北京市石景山区2020届下学期初中九年级二模考试数学试卷

本试卷共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟．

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．如图，用量角器度量，可以读出的度数为

2．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为毫克，将用科学记数法表示应为

3．下图是某个几何体的三视图，则该几何体是

4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是

5．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为

6. 如图，四边形是⊙的内接四边形，，则的度数为

7．某厂的四台机床同时生产直径为的零件，为了了解产品质量，质量检验员从这四台机床生产的零件中分别随机抽取件产品，经过检测、整理、描述与分析，得到结果如下（单位：）：

从样本来看，生产的零件直径更接近标准要求且更稳定的机床是

8．下图反映了我国年快递业务量（单位：亿件）及年增长率（%）的情况

（以上数据来源于国家统计局网站）

根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．如果分式有意义，那么的取值范围是______.

10．如果，那么代数式 的值为______.

11．如图，是⊙的直径，点是⊙上一点，，，则阴影部分的面积为______．

12．如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，若将图中的阴影部分拼成一个矩形如图，比较两图中阴影部分的面积，写出一个正确的等式：______.

13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：”今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛. 问大、小器各容几何？”

译文：”今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，

总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？”

（注：斛，音hú，是古代的一种容量单位）

设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，根据题意，可列方程组为____.

14．某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：

估计该种黄豆发芽的概率为______（精确到）.

15．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若直线与线段有公共点，则的值可以为______（写出一个即可）.

16．正方形中，点在边上，，，将线段绕点逆时针旋转，使点落在直线上的点处，则的长度为______.

三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：.

18．解不等式组

19．关于的一元二次方程.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.

20．如图，在四边形中，∥，，平分交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接交于点.若，，，求的长．

21．在抗击新冠肺炎疫情期间，老百姓越来越依赖电商渠道获取必要的生活资料.小石经营的水果店也适时加入了某电商平台，并对销售的水果中的部分（如下表）进行促销：参与促销的水果免配送费且一次购买水果的总价满元减元.每笔订单顾客网上支付成功后，小石会得到支付款的.

（1）当时，某顾客一次购买苹果和车厘子各箱，需要支付______元，小石会得到______元；

（2）在促销活动中，为保障小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折，则的最大值为______.

22．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与轴交于点.

（1）求的值及点的坐标；

（2）直线与函数的图象交于点，记图象在点，之间的部分与线段，，围成的区域（不含边界）为.

①当时，直接写出区域内的整点个数；

②若区域内恰有个整点，结合函数图象，求的取值范围.

23.如图，点，，在⊙上，是弦的中点，点在的延长线上，连接，，，.

（1）求证：是⊙切线；

（2）连接，若∥，，，求的长.

24．经过多方努力，北京市年在区域空气质量同步改善、气象条件较常年整体有利的情况下，大气环境中细颗粒物（）等四项主要污染物同比均明显改善.对北京市空气质量的有关数据进行收集、整理、描述与分析，下面给出了部分信息：

a.北京市年空气质量各级别分布情况如下图（全年无严重污染日）（不完整）：

b.北京市年大气环境中二氧化硫（）的年均浓度为微克/立方米，稳定达到国家二级标准（微克/立方米）；，二氧化氮（）的年均浓度分别为微克/立方米，微克/立方米，均首次达到国家二级标准（微克/立方米，微克/立方米）；的年均浓度为微克/立方米，仍是北京市大气主要污染物，超过国家二级标准（微克/立方米）的.

c.北京市年大气环境中月均浓度变化情况如下：

二氧化硫（）月均浓度（单位：微克/立方米）如下（不完整）：

（以上数据来源于北京市生态环境局官方网站）

根据以上信息，回答下列问题：

（1）北京市年空气质量为”轻度污染”天数为（ ）

（2）的值是______；

（3）北京市年大气环境中月均浓度达到国家二级标准的概率为____；

（4）北京市年大气环境中月均浓度的众数是，则中位数是______.

