（试卷满分140分 考试时间120分钟）
I卷 （满分90分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）
1. 已知全集为U，集合A={1，2，3，4，5}，B={-3，2}，则图中阴影部分表示的集合为
A. {3） B. {-3，2} C. {2} D. {-2，3}
2. 不等式
≤0的解集是
A. （-
，-1）
（-1，2] B. [-1，2]
C. （-
，-1）
[2，+
） D. （-1，2]
3. 下列函数中，在区间（0，+
）上为减函数的是
A. 
B.
C. 
D.
4. 已知函数
，则下列区间中一定包含
零点的区间是
A. （-2，-1） B. （-1，0）
C. （0，1） D. （1，2）
5. 若函数
是偶函数，且在区间[0，3]上单调递减，则
A. 
（-1）>
（2）>
（3） B. 
（3）> 
（-1）> 
（2）
C. 
（2）>
（-1）>
（3） D. 
（3）>
（2）>
（-1）
6. 已知
，
是方程
的两根，则
=
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 设a，b∈R，且a>b，则下列结论中正确的是
A. 
>l B. 
C. |a|>|b| D. a3>b3
8. “a=2″是”函数
=|x–a|在区间[2，+
）上为增函数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 向某容器中匀速注水时容器水面高度h随时间t变化的函数h=f（t）的图像如下图所示，则容器的形状可以是
A B C D
10. 若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为”同族函数”。函数解析式为
，值域为{1，3}的同族函数有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11. 设全集U=R，集合A={x|x<2}，集合B={x|x<1}，则集合
=___________，集合（
）
B=____________。
12. 命题”
<1，
>1″的否定是___________。
13. 某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________。
14. 函数
=x+
（x>1）的最小值是_______，此时x=_______。
15. 能够说明”设a，b，c是任意实数。若a>b>c，则a+b>c“是假命题的一组整数a，b，c的值依次为__________。
三、解答题（本大题共3小题，共25分。）
16. （本小题8分）
已知a>0，记关于x的不等式（
）（
）<0的解集为P，不等式
的解集为Q。
（I）若a=3，求集合P；
（II）若Q
P，求a的取值范围。
17. （本小题9分）
已知定义在R上的奇函数
，m∈R。
（I）求m；
（II）用定义证明：
在区间[1，+
）上单调递减；
（III）若实数a满足
<
，求a的取值范围。
18. （本小题8分）
二次函数
满足
=1，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：
（I）求
的解析式；
（II）在区间[-1，1]上，函数
的图像总在一次函数y=2x+m图像的上方，试确定实数m的取值范围。
条件①：f（x+1）-f（x）=2x；
条件②：不等式
<x+4的解集为（-1，3）。
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
II卷 （满分50分）
一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共1 2分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）
1. 已知非零实数a，b，c满足：a>b>c，下列不等式中一定成立的有
①ab>bc； ②ac2≥bc2； ③
。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 已知a，b∈R，则”a+b=0″是”
“的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
3. 已知min{a，b）=
设
=min{-x+6，-2x2+4x+6}，则函数
的最大值是
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
4. 若函数
=
为偶函数，则实数a=_________，函数
的单调递增区间是_________。
5. 某学校运动会上，6名选手参加100米决赛。观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1、2、6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4、5、6道的选手都不可能得第一名。比赛后发现并没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是__________。
6. 已知关于x的不等式
≤2a在区间（0，+
）上有解，则实数a的取值范围是________。
三、解答题（本大题共2小题，共23分。）
7. （本小题10分）
区间[
，
]的长度定义为
–
。函数
=（1+a2）x2–ax，其中a>0，区间I={x|
≤0}。
（I）求I的长度；
（II）求I的长度的最大值。
8. （本小题13分）
若函数
的定义域为D，集合M
D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且
>
，则称
为M上的t-增长函数。
（I）已知函数g（x）=x，函数h（x）=x2，判断g（x）和h（x）是否为区间[-1，0]上的
-增长函数，并说明理由；
（II）已知函数
，且
是区间[-4，-2]上的n-增长函数，求正整数n的最小值；
（III）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按（i）得分计入总分）
（i）如果对任意正有理数q，
都是R上的q-增长函数，判断
是否一定为R上的单调递增函数，并说明理由；
（ii）如果
是定义域为R的奇函数，当x≥0时，
=
，且
为R上的4-增长函数，求实数a的取值范围。
参考答案
I卷
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | D | D | C | A | B | D | A | A | C |
二、填空题
11. [2，+
）；（-
，1）
[2，+
）
12. 
