本试卷共150分，考试时长120分钟。
第一部分（选择题
共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合
，那么
＝
A. 
B.
C. 
D.
2. 已知
的展开式中
的系数为－40，那么
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
3. 已知
，那么
A. 
B. 
C. 
D.
4. 已知
，那么
的最大值为
A. 1 B. 
C. 2 D.
5. 在平行四边形ABCD中，已知
，E为CD的中点，那么
＝
A. （－2，4） B. （－2，3） C. （－1，4） D. （－1，3）
6. 已知函数
满足
，当
时，
，那么
＝
A. 
B. 
C. 
D.
7. 某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积为
A. 
B. 
C. 22 D.
8. 已知双曲线C：
，那么”双曲线C的渐近线为
“是”
“的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 在△ABC中，已知∠A＝
，那么
＝
A. 
B. 
C. 
D.
10. 有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度（单位：℃）、时间（单位：min）、催化剂用量（单位：g），三个因素对产量的影响彼此独立，其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7，按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案。下表给出了这9次实验的结果：
实验号 | 温度（℃） | 时间（min） | 催化剂用量（g） | 产量（kg） |
1 | 80 | 90 | 5 | 31 |
2 | 80 | 120 | 6 | 54 |
3 | 80 | 150 | 7 | 38 |
4 | 85 | 90 | 6 | 53 |
5 | 85 | 120 | 7 | 49 |
6 | 85 | 150 | 5 | 42 |
7 | 90 | 90 | 7 | 57 |
8 | 90 | 120 | 5 | 62 |
9 | 90 | 150 | 6 | 64 |
根据上表，三因素三水平的最优组合方案为
A. 85℃ 120 min 7 g B. 90℃ 120 min6 g
C. 85℃ 150 min 6 g D. 90℃ 150 min7 g
第二部分（非选择题
共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
11. 复数
的实部为_____________。
12. 已知直线
不在平面
内，给出下列三个论断：
①
；
②
∥
；
③
。
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______________。
13. 已知抛物线C：
过点M（4，4），那么抛物线C的准线方程为_________，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为_____________。
14. 角α的终边与单位圆的交点A位于第一象限，其横坐标为
，那么
＝__________，点A沿单位圆逆时针运动到点B，所经过的弧长为
，则点B的横坐标为___________。
15. 对于定义域为R的函数
，设关于x的方程
，对任意的实数t总有有限个根，记根的个数为
，给出下列命题：
①存在函数
满足：
，且
有最小值；
②设
，若
，则
；
③若
，则
为单调函数；
④设
，则
。
其中所有正确命题的序号为______________。
三、解答题：共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
如图，四棱锥
中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，
，
。
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
17.（本小题13分）
已知等比数列
满足
。
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列{bn}的前n项和Sn。
条件①：设
；
条件②：设
。
注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分。
18.（本小题14分）
某市2019年一季度全市居民人均消费支出情况如下表所示，全市居民分为城镇居民和农村居民，人均消费支出分为食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通和通信、教育文化和娱乐、医疗保健、其他用品及服务共8类。
2019年一季度
单位：元
指标名称 | 全市居民 | 城镇居民 | ||
2019年一季度 | 增速（%） | 2019年一季度 | 增速（%） | |
人均消费支出 | 10637 | 7.4 | 11440 | 7.4 |
食品烟酒 | 2292 | 8.2 | 2401 | 8.2 |
衣着 | 628 | 0.0 | 670 | －1.0 |
居住 | 3846 | 5.7 | 4200 | 5.6 |
生活用品及服务 | 546 | 6.8 | 588 | 8.3 |
交通和通信 | 1219 | 11.0 | 1303 | 10.5 |
教育文化和娱乐 | 927 | 10.5 | 1020 | 11.0 |
医疗保健 | 874 | 14.2 | 920 | 13.6 |
其他用品及服务 | 305 | 1.0 | 338 | 2.7 |
（Ⅰ）从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，求这类人均消费支出超过1 000元的概率；
（Ⅱ）从城镇居民的8类人均消费支出中随机选取3类，记X表示其中不超过2 000元的类数，求X的分布列及数学期望；
（Ⅲ）请直接写出这8类人均消费支出中，农村居民人均消费支出增速大于城镇居民人均消费支出增速的类别。
19.（本小题15分）
已知函数
，其中
。
（Ⅰ）若曲线
在
处的切线过点
，求a的值；
（Ⅱ）若
对
恒成立，求a的取值范围。
20.（本小题15分）
已知椭圆C：
的右焦点为F，左、右顶点分别为
，
，
。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，过点N作x轴的垂线，与直线BM交于点D，E为线段DN的中点，证明：直线BE的斜率为定值。
21.（本小题15分）
设数列
。
定义集合
，其中
为给定的正整数。
（Ⅰ）若
，求
；
（Ⅱ）若A中的项
，求证：A为常数列；
（Ⅲ）记集合
的最大元素为
，求证：
。
【试题答案】
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. A 7. D 8. C 9. B 10. B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 3 12. 若
∥
，则
。（答案不唯一）
13. 
5 14. 
15. ②④
三、解答题（共6小题，共85分）
16.（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AD，
因为AB⊥BC，AD∥BC，
所以AB⊥AD，
又因为PA，AB
平面PAB，
，
所以AD⊥平面PAB。 5分
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，
由（Ⅰ）知，PA⊥AD，AB⊥AD。
如图，建立空间直角坐标系
。
因为
，
所以
，
，
设平面PCD的法向量
，
由
得
令
，则
。
平面ABCD的法向量
，
设二面角
的大小为
，
为锐角，
，
所以二面角
的余弦值为
。 13分
17.（本小题13分）
解：（Ⅰ）设等比数列
的公比为q，
所以
解得
所以
。 5分
（Ⅱ）选择条件①：
。
因为
，
所以
。
又因为
，
所以
是首项
，公差
的等差数列，
所以
。
选择条件②：
，
因为
，
所以
。 13分
18. （本小题14分）
解：（Ⅰ）记事件A为“从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，这类人均消费支出超过1000元“。
从全市居民的8类人均消费支出中随机选取1类，共有8种等可能的取法，其中有3类人均消费支出超过1000元。
所以
。 4分
（Ⅱ）X所有可能的取值为1，2，3，
，
，
，
则X的分布列为
X | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
。 11分
（Ⅲ）衣着、居住、交通和通信、医疗保健。 14分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）
，
曲线
在
处的切线方程为
，
因为
，所以
。 5分
（Ⅱ）设
，
，令
，得
，
时，
与
的情况如下：
|
|
|
|
| 0 |
|
|
| ＋ | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ | ＋ |
|
| ↗ | ↘ |
| ↗ |
设
，因为
，所以
，
在
上递减，在
上递增，
所以
的最小值为
，
因为
，所以
，
所以
时，
恒成立。
（2）
时，
因为
，
所以当
时，不等式
并非对
恒成立。
综上所述，实数a的取值范围是
。 15分
20. 本小题15分
解：（Ⅰ）依题意有
解得
所以椭圆C的方程为
。 4分
（Ⅱ）由题知，直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
联立
消y得
，
，解得
。
设
，则
，
直线BM：
，令
，得
，所以
。
设
，则
。
直线BE的斜率
其中
，
所以
。 15分
21. （本小题15分）
解：（Ⅰ）
。 3分
（Ⅱ）由于
，不妨设
，令
＋…＋
，
则
中的元素为：
，
因为
，
所以有
，
因为
，
所以
。
化简可得：
，
从而可得
，
从而数列A为常数列； 10分
（Ⅲ）对任意的
，有
，
所以
。 15分