（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知全集
，集合
，则
＝（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
2. 下列命题中的假命题是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
3. 已知向量
，若
与b共线，则实数m＝
A. －1 B. 1 C. 2 D. －5
4. 已知
是R上的奇函数，当
时，
，则
的解集是（ ）
A. （－1，0） B. （0，1） C. 
D.
5. 将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
＝（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
6. 若
，且
，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
7. 已知三角形ABC，那么”
“是”三角形ABC为锐角三角形”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 声音的等级
（单位：dB）与声音强度x（单位：
）满足
，喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A. 
倍 B. 
倍 C. 
倍 D. 
倍
9. 函数
的大致图象是（ ）
10. 已知函数
给出下列三个结论：
①当
时，函数
的单调递减区间为
；
②若函数
无最小值，则a的取值范围为
；
③若
且
，则
，使得函数
恰有3个零点
，且
。
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 函数
的定义域是____________。
12. 已知
，且
，则
___________，
__________。
13. 已知非零向量
满足
，则
与b的夹角等于__________。
14. 圆
与直线
相切于点
，则圆的半径为__________，直线
的方程为________________________。
15. 关于x的方程
的实根个数记为
。
若
，则
＝__________；
若
，存在t使得
成立，则a的取值范围是________________。
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16. （本小题满分14分）
在△ABC中，
。
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求
的值。
17. （本小题满分14分）
已知函数
。
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数
在
上的最大值；
（Ⅲ）求证：存在唯一的
，使得
。
18. （本小题满分14分）
已知函数
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）从①
；②
这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数
在
上的最小值，并直接写出函数
的一个周期。
19. （本小题满分14分）
已知：函数
。
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求证：当
时，
；
（Ⅲ）若
对
恒成立，求实数k的最大值。
20. （本小题满分14分）
已知O为平面直角坐标系的原点，过点
的直线
与圆
交于
两点。
（Ⅰ）若
，求直线
的方程；
（Ⅱ）若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线
的斜率。
21. （本小题满分15分）
对于集合M，定义函数
对于两个集合
，定义集合
。已知
。
（Ⅰ）写出
的值，并用列举法写出集合
；
（Ⅱ）用
表示有限集合M所含元素的个数，求
的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对
，满足
，且
？
【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | B | A | D | C | C | D | B | B | D | C |
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
答案 |
|
|
|
|
|
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16. 解：（Ⅰ）
由余弦定理
，
；
（Ⅱ）在△ABC中，
，由正弦定理有：
，
，
为锐角，
，
。
17. 解：（Ⅰ）由
，得
， 1分
所以
，又
2分
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，
即：
。 3分
（Ⅱ）令
，得
， 4分
在区间
的情况如下：
x |
|
|
|
| － | 0 | ＋ |
| ↘ | 极小值 | ↗ |
6分
因为
，
所以函数
在区间
上的最大值为6。 8分
（Ⅲ）证明：设
，
则
， 9分
令
，得
。
随x的变化情况如下：
x |
| －1 |
| 1 |
|
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
则
的增区间为
，减区间为
。 11分
又
，所以函数
在
没有零点，
又
，
所以函数
在
上有唯一零点
。
综上，在
上存在唯一的
，使得
。 14分
18. 解：（Ⅰ）
。
（Ⅱ）选择条件①，
的一个周期为
，
＝
。
因为
，所以
，所以
，所以
，
当
时，即
时，
在
取得最小值
。
选择条件②，
的一个周期为
，
，
因为
，所以
，
所以，当
时，即
时，
在
取得最小值－1。
19. 解：
2分
（Ⅰ）
3分
（Ⅱ）令
，则
， 5分
当
时，设
，则
所以
在
单调递减，
即
，所以
7分
所以
在
上单调递减，所以
， 8分
所以
。 9分
（Ⅲ）原题等价于
对
恒成立，
即
对
恒成立， 10分
令
，则
。 12分
易知
，即
在
单调递增，
所以
，所以
，
故
在
单调递减，所以
。 14分
综上所述，k的最大值为
。 15分
20. 解：（Ⅰ）依题意，直线
的斜率存在，
因为直线
过点
，可设直线
， 1分
因为P、Q两点在圆
上，所以
，
因为
，所以
3分
所以∠POQ＝120° 所以O到直线
的距离等于
，
所以
， 4分
得
， 5分
所以，直线
的方程为
或
6分
（Ⅱ）（解法一）因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以
， 8分
设
，所以
，
所以
即
（*）； 9分
因为P，Q两点在圆上，
所以
把（*）代入，得
，
所以
12分
所以，直线
的斜率
，即
。 13分
（解法二）因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以
， 8分
设
，所以
，
所以
，即
①；
联立
消去y得
， 9分
由韦达定理知
② 
③
由①②可知，
， 12分
带入③得
，所以
。 14分
21. 解：（Ⅰ）
。 3分
（Ⅱ）根据题意可知：对于集合C，X，①若
，则
＝
：
②若
且
，则
，
所以，要使
的值最小，
一定属于集合
是否属于X不影响
的值；集合X不能含有
之外的元素。
所以，当X为
的子集
的并集时，
取到最小值4。 8分
（Ⅲ）因为
，
所以 
，
由定义可知：
，
所以，对任意元素x，
，
。
所以 
，
所以
，
由
知：
，
所以
，
所以
。
所以
，即
。
因为
，
所以，满足题意的集合对
的个数为
。 14分