北京市西城区2020届下学期高三年级诊断性测试（一模）数学试卷

本试卷共150分。考试时长120分钟。

第I卷 （选择题 共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 设集合A={x| |x|<3}，B={x| x=2k，k∈Z}，则AB=

A. {0，2} B. {-2，2} C. {-2，0，2} D. {-2，-l，0，1，2}

2. 若复数z满足z·i=-1+i，则在复平面内z对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是

A. B. C. D.

4. 抛物线的准线方程为

A. B. C. D.

5. 在△ABC中，若a：b：c=4：5：6，则其最大内角的余弦值为

A. B. C. D.

6. 设，，，则

A. a>c>b B. a>b>c C. b>c>a D. b>a>c

7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

8. 若圆与x轴，y轴均有公共点，则实数a的取值范围是

A. （-，1] B. （-，0]

C. [0，+） D. [5，+∞）

9. 若向量a与b不共线，则”a·b<0″是”2| a–b |>|a|+|b|”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 设函数。若关于x的不等式<有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是

A. （0，e] B. （0，e²]

C. （1，] D. （1，]

第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 设平面向量a=（1，-2），b=（k，2）满足a⊥b，则|b|=_________。

12. 若双曲线（a>0）经过点（2，0），则该双曲线渐近线的方程为_________。

13. 设函数。则函数的最小正周期为________；若对于任意x∈R，都有≤m成立，则实数m的最小值为_________。

14. 甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖。在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中”√”表示猜测某人获奖，”×”表示猜测某人未获奖，而”○”则表示对某人是否获奖未发表意见。已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确的，那么两名获奖者是________，________。

15. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥P-ABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：

①截面的面积等于4；

②截面是一个五边形；

③直线PC与截面所在的平面EFH无公共点。

其中，所有正确结论的序号是________。

三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分14分）

如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，DE∥BF，且DE=2BF=2。

（I）求证：平面BCF∥平面ADE；

（Ⅱ）求钝二面角D-AE-F的余弦值。

17. （本小题满分14分）

从①前n项和S_n=n²+p（p∈R），②a_n=a_n+1-3，③a₆=11且2 a_n+1= a_n + a_n+2这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答。

在数列{a_n}中，a₁=1，_______，其中n∈N^*。

（I）求{ a_n }的通项公式；

（Ⅱ）若a₁，a_n，a_m成等比数列，其中m，n∈N^*，且m>n>1，求m的最小值。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18. （本小题满分14分）

某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486，0.536），[0.536，0.586），…，[0.836，0.886）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。

企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为”A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为”B级”，发芽率低于0.636的种子定为”C级”。

（I）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是”C级”种子的概率；

（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份”A级”、”B级”、”C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元。某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了?（结论不需要证明）。

19. （本小题满分14分）

已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|=1。

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x=4相交于点P，Q。求∠PFQ的大小。

20. （本小题满分15分）

设函数，其中a∈R。

（I）已知函数为偶函数，求a的值；

（II）若a=1，证明：当x>0时，>2；

（III）若在区间[0，]内有两个不同的零点，求a的取值范围。

21. （本小题满分14分）

设N为正整数，区间[，+1]（其中∈R，k=1，2，…，N）同时满足下列两个条件：

①对任意x∈[0，100]，存在k使得x∈；

②对任意k∈{1，2，…，N}，存在x∈[0，100]，使得xI_i（其中i=1，2，…，k-1，k+1，…，N）。

（I）判断（k=1，2，…，N）能否等于k-1或-1；（结论不需要证明）

（Ⅱ）求N的最小值；

（Ⅲ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不存在，说明理由。

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. C 2. A 3. B 4. D 5. A

6. B 7. D 8. A 9. A 10. D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 2 12. 13. ，+1

14. 乙，丁 15. ②③

注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。

三、解答题：本大题共6小题，共85分。其他正确解答过程，请参照评分标准给分。

16. （本小题满分14分）

解：（I）因为DE∥BF，DE平面ADE，BF平面ADE，

所以BF∥平面ADE。 ………………3分

同理，得BC∥平面ADE。

又因为BCBF=B，BC平面BCF，BF平面BCF，

所以平面BCF∥平面ADE。 ………………6分

（II）由DE⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，

得DA，DC，DE两两垂直，故分别以DA，DC，DE为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系， ………………7分

