北京101中学2020-2021学年下学期高一年级期末考试数学试卷
一、选择题：共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知z=2−i，则
( )
(A)2−2i (B)4−i (C)2+2i (D)4+i
2．下列区间中，函数f(x)=7sin(x−
)单调递增的区间是( )
(A)(0，
) (B)(
，π) (C)(π，
) (D)(
，2π)
3．在△ABC中，已知a=
，b=2，B=45°，则A=( )
(A)30°或60° (B)30° (C)60°或120° (D)150°
4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内．直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b“的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，C=90°，AC=4，BC=3，点P是AB的中点，则
=( )
(A)
(B)4 (C)
(D)6
6．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是( )
(A)若m⊥α，n∥m，n⊂β，则α⊥β
(B)若m⊂α，α∥β，n⊂β，则n∥m
(C)若m⊥α，α∥β，n⊥β，则n∥m
(D)若β⊥α，α∩β=n，m⊂α，n⊥m，则m⊥β
7．若tanθ=−2，则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
8．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
(A)该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
(B)该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
(C)估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
(D)估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4．5万元至8．5万元之间
9．如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线AC，BD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边AB，BC，CD，DA分别相交于点E，F，G，H，记四边形EFGH的面积为y，设
，则( )
(A)函数y=f(x)的值域为(0，4] (B)函数y=f(x)的最大值为8
(C)函数y=f(x)在(0，
)上单调递增 (D)函数y=f(x)满足f(x)=f(
−x)
10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1″，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2″，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8″，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7″，则( )
(A)甲与丙相互独立 (B)甲与丁相互独立
(C)乙与丙相互独立 (D)丙与丁相互独立
二、填空题：共6小题。
11．设a∈R．若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=____________．
12．若A为△ABC的内角，且sin2A=−
，则cos(A+
)的值为____________．
13．如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有____________对．
14．已知不等式
对于
恒成立，则实数m的取值范围是____________．
15．中国古代数学名著《九章算术》中记载:”今有羡除“．刘徽注:”羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．“现有一个羡除如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB=6，CD=8，EF=10，EF到平面ABCD的距离为3，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积是____________．
16．已知函数f(x)=|sinx|cosx，给出下列五个结论：
①
; ②若|f(x1)|=|f(x2)|，则x1=x2+kπ(k∈Z);
③f(x)在区间
上单调递增; ④函数f(x)的周期为π;
⑤f(x)的图像关于点(
，0)成中心对称．
其中正确的结论的序号是____________．
三、解答题：共4小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．在△ABC中，c=2，C=30°．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
(1)a的值;
(2)△ABC的面积．
条件①:
;条件②:
;条件③:A=45°．
18．为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某地区小学联合开展了“冰雪答题王“冬奥知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了30名学生，将他们的竞赛成绩(单位:分)用茎叶图记录如下:
(1)从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，估计该男生的竞赛成绩在90分以上的概率;
(2)从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取2人，估计这4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多的概率;
(3)为便于普及冬奥知识，现从该地区某所小学参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机选取10名男生、10名女生作为冬奥宣传志愿者，记这10名男生竞赛成绩的平均数为µ1，这10名女生竞赛成绩的平均数为µ2，能否认为µ1>µ2，说明理由．
19．已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，M是DD1的中点．
(1)求证:BD1∥平面AMC;
(2)求证:AC⊥BD1;
(3)在线段BB1上是否存在点P，当
时，平面A1PC1∥平面AMC?若存在，求出λ的值并证明;若不存在，请说明理由．
20．对n∈N∗，定义an(x)=
(sin2x−cosnx)．
(1)求a2(x)−a1(x)的最小值;
(2)∀n∈N∗，有an(x)≥A恒成立，求A的最大值;
(3)求证:不存在m，n∈N∗，且m>n，使得am(x)−an(x)为恒定常数．
参考答案
1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．B
11．−1． 12．
． 13．7． 14．(−∞，
]． 15．120． 16．①⑤．
17．选择条件①:2b=
a．
(1)在△ABC中，因为2b=
a，所以b=
a．
因为c=2，C=30°，
根据余弦定理:
，得
，
整理，得a2=16，由于a>0，所以a=4．
(2)由(1)可知，b=
a=2
．
因为a=4，c=2，所以a2=b2+c2．所以A=90°．
因此，△ABC是直角三角形．
所以S=
bc=
×2
×2=2
．
选择条件②:不给分．
选择条件③:A=45°．
(1)在△ABC中，因为A=45°，C=30°，c=2，
根据正弦定理:
，所以
．
(2)在△ABC中，因为sinB=sin(A+C)，
所以
．
所以
．
18．(1)由茎叶图可知，随机抽取的30名学生中男生有15名，其中竞赛成绩在90分以上的学生有5名．
所以随机抽取的15名男生中竞赛成绩在90分以上的频率为
．
所以从该地区参加该活动的男生中随机抽取1人，该男生的竞赛成绩在90分以上的概率估计为
．
(2)记Ai(i=1，2)表示“第i名男生的竞赛成绩在90分以上“，Bj(j=1，2)表示“第j名女生的竞赛成绩在90分以上“，C表示“4人中男生竞赛成绩在90分以上的人数比女生竞赛成绩在90分以上的人数多“．
同(1)，从该地区参加该活动的女生中随机抽取1人，该女生竞赛成绩在90分以上的概率估计为
，
则
．
(3)参考答案:不能确定是否有µ1>µ2．
上述10名男生，10名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以µ1，µ2是随机的．
所以不能确定是否有µ1>µ2．
19．(1)在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连接BD交AC于N，连接MN．
因为ABCD为正方形，所以N为BD中点，
在△DBD1中，因为M为DD1中点，所以BD1∥MN．
因为MN⊂平面AMC，BD1
平面AMC，
所以BD1∥平面AMC．
(2)因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD．
因为DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC．
因为DD1∩BD=D，所以AC⊥平面BDD1．
因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1．
(3)当λ=
，即点P为线段BB1的中点时，平面A1PC1∥平面AMC．
因为AA1∥CC1，且AA1=CC1，
所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1．
取CC1的中点Q，连接MQ，QB．
因为M为DD1中点，所以MQ∥AB，且MQ=AB，
所以四边形ABQM是平行四边形．所以BQ∥AM．
同理BQ∥C1P．
所以AM∥C1P．
因为A1C1∩C1P=C1，AC∩AM=A，
所以平面A1PC1∥平面AMC．
20．略．