………………………6分

②b≥0或b≤－ 4． …………………………………………………………8分

说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.