则D（0，0，0），E（0，0，2），F（2，2，1），A（2，0，0），

所以=（-2，0，2），=（0，2，1）。……·8分

设平面AEF的法向量n=（x，y，z），

由·n=0，·n=0，得

令，得n=（-2，1，-2）。 ………………11分

平面DAE的法向量m=（0，1，0）。

设钝二面角D-AE-F的平面角为，

则| cos|=|cos<m，n>|=||=，

所以cos=-，即钝二面角D-AE-F的余弦值为-。 ………………14分

17. （本小题满分14分）

解：选择①：

（I）当n=l时，由S₁=a₁=1，得p=0。 ………………2分

当n≥2时，由题意，得S_n-1=（n-1）²， ………………3分

所以a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）。 ………………5分

经检验，a₁=1符合上式，

所以a_n=2n-1（n∈N^*）。 ………………6分

（II）由a₁, a_n，a_m成等比数列，得= a₁ a_m， ………………8分

即（2n-1）²=1×（2m-1）。 ………………9分

化简，得， ………………11分

因为m，n是大于1的正整数，且m>n，

所以当n=2时，m有最小值5。 ………………14分

选择②：

（I）因为a_n= a_n+1-3，所以a_n+1– a_n=3。 ………………2分

所以数列{ a_n}是公差d=3的等差数列。 ………………4分

所以a_n= a₁+（n-1）d=3n-2（n∈N^*）。 ………………6分

（II）由a₁，a_n，a_m成等比数列，得= a₁a_m， ………………8分

即（3n-2）²=1×（3m-2）。 ………………9分

化简，得， ………………11分

因为m，n是大于1的正整数，且m>n，

所以当n=2时，m取到最小值6。 ………………14分

选择③：

（I）由2a_n+1= a_n + a_n+2，得a_n
+1– a_n = a_n+2– a_n
+1。

所以数列{ a_n}是等差数列。 ………………2分

又因为a₁=1，a₆= a₁+5d=11，

所以d=2。 ………………4分

所以a_n= a₁+（n-1）d=2n-1（n∈N^*）。 ………………6分

（II）因为a₁，a_n，a_m成等比数列，所以= a₁a_m， ………………8分

即（2n-1）²=1×（2m-1）。 ………………9分

化简，得， …………11分

因为m，n是大于1的正整数，且m>n，

所以当n=2时，m有最小值5。 ………………14分

18. （本小题满分14分）

解：（I）设事件M为：”从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是”C级”种子”，

………………1分

由图表，得（0.4+1.2+a+4.0+6.0+4.4+1.2+0.4）×0.05=1，

解得a=2.4。 ………………2分

由图表，知”C级”种子的频率为（0.4+1.2+2.4）×0.05=0.2， …………3分

故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是”C级”的概率为0.2。

因为事件M与事件”从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是”C级”种子”为对立事件，

所以事件M的概率P（M）=l-0.2=0.8。 ………………5分

（II）由题意，任取一种种子，恰好是”A级”康乃馨的概率为（4.4+1.2+0.4）×0.05=0.3，

恰好是”B级”康乃馨的概率为（4.0+6.0）×0.05=0.5，

恰好是”C级”的概率为（0.4+1.2+2.4）×0.05=0.2。 ………………7分

随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40，

且P（X=20）=0.2×0.2=0.04，

P（X=25）=0.2×0.5+0.5×0.2=0.2，

P（X=30）=0.5×0.5+0.3×0.2+0.2×0.3=0.37，

