本试卷共150分。考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合
，那么
＝
A. 
B. 
C. 
D.
2. 函数
的定义域为
A. 
B.
C. 
D.
3. 已知
，则a＝
A. 1 B. 0 C. －1 D. －2
4. 若双曲线C：
的一条渐近线与直线
平行，则b的值为
A. 1 B. 
C. 
D. 2
5. 如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
6. 已知
，那么在下列不等式中，不成立的是
A. 
B.
C. 
D.
7. 在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周，若点M的初始位置坐标为（
），则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是
A. 
B. 
C. 
D.
8. 已知三角形ABC，那么”
“是”三角形ABC为锐角三角形”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 设O为坐标原点，点A（1，0），动点P在抛物线
上，且位于第一象限，M是线段PA的中点，则直线OM的斜率的范围为
A. 
B. 
C. 
D.
10. 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间在理想状态下的数学模型，假设捕食者的数量以x（t）表示，被捕食者的数量以y（t）表示，下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向，下列说法正确的是
A. 若在
时刻满足：
，则
B. 如果y（t）数量是先上升后下降的，那么x（t）的数量一定也是先上升后下降的
C. 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D. 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 已知向量
，若
与c共线，则实数m＝_________。
12. 在
的展开式中常数项为____________。（用数字作答）
13. 圆心在x轴上，且与直线
和
都相切的圆的方程为____________。
14. △ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且
，则CD＝___________，sin∠ABD＝____________。
15. 设函数
给出下列四个结论：
①对
，使得
无解；
②对
，使得
有两解；
③当
时，
，使得
有解；
④当
时，
，使得
有三解。
其中，所有正确结论的序号是____________。
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16. （本小题14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB⊥AC，AB＝AC＝1，PD＝1。
（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值的大小。
17. （本小题14分）
已知函数
，且满足__________。
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若关于x的方程
在区间
上有两个不同解，求实数m的取值范围。
从①
的最大值为1，②
的图象与直线
的两个相邻交点的距离等于
，③
的图象过点
，这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18. （本小题14分）
中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成。下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中”·”表示北斗二代定位模块的误差的值，”＋”表示北斗三代定位模块的误差的值。（单位：米）
（Ⅰ）从北斗二代定位的50个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10米的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四个点位中随机选出两个，记X为其中纵坐标误差的值小于-4的点位的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小。（结论不要求证明）
19. （本小题14分）
已知椭圆
，其上、下顶点分别为
，左、右焦点分别为
，
，若四边形
为正方形，且面积为2。
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线
，
，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形CDMN是菱形，求出该菱形周长的最大值。
20.（本小题15分）
已知函数
。
（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若
有两个极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若
，求
在区间
上的最小值。
21.（本小题14分）
数列
，对于给定的
，记满足不等式：
（
）的
构成的集合为
。
（Ⅰ）若数列
，写出集合
；
（Ⅱ）如果
均为相同的单元素集合，求证：数列
…为等差数列；
（Ⅲ）如果
为单元素集合，那么数列
还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例。
【试题答案】
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. D 2. B 3. A 4. D 5. A
6. D 7. C 8. B 9. C 10. C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 3 12. 160 13.
14. 2，
15. ③④
三、解答题（共6小题，共85分）
16.（本小题14分）
解：（Ⅰ）如图，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AD∥BC。
因为
平面PBC，
平面PBC，
所以AD∥平面PBC。 6分
（Ⅱ）取C为坐标原点，过点C作平行于PD的直线为z轴，依题意建立如图所示的空间直角坐标系
。
由题意得，
，所以
，
。
设平面PBC的法向量为
，
则
即
令
，则
，
所以
。
因为ABCD为平行四边形，且AB⊥AC，
所以CD⊥AC。
因为PD⊥面ABCD，
所以PD⊥AC。
又因为
，
所以AC⊥面PDC，
所以平面PDC的法向量为
，
所以
，
由题意可知，二面角D-PC-B的平面角为钝角，
所以二面角D-PC-B余弦值的大小为
。 14分
17.（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为
，
所以函数
的最小正周期
。
因为
，所以函数
的最大值和最小值分别为
。
若选①，则
，函数
；
若选②，则－3为函数
的最小值，从而
，函数
；
若选③，
，从而
，函数
。
8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）的最大值为1；
因为关于x的方程
在区间
上有两个不同解，
当
时，
，
所以
，解得
，
所以实数m的取值范围是
。 14分
18.（本小题14分）
解：（Ⅰ）由图知，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米的有3个点，所以从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为
。
4分
（Ⅱ）由图知，A，B，C，D四个点位中纵坐标误差的值小于－4的有两个点：C，D，
所以X所有可能取值为0，1，2。
，
，
。
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
所以X的数学期望
。 12分
（Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代。 14分
19.（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为
，
所以
。
因为四边形
为正方形，且面积为2，
所以
，
所以
，
所以椭圆
。 4分
（Ⅱ）设
的方程分别为
、
，
不妨设直线
与
交于
两点，
由
得
，
化简得：
，
其中
，即
，
所以
。
由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知OC⊥OD，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以当且仅当
时，
的最大值为
。
此时四边形CDMN周长的最大值为
。 14分
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）当
时，
，
所以
。
又因为
，
所以切线方程为
，即
。 4分
（Ⅱ）
，
令
，
当
时，易证
在
上单调递增，不合题意。
当
时，
，
令
，得
，
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值
。
依题意，函数
有两个零点，
则
，即
，
解得
。
又由于
，
由
得，
·
。
故当实数a的取值范围为
时，
有两个极值点。 13分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当
时，
，
所以
在
上单调递减，
在区间
上的最小值为
。 15分
21.（本小题14分）
解：（Ⅰ）由于
为满足不等式
的
构成的集合，所以有：
，
当
时，上式可化为
，所以
，
当
时，上式可化为
，所以
为
。 4分
（Ⅱ）对于数列
，若
中均只有同一个元素，不妨设为a，下面证明数列A为等差数列。
当
时，有
……（1）；
当
时，有
……（2）；
由于（1），（2）两式对任意大于1的整数均成立，
所以有
成立，从而数列
为等差数列。 8分
（Ⅲ）对于数列A：
，不妨设
，
，
由
可知：
，
由
可知：
，即
，
从而
，所以
。
设
，则
，
这说明如果
，则
，
因为对于数列
，
中均只有一个元素，
首先考察
时的情况，不妨设
，
因为
，又
为单元素集，
所以
，
再证
，证明如下：
由
的定义可知：
，
所以
。
又由
的定义可知
，
所以
，
所以
。
若
，即
，
则存在正整数
，使得
……（3），
由于
，
所以
，这与（3）矛盾，
所以
，
同理可证
，
即数列
，为等差数列。 14分