北京四中2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷

试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分

考试时间：120分钟

卷（I）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分

1. 已知向量＝（1，2，-1），则下列向量与垂直的是（ ）

A. （0，0，1） B. （-2，1，0） C. （1，1，2） D. （4，-1，1）

2. 若直线l₁：2x+ay+1＝0与直线l₂：x-2y+2＝0平行，则a＝（ ）

A. 1 B. -1 C. 4 D. -4

3. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面。下列说法正确的是（ ）

A. 若m∥，n∥，则m∥n

B. 若m⊥，n，则m⊥n

C. 若m⊥，m⊥n，则n∥

D. 若m∥，m⊥n，则n⊥

4. 在三棱锥A-BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（ ）

A. 平面ADC⊥平面BCD B. 平面ABC⊥平面BCD

C. 平面ABD⊥平面ADC D. 平面ABD⊥平面ABC

5. 圆与直线相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）

A. 4x+3y+6=0 B. 3x+4y+8＝0

C. 4x-3y-6=0 D. 4x-3y+6＝0

6. 若A（-2，3），B（3，-2），C（1，m）三点共线，则m的值为（ ）

A. B. -1 C. -2 D. 0

7. 下列命题正确的是（ ）

A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

8. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）

9. 直线kx-y+2k+1＝0与x+2y-4＝0的交点在第四象限，则k的取值范围为（ ）

A. （-6，-2） B. （-，0） C. （-，-） D. （-，）

10. 斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC＝90°，BC₁⊥AC，则C₁在底面ABC上的射影H必在（ ）

A. 直线AB上 B. 直线BC上

C. 直线AC上 D. △ABC内部

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分

11. 过A（1，0），B（0，）两点的直线的倾斜角为_________。

12. 圆心为C（-4，3）且与直线2x+y+10＝0相切的圆的方程为_________。

13. 圆截直线x-y-6＝0所得弦长等于_________。

14. 若空间向量＝（5，3，m），＝（1，-1，2），＝（0，2，-3）共面，则m＝_________。

15. 棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC中点，则点B到平面AB₁E的距离为__________。

16. 三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC。给出下列四个命题：

①（＋＋）²＝3（）²；

②·（–）＝0；

③（＋）和的夹角为60°；

④三棱锥O-ABC的体积为|（·）｜。其中所有正确命题的序号为________。

三、解答题：本大题共3小题，共36分

17.（10分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC＝CC₁，AC⊥BC，D为BC₁中点。AC₁与A₁C交于点O。

（1）求证：OD∥平面A₁B₁C₁；

（2）求证：平面AC₁B⊥平面A₁BC。

18. （14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB＝AP，E为棱PB的中点。

（1）求直线PD与CE所成角的余弦值；

（2）求直线CD与平面ACE所成角的正弦值；

（3）求二面角E-AC-P的余弦值。

19. （12分）已知直角三角形ABC的顶点坐标A（-4，0），直角顶点B（-2，-2），顶点C在x轴上。

（1）求BC边所在的直线方程；

（2）设M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；

（3）已知与AB平行的直线DE交x轴于点D，交y轴于点E（0，-7）。若P为圆M上任意一点，求三角形PDE面积的取值范围。

卷（Ⅱ）

一、过程性评价（考生不必作答）：共10分

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

1. 圆（x-1）²+（y-3）²＝5关于直线y＝x对称的圆方程为_________。

2. 已知△ABC的三个顶点分别是A（0，3），B（4，2），C（2，1）。若直线l过点A，且将△ABC分割成面积相等的两部分，则直线l的方程是__________。

3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A’，且平面A’BD⊥平面BCD。则下列四个命题中正确的是__________。

①A’D⊥BC ②三棱锥A’-BCD的体积为

③CD⊥平面A’BD ④平面A’BD⊥平面A’DC

4. 在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。若∠DBA≥45°，则点A的横坐标的取值范围为__________。