<1，
≤1。
13. 12
14. 3；2
15. -1，-2，-3（答案不唯一）
三、解答题
16. 解：（I）由（x-3）（x+1）<0，得P={x|-1<x<3}。
（II）Q={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}。
由a>0，得P={x|-1<x<a}，又Q
P，所以a>2，即a的取值范围是（2，+
）。
17. 解答：（1）根据
=0得m=0；
（2）证明：任取x2> x1≥1，有
，
因x2> x1>1，故x1x2>1，x2– x1>0，
>0，
>0，从而
<0，
<
。故
在（1，+
）单调递减。
（3）因
≥1. 又f（2）=
，结合
在（1，+
）单调递减，从而
，a∈（-
，-2）
（0，+
）。
18. 解（1）由
，可设
=
（a≠0）。
选择①，则有
=
=2ax+a+b，
由题意，得
解得
故
。
选择②，则
<x+4可化为
<0。
由题，方程
=0的两实根分别为-1和3，
所以
=-1+3=2即2a+b=1，及
=-1×3=-3即a=1，所以b=-1。
故
。
（2）由题意，得
>2x+m，即
>m，对x∈[-1，1]恒成立。
令
，则问题可转化为
，
又因为
在[-1，1]上递减，所以
min=g（1）=-1，故m<-1。
II卷
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
答案 | B | C | C | 0， | 丁 |
|
，
7. 解：（1）令
，解得：
，
>0，∴
，
（2）∴I的长度
，当且仅当
时等号成立。
∴当a=1时，
。
8. 解：（I）
是；因为
∈[-1，0]，g（x+
）-
=
；
不是，反例：当x=-1时，
。
（II）由题意得，
对x∈[-4；-2]恒成立。
等价于
，即2nx+n2>0对x∈[-4，-2]恒成立
因为n>0，所以2nx+n2是关于x的一次函数且单调递增，于是只需-8n+n2>0，
解得n>8，所以满足题意的最小正整数n为9。
（III）（i）不是
构造
，则对任意正有理数q，
若x∈Q，则x+q∈Q，因此
；
若x∈
，则x+q∈
，因此
。
因此
是R上的q-增长函数，但
不是增函数。
（ii）由题意知
已知任意x∈R，f（x+4）≥f（x），
因为f（x）在[-a2，a2]上递减，所以x， x+4不能同时在区间[-a2，a2]上，
因此4> a2-（- a2）=2 a2
注意到
在[-2 a2，0]上非负，在[0，2 a2]上非正
若2 a2<4≤4 a2，当x=-2 a2时，x+4∈[0，2 a2]，此时f（x+4）≤f（x），矛盾
因此4>4 a2，即a∈（-1，1）。
当4>4 a2时，下证f（x）为R上的4-增长函数：
①当x+4≤- a2，f（x+4）>f（x）显然成立
②当- a2<x+4<a2时，x< a2-4<-3 a2，此时f（x+4）=-（x+4）>- a2，
f（x）=x+2 a2<- a2，f（x+4）>f（x）
③当x+4≥a2时，f（x+4）=x+4-2 a2>x+2 a2≥f（x）
因此f（x）为R上的4-增长函数
综上，为使得f（x）为R上的4-增长函数a的取值范围是（-1，1）。