25．如图，是与弦所围成图形的外部的一定点，是弦上的一动点，连接交于点．已知，设，两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为．

小石根据学习函数的经验，分别对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与的几组对应值：

（2）在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当为的中点时，的长度约为____．

26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）.直线与抛物线的对称轴交于点.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）直接写出点的坐标；

（3）点与点关于抛物线的对称轴对称，过点作轴的垂线与直线交于点，若，结合函数图象，求的取值范围.

27．在中，，是边上的一点（不与点重合），边上点在点的右边且，点关于直线的对称点为，连接.

（1）如图，

①依题意补全图1；

②求证：；

（2）如图2，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形，的”近距”，记作；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形，的”远距”，记作.已知点，.

（1）（点，线段）＝ ______，（点，线段）＝ ______；

（2）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，若（线段，线段），

①求的值；

②直接写出（线段，线段）＝ ______；

（3）⊙的圆心为，半径为.若（⊙，线段），请直接写出（⊙，线段）的取值范围.

【试题答案】

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．解：原式 ………………………… 4分

． …………………………… 5分

18．解：原不等式组为

解不等式①，得．

解不等式②，得．…………………………………4分

∴原不等式组的解集为．…………………………………5分

19．（1）证明：依题意，得……………………………1分

．…………………………………2分

∵，

∴方程总有两个实数根.…………………………………3分

（2）解：由求根公式，得.

∴，．…………………………………4分

∵方程有一个根为负数，

∴．

∴．

∴的取值范围是．…………………………………5分

20．（1）证明：∵，如图1，

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

∵

∴．

又∵，

∴四边形是平行四边形．

∴四边形是菱形．…………………………………3分

（2）解：∵四边形是菱形，如图2，

∴，．

在中，，

∴．

∵，

∴．…………………………………5分

21．（1），；…………………………………3分

（2）．…………………………………5分

22．解：（1）∵函数的图象经过点

∴．…………………………………1分

∵直线与轴交于点，

∴点的坐标为．…………………………………2分

（2）①；…………………………………3分

②如图，

当直线过点时，得．

当直线过点时，得．

结合函数图象，可得的取值范围是

．…………5分

23．（1）证明：如图1，

∵是弦的中点，过圆心，

∴

即．

∵在四边形中，

，

∴.

又∵是⊙的半径，

∴是⊙切线．…………………………………2分

（2）解：延长，交于点，如图2．

∵，

∴，．

在中，，，

∴，．…………………………………4分

在中，，

∴．

∵，

∴∽

∴

即

∴．…………………………………6分

24．解：（1）B；…………………………………1分

（2）；…………………………………3分

（3）；…………………………………4分

（4）.…………………………………6分

25．解：（1）；…………………………………2分

4分

（2）

（3）．…………………………………6分

26．解：（1）∵直线与抛物线的对称轴交于点，

∴．

∴抛物线的对称轴为直线．…………………………………2分

（2）点的坐标为.…………………………………3分

（3）∵抛物线与轴交于点，

∴点的坐标为.

∵点与点关于抛物线的对称轴对称，

∴点的坐标为.

①当时，如图1.

∵轴，

∴，即.

∴.

当时，得.

结合函数图象，若，得.……………………………5分

②当时，如图2.

同理可得时，得.

结合函数图象，若，得.

综上所述，的取值范围是或．…………………6分

27．（1）①依题意补全图形，如图1．…………………………………1分

②证明：连接，如图2．

∵，

∴．

∵点与点关于直线对称，

∴，．

∴.

又∵，

∴≌．

∴．…………………………………5分

（2）线段，，之间的数量关系是．

证明：连接，，如图3.

∵，，

∴．

由（1）②，可得，．

∴．

在中，由勾股定理，得．

∴．…………………………………7分

28．解：（1），；…………………………………2分

（2）①过点作于点，

则（线段，线段），

∵直线与轴交点为，

与轴交点在轴负半轴，

∴.

∴.

∴.

∴点的坐标为.

∴.…………………………………4分

②.…………………………………5分

（3）（⊙，线段）.……………………7分