北京市昌平区2020-2021学年下学期初中八年级期末质量抽测数学试卷
本试卷共100分。考试时长120分钟。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1. 在平面直角坐标系中，点A（－2，3）在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中，下列云纹图案中，是中心对称图形的是
3. 如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
4. 已知直线
与直线
平行，则k的值是
A. 2 B. －2 C. 
D. 
5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均数（cm） | 180 | 185 | 185 | 180 |
方差 | 3.6 | 3.6 | 7.4 | 8.1 |
要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 第七次全国人口普查结果发布：全国人口数超14.1亿，人口老龄化严重，2018年60岁及以上人口24949万人，2020年60岁及以上人口达到26402万人，设2018年到2020年60岁及以上人口的年平均增长率为x，则根据题意列出方程
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，下列条件不能判定此四边形为平行四边形的是
A. AB＝CD B. AD∥BC C. ∠B＝∠D D. AD＝BC
8. 根据下列表格中的对应值判断方程
（
为常数，且
）的一个解x的取值范围
x | 3.23 | 3.24 | 3.25 | 3.26 |
| －0.06 | －0.02 | 0.03 | 0.09 |
A. 
B. 
C. 
D. 
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 写出一个图象经过点（0，1）的函数的表达式_______________。
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC＝______________°。
11. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为_________。
12. 直线
经过点
和
，则
_________
。（填”＞”，”＜”或”＝”）
13. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6，则AB的长为___________。
14. 如图，已知函数
和
的图象交点为P，则关于x的不等式
的解集为_______________。
15. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD于点E，若
，则BE的长为____________。
16，
若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：
①该函数可能是一次函数；
②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；
③函数值y一定随自变量x的增大而减小；
④可能存在自变量x的某个取值范围，在这个范围内函数值y随自变量x增大而增大。
所有正确结论的序号是____________。
三、解答题（本题共12道小题，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
17. 解方程
。
18. 如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且
，连接AE，CF。求证：AE＝CF。
19. 一次函数
的图象经过点A（1，6）和点B（0，4）。
（1）求一次函数的表达式；
（2）若此一次函数图象与x轴交于点C，求△BOC的面积。
20. 关于x的一元二次方程
有实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个符合条件的m的值，求出此时方程的根。
21. A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，
分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系。
（1）乙出发_______h后，甲才出发；
（2）在乙出发__________h后，两人相遇，这时他们离开A地__________km；
（3）甲的速度是___________km/h，乙的速度是___________km/h。
22. 在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，
和
关于y轴对称。
（1）m＝____________，n＝__________；
（2）矩形ABCD的中心在原点O，直线
与矩形ABCD交于P，Q两点。
①当
时，线段PQ长度为_____________；
②当线段PQ长度最大时，求b的取值范围。
23. 下面是小静设计的作矩形ABCD的尺规作图过程。
已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°。
求作：矩形ABCD。
作法：如图，
①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BA的延长线于点E；
②分别以点B，E为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点F，作直线AF；
③以点C为圆心，BC长为半径作弧，交BC的延长线于点M；
④分别以点B，M为圆心，大于
长为半径作弧，两弧交于点N，作直线CN；
⑤直线AF与直线CN交于点D；
所以四边形ABCD是矩形。
（1）根据小静设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明。
证明：
∵AB＝_____________，BF＝______________，
∴AF⊥BE，（__________________）（填推理的依据）
同理CN⊥BM。
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，（________________________）（填推理的依据）
24. 已知：如图，在等腰△ABC中，
平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使
