本试卷共150分。考试时长120分钟。

第一部分
（选择题
共50分）

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 下列各角中，与27°角终边相同的是

A. 63° B. 153° C. 207° D. 387°

2. 圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆柱的侧面积为

A. 20 πcm² B. 10 πcm² C. 28 πcm² D. 14 πcm²

3. sin（）=

A. sin B. cos C. -sin D. -cos

4. 设∈（-π，π），且cos=-，则=

A. –或 B. –或

C. –或 D. –或

5. 设a，b均为单位向量，且a·b=，则|a+2b|=

A. 3 B. C. 6 D. 9

6. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（0，）上为增函数的是

A. y=sin2x B. y=cos2x

C. y=tanx D. y=sin

7. 向量a，b在正方形网格中的位置如图所示，则<a，b>=

A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°

8. 设，∈（0，π），且>，则下列不等关系中一定成立的是

A. sin<sin B. sin>sin

C. cos<cos D. cos>cos

9. 将函数=sin2x的图像向右平移φ（0<φ≤）个单位，得到函数的图像。在同一坐标系中，这两个函数的部分图像如图所示，则φ=

A. B. C. D.

10. 棱锥被平行于底面的平面所截， 得到一个小棱锥和一个棱台。小棱锥的体积记为y，棱台的体积记为x，则y 与x 的函数图像为

A B C D

第二部分
（非选择题
共100分）

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 已知圆的半径为2，则的圆心角所对的弧长为____。

12. 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称。若sin=，则sin=____。

13. 向量a，b满足|b|=1，a·b=1。若 （λa–b）⊥b，则实数λ=____。

14. 已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的八个顶点在同一个球面上。若正方体的棱长是2，则球的直径是________；球的表面积是____。

15 已知函数给出下列三个结论：

①是偶函数；

②有且仅有3个零点；

③的值域是[-1，1]。

其中，正确结论的序号是____。

16. 设函数=sin（ωx+）（ω>0）。若≥对任意的实数x都成立，则ω的最小值为______。

三、解答题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17. （本小题12分）

已知∈（0，），且cos=。

（Ⅰ）求tan的值；

（Ⅱ）求sin²+sin2的值。

18. （本小题13分）

如图，正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为3。

（Ⅰ）求正三棱锥P-ABC的表面积；

（Ⅱ）求正三棱锥P-ABC的体积。

19. （本小题12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。C=，sinA=。

（Ⅰ）求sinB的值；

（Ⅱ）若c–a=5-，求△ABC的面积。

20. （本小题14分）

已知函数=。

（Ⅰ）求的定义域；

（Ⅱ）求在区间[0，]上的最大值；

（Ⅲ）求的单调递减区间。

21. （本小题12分）

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点。

（Ⅰ）在图中作出平面AD₁E和底面ABCD的交线，并说明理由；

（Ⅱ）平面AD₁E将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比。

22. （本小题13分）

如图，在扇形OAB中，∠AOB=120°，半径OA=OB=2，P为弧AB上一点。

（Ⅰ）若OA⊥OP，求的值；

（Ⅱ）求的最小值。

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）

1. D 2. A 3. B 4. A 5. B 6. C 7. D 8. C 9. C 10. A

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11. 12. –

13. 1 14. 2；12π

15. ②③ 16. 2

注：（14）题每空2分；（15）题少解给2分，有错解不给分。

三、解答题（共6小题，共76分）

17. （共12分）

解：（Ⅰ）因为，cos=，

所以sin … 3分

所以tan……… 6分

（Ⅱ）因为sin=，cos=，

所以sin²+sin2= ……… 10 分

= …… 12 分

18.（共13分）

解：（Ⅰ）取BC的中点D，连接PD。

在Rt△PBD中，PD=，………1 分

所以S_△PBC=。 ………3 分

因为正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，

所以正三棱锥P-ABC的侧面积是3S_△PBC= 6。…… 5 分

因为正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，

所以正三棱锥P-ABC的底面积为，…… 7分

所以正三棱锥P-ABC的表面积为6+。 …… 8 分

（Ⅱ）连接AD，设点O是正△ABC的中心，则PO垂直于底面ABC，

且OD=AD=。 ……… 10分

在Rt△POD中，PO=，……… 11分

所以正三棱锥P-
ABC的体积为S_△ABC ·PO=。
……… 13分

19.（共12分）

解：（Ⅰ）因为C=，所以A。 ……… 1分

所以cos A=。……… 3 分

由已知得B=，
……… 4 分

所以sinB=sin（）=sincosA- cossinA=。……… 6 分

（Ⅱ）由正弦定理得， ……… 8 分

所以。……… 9 分

又因为，

解得a=，c=5。……… 10分

所以S_△ABC=ac sinB=
12 分

20.（共14分）

解：（Ⅰ）由sin x+ cos x≠0， …… 1分

得sin（x+）≠0，……… 2 分

所以x+≠kπ，其中kZ。 ……… 3分

所以的定义域为{x |
x≠kπ-，kZ}。………4分

（Ⅱ）= ……… 6分

= ……… 7分

=。 ……… 8分

因为0≤x≤，

所以≤x+≤，……… 9分

所以当x+=，即x=0时，取得最大值1。……… 11分

（Ⅲ）因为函数的单调递减区间为[2k π，2kπ+π] （kZ）。……… 12分

由2k π ≤ x+≤ 2k π+π，x≠kπ-（kZ），……… 13分

得2kπ-<x<2k π+（kZ）。

所以的单调递减区间为（2kπ-，2kπ+（kZ）。……… 14分

21.（共12分）

解：（Ⅰ）在正方形DCC₁D₁中，直线D₁E与直线DC相交，

设D₁EDC=F，连结AF。……… 2分

因为FDC平面ABCD，

且FD₁E平面AD₁E。 ……… 4分

所以平面AD₁E底面ABCD=AF。… 5分

（Ⅱ）设BCAF=G，连结GE。

由E为CC₁的中点，得G为BC的中点，

所以EG // AD₁ 。……… 7分

所以平面AD₁E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE-
DAD₁。

……… 8分

设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2。

。…… 10分

所以另一部分几何体的体积为，……… 11分

所以两部分的体积之比是7：17。……… 12分

22.（共13分）

解：（Ⅰ）当OA⊥OP时，在△POB中，由余弦定理，得

PB²=OB²+OP²-2OB·OP cos∠POB

=2²+2²-2×2×2×cos 30°^

=8-4， ……… 2分

所以||=。……… 3 分

又因为||=2，∠APB=120°，

所以·=|||| cos∠APB=2-2。……… 5 分

（Ⅱ）以O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。 ……… 6分

由题意知A（2，0），由∠AOB=120°，得B（-1，）。

设P（2cos，2sin），其中[0，]。……… 7分

则·=（2-2cos，-2sin）·（-1-2 cos，-2sin） ……… 8分

=-2-2cos+4 cos²-2sin+4sin²

=-2 cos-2sin+2

=-4sin（+）+2。……… 10分

因为[0，]，

所以+[]，

所以sin（+）[，1]，……… 11分

所以当=时，·取得最小值-2。……… 13分