P（X=35）=0.3×0.5+0.5×0.3=0.3，

P（X=40）=0.3×0.3=0.09。 ………………9分

所以X的分布列为：

………………10分

故X的数学期望E（X）=20×0.04+25×0.2+30×0.37+35×0.3+40×0.09=31。

………………11分

（III）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了。……14分

19. （本小题满分14分）

解：（I）由题意得

解得a=2，c=1， ……………3分

从而b=，

所以椭圆C的方程为。 …5分

（II）当直线l的斜率不存在时，有M（1，），N（1，-），P（4，-3），Q（4，3），F（1，0），

则=（3，-3），=（3，3），故·=0，即∠PFQ=90°。………6分

当直线l的斜率存在时，设l：y=k（x-1），其中k≠0。 ………………7分

联立得………………8分

由题意，知>0恒成立，

设M，，则，。……9分

直线MA的方程为。 ………………10分

令，得，即。 ………………11分

同理可得Q（4，）。 ………………12分

所以=（3，），=（3，）。

因为·==

=

==，

所以∠PFQ=90°。

综上，∠PFQ=90°。 ………………14分

20. （本小题满分15分）

解：（I）函数为偶函数，

所以=，即 ………………2分

解得a=0。

验证知a=0符合题意。 ………………4分

（II）。 ………………6分

由x>0，得e^x>1，sinx∈[-1，1]， ………………7分

则>0，即在（0，+）上为增函数。

故>=2，即>2。 ………………9分

（III）由=，得。

设函数，x∈[0，]，………………10分

则。 ………………11分

令，得。

随着x变化，与的变化情况如下表所示：

所以在上单调递增，在上单调递减。 ………………13分

又因为，，，

所以当），方程在区间[0，]内有两个不同解，且在区间与（]上各有一个解。

即所求实数a的取值范围为[）。 ………………15分

21. （本小题满分14分）

解：（I）可以等于k-1，但不能等于-1。 ………………3分

（II）记b–a为区间[a，b]的长度，

则区间[0，100]的长度为100，I_k的长度为1。

由①，得N≥100。 ……………6分

又因为I₁=[0，1]，I₂=[1，2]，…，I₁₀₀=[99，100]显然满足条件①，②。

所以N的最小值为100。 ………………8分

（III）N的最大值存在，且为200。 ………………9分

解答如下：

（1）首先，证明N≤200。

由②，得I₁，I₂，…，I_N互不相同，且对于任意k，I_k[0，100]≠Ø。

不妨设a₁< a₂<…< a_n<…。

如果a₂≤0，那么对于条件②，当k=1时，不存在x∈[0，100]，使得xI_i（i=2，3，…，N）。

这与题意不符，故a₂>0。 ………………10分

如果a_k+1≤a_k-1+1，那么I_kI_k-1I_k+1，

这与条件②中”存在x∈[0，100]，使得xI_i（i=l，2，…，k-l，k+1，…N）”矛盾，

故a_k+1>a_k-1+1。

所以a₄> a₂+1>l，a₆> a₄+1>2，…，a₂₀₀> a₁₉₈+1>99，

则a₂₀₀+1>100。

故I₁I₂…I₂₀₀[0，100]。

若存在I₂₀₁，这与条件②中”存在x∈[0，100]，使得xI_i（i=1，2，…，200）”矛盾，

所以N≤200。 ………………12分

（2）给出N=200存在的例子。

令（k-1），其中k=1，2，…，200，即a₁，a₂，…，a₂₀₀为等差数列，公差。

由，知Ø，则易得I₁I₂…I₂₀₀=[-，]，

所以I₁，I₂，…，I₂₀₀满足条件①。

又公差>，

所以（k-1）∈I_k，（k-1）I_i（i=1，2，…，k-1，k+l，…N）。（注：（k-1）为区间I_k的中点对应的数）

所以I₁，I₂，…，I₂₀₀满足条件②。

综合（1）（2）可知N的最大值存在，且为200。 ………………14分