，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E。
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长。
25. 2021年是中国共产党建党100周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学初二年级举行了一次”党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初二年级50名学生，对他们此次竞赛的成绩（得分取正整数，满分为100分）整理并绘制了如下统计图表。
初二年级学生竞赛成绩的频数分布表
成绩分组/分 | 频数 | 频率 |
| 1 | 0.02 |
| a | 0.06 |
| 10 | 0.20 |
| b | c |
| 12 | 0.24 |
| 18 | 0.36 |
合计 | 50 | 1.00 |
初二年级学生竞赛成绩的频数分布直方图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝__________，b＝__________，c＝___________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知该校初二年级有学生400人，估计该校初二年级学生竞赛成绩不低于80分的人数。
26. 如图，在平面直角坐标系
中，直线
与直线
交于点
。
（1）求k、m的值；
（2）已知点
，过点P作垂直于y轴的直线，交直线
于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线
于点N。
①当
时，求△PMN的面积；
②若
，结合函数的图象，直接写出n的取值范围。
27. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与A、B重合），连接DE，交对角线AC于点F，过点F作DE的垂线分别交AD、BC于点M、N。
（1）根据题意，补全图形；
（2）证明：FD＝FN；
（3）直接写出BN和AF的数量关系。
28. 在平面直角坐标系
中的点
，给出如下定义：
若
，则
；若
，则
＝
。
（1）已知点
，则
＝___________，
＝_________；
（2）点C坐标
，且
＝1。
①当
时，写出一个符合条件的点C的坐标__________；
②所有符合条件的点C所组成的图形记作W，在图1中画出图形W；
（3）如图2，矩形DEFG中，
是矩形内部一点，N是矩形边上的点，且
，若直线
上存在点N，直接写出k的取值范围。
【试题答案】
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | B | A | C | A | B | A | D | C |
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
答案 |
（答案不唯一） | 52 | 20m | ＜ | 3 |
|
| ①②④ |
三、解答题（本题共12道小题，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
17. 解法1：
。 3分
。 5分
解法2：
， 1分
， 2分
， 3分
。 5分
解法3：
， 1分
， 2分
，
， 3分
。 5分
18. 证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
，AB∥CD， 2分
∴∠ABD＝∠CDB， 3分
，∠ABD＝∠CDB，
∴△ABE≌△CDF， 4分
。 5分
19. 解：（1）∵一次函数的图象经过点A（1，6）和点B（0，4），
解得
2分
∴这个一次函数的表达式为
。 3分
（2）∵直线
与x轴交于点C，
∴令
，则
，
， 4分
。 5分
20. 解：（1）∵一元二次方程有实数根，
， 1分
， 2分
。 3分
（2）当
时，方程为
，
解得
。（答案不唯一） 5分
21. 解：（1）1； 1分
（2）1.5，20； 3分
（3）40；
。 5分
22. （1）
； 2分
（2）①
； 3分
②把
代入
，得
；
把
代入
，得
； 4分
。 5分
23. 解：（1）正确补全图形；
2分
（2）AE 3分
EF 4分
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 5分
有三个角是直角的四边形是矩形。 6分
24. （1）证明：
平分∠ABC，
， 1分
，
∴四边形ABCD为平行四边形， 2分
，
∴四边形ABCD是菱形。 3分
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
，AD∥BC，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
， 4分
∵DE⊥BD，AC⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
，
， 5分
∵DE⊥BD，
∴△BDE为直角三角形。
∵在Rt△BDE中，
，
。 6分
25. 解：（1）
； 3分
（2）正确补全图形 5分
初二年级学生竞赛成绩的频数分布直方图
（3）
（人） 6分
答：该校初二年级学生竞赛成绩不低于80分的有240人。
26. （1）将点
代入
，得
。 1分
∴点A的坐标为（3，1），
将点A（3，1）代入
，得
。 2分
（2）①当
时，如图
∵点P的坐标为（3，3）且PM平行于x轴，PN平行于y轴，
∴设M的坐标为（a，3），N的坐标为（3，b），
将点
代入
，得
，
将点
代入
，得
，
∴M的坐标为（5，3），N的坐标为（3，1），
∵点P的坐标为（3，3），
,
， 4分
②
或
。 6分
27. （1）依题意，补全图形。 2分
（2）证明：过点F作FG⊥CD交CD于点G，过点F作FH⊥BC交BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，AC为正方形一条对角线，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝∠DCA＝45°，
∵FG⊥CD，FH⊥BC，
， 3分
∠FGC＝∠FHC＝90°，
∴四边形FHCG是正方形，
∴∠HFG＝90°，
∵MN⊥DE，
∴∠NFD＝90°，
∴∠NFD－∠NFG＝∠HFG－∠NFG，
∴∠DFG＝∠NFH。 4分
在△DFG和△NFH中
∴△DFG≌△NFH，
。 5分
（3）
。 7分
28. （1）
； 2分
（2）①点C的坐标为（－1，1）；（答案不唯一） 3分
②如图1
5分
（3）
或
。 7分