三、解答题：本大题共2小题，共24分

5.（14分）在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝1，AD＝DC＝DP＝2，∠PDC＝120°。

（1）求证：AD⊥平面PCD；

（2）线段BC上是否存在点F，使得平面PDF⊥平面PAC？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由；

（3）若M是棱PA的中点，N为线段BC上任意一点，求证：MN与PC一定不平行。

6. （10分）设n∈N*，且n≥3。对1，2，…，n的一个排列i₁ i₂…i_n，如果当s＜t时，有i_s＞i_t，则称（i_s，i_t）是排列i₁ i₂…i_n的一个逆序，排列i₁ i₂…i_n的所有逆序的总个数称为其逆序数。例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1）（3，1），则排列231的逆序数为2。记为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数。

（1）求的值；

（2）判断与的大小，并说明理由；

（3）求（n≥4）的表达式（用n表示）。

参考答案

卷（I）

1-10 BDBAC DCBCA

17. （1）因为OD为△ABC₁的中位线，所以OD∥AB。

又AB∥A₁B₁，所以OD∥A₁B₁。

又OD平面A₁B₁C₁，

所以OD∥平面A₁B₁C₁。

（2）因为AC⊥BC，CC₁⊥BC，

所以BC⊥平面ACC₁A₁。

所以BC⊥AC₁。

又因为AC₁⊥A₁C，所以AC₁⊥平面A₁BC。

所以平面AC₁B⊥平面A₁BC。

18. （1）建系.=（0，1，-1），=，所以直线PD与CE所成角的余弦值。

（2）＝（-1，0，0），平面ACE的法向量是＝（1，-1，-1），

所以sin＝。

（3）平面ACP的法向量为＝＝（-1，1，0），

所以|cos<,>|＝，又由图可知，为锐角，所以cos＝。

19. （1）。

（2）M：（x＋1）²＋y²＝9。

（3）DE：y＝-x-7，所以D（-7，0），所以|DE|＝7。

又h［d-r，d+r］，即h∈［2-3，2+3］，

所以S∈［21–，21＋］。

卷（Ⅱ）

5. （1）因为平面ABCD⊥平面PCD，

且AD⊥DC，

所以AD⊥平面PCD。

（2）存在。

从而＝（2，1，-），＝（2，-2，0），

所以平面PAC的一个法向量是＝（1，1，）。

设＝，∈［0，1］，

则＝（0，-1，），＝（2-2，1＋，0）。

＝1时，平面PDF的一个法向量＝（1，0，0），不成立；

≠1时，平面PDF的一个法向量＝，

所以由·＝0得，＝。

当＝时，平面PDF⊥平面PAC。

（3）建系。P（0，-1，），C（0，2，0）；A（2，0，0），B（2，1，0）

所以M（1，-，），N（2-2，1＋，0）。

从而＝（0，3，-），＝（1-2，+，-），

则1-2＝0时，与不平行；1-2≠0时，0≠2，与不平行。

6. 解：（1）记（abc）为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

（123）＝0，（132）＝1，（213）＝1，（231）＝2，（312）＝2，（321）＝3，

所以＝1，＝＝2。

（2）。

设i₁ i₂…i_n为12…n的一个逆序数为2的排列，则i₁ i₂…i_n（n＋1）即为12…n（n＋1）的一个逆序数为2的排列，且当i₁ i₂…i_n不同时，i₁ i₂…i_n（n＋1）不同。故≥。

又123…（n+1）（n-1）n也是一个逆序数为2的排列，且它不能写成i₁ i₂…i_n（n＋1）的形式，所以等号不成立，>。

（3）对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置。因此，。

对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以f_n（0）＝1。

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以f_n（1）＝n-1。

为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置。

因此，＝+＋＝＋n。

当n≥5时，

＝［–］+[–]+…+[]+

＝（n-1）+（n-2）+…+4+＝，

因此，n≥5时，＝。