本试卷满分100分。考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
（1）
的展开式中各项系数之和为
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知函数
在
处的导数为
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）若变量
，
之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点
| 1 | 2 | 4 | 5 |
| 7 | 6 | 9 | 10 |
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）
位老师和
名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知随机变量
服从二项分布，即
，且
，
，则二项分布的参数
的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设两个正态分布
和
的密度曲线如图所示，则有
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）某小组有
名男生，
名女生，从中任选
名同学参加活动，若
表示选出女生的人数，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）若从
这
个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有
（A）
种 （B）
种 （C）
种 （D）
种
（9）设函数
在
上可导，其导函数为
，且函数
的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）
有极大值
（B）
有极小值
（C）
有极大值
（D）
有极小值
（10）某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容器的底部为圆柱形，高为
，底面半径为
，上部为半径为
的半球形，按照设计要求容器的体积为
立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时半径
的值为
（A）
（B）
（C） 
（D）
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．
（11）在
的展开式中，
的系数为________．（用数字作答）
（12）给出下列三个结论：
①
若
，则
；
②
若
，则
；
③
若
，则
.
其中正确结论的序号是_______．
（13）盒子中有
个白球和
个红球，现从盒子中依次不放回地抽取
个球，那么在第一次抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是_______．
（14）某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有_______种．（用数字作答）
（15）已知函数
，
，若
成立，则
的最小值为_______．
三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）（本小题8分）
已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求
的单调区间．
（17）（本小题8分）
为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了
人，统计是否爱好冰上运动，得到如下的列表：
爱好 | 不爱好 | 共计 | |
男生 |
| ||
女生 | 30 | ||
共计 |
|
参考附表：
|
|
|
|
|
|
|
|
参考公式：
，其中
．
（Ⅰ）补全
列联表；
（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为”爱好冰上运动与性别有关”？
请说明理由.
（18）（本小题8分）
2020年5月1日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对200种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：
垃圾分类 | 厨余垃圾 | 可回收物 | 有害垃圾 | 其他垃圾 |
垃圾种类 | 70 | 60 | 30 | 40 |
辨识率 | 0.9 | 0.6 | 0.9 | 0.6 |
辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值.
（Ⅰ）从社区调查的200种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率；
（Ⅱ）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记
为其中辨识度高的垃圾种数，求
的分布列和数学期望.
（19）（本小题8分）
已知函数
．
（Ⅰ）求
的极值；
（Ⅱ）若函数
在定义域内有三个零点，求实数
的取值范围．
（20）（本小题8分）
设集合
， 若
是
的子集，把
中所有数的和称为
的”容量”（规定空集的容量为
），若
的容量为奇（偶）数，则称
为
的奇（偶）子集．
（Ⅰ）当
时，写出
的所有奇子集；
（Ⅱ）求证：当
时，
的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（Ⅲ）当
时，求
的所有奇子集的容量之和．
【试题答案】
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）B （3）B （4）D （5）D
（6）C （7）C （8）B （9）A （10）C
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
（11）
（12）①③
（13）
（14）
（15）
注：（12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得4分，不选或错选得0分，其他得2分。
三、解答题（共5小题，共40分）
（16）（共8分）
解：由题意可知函数
的定义域为
.
（Ⅰ）因为
，
所以
，
.
因为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.………4分
（Ⅱ）因为
，
由
，得
，
.
因为函数
的定义域为
，
当
变化时，
，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
| 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以，
的单调递增区间为
，
的单调递减区间为
. ………8分
（17）（共8分）
解：（Ⅰ）
爱好 | 不爱好 | 共计 | |
男生 |
|
|
|
女生 |
|
|
|
共计 |
|
|
|
………4分
（Ⅱ）由题可知，
，经过计算，
，参照附表，
所以在犯错误的概率不超过
的前提下，
可以认为”爱好冰上运动与性别有关”. ………8分
（18）（共8分）
解：（Ⅰ）由题意可知，样本中垃圾种类一共
种，
辨识度高的垃圾种数是：
.
所求概率为
. ………3分
（Ⅱ）
的可能取值为
.依题意可知，
.
，
，
，
.
所以
的分布列为
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. ………………8分
（19）（共8分）
解：由题意可知函数
的定义域为
.
（Ⅰ）因为
，
所以
.
由
，得
，
.
当
变化时，
，
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 单调递增 |
| 单调递减 |
| 单调递增 |
因此，当
时，
有极大值，并且极大值为
；
当
时，
有极小值，并且极小值为
. ………4分
（Ⅱ）因为
，
所以
.
所以
为一个零点.
所以”函数
在定义域内有三个零点”可以转化为
“方程
有两个非零实根”.
令
，则
，
所以，当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
当
时，
有最小值
.
若方程
有两个非零实根，则
，即
.
又
，
，
恒成立，不存在零点，
所以
．
综上，
.
所以当
时，函数
在定义域内有三个零点．………8分
（20）（共8分）
（Ⅰ）解：当
时，
.
的所有奇子集为
. ………3分
（Ⅱ）证明：首先证明
的奇子集与偶子集个数相等.
设奇数
，对于
的每个奇子集
，
当
时，取
且
.
当
时，取
，则
为
的偶子集.
反之，亦然.
所以，
的奇子集与偶子集是一一对应的.
所以，
的奇子集与偶子集个数相等.
对于
，
，含
的
的子集共有
个，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数
，在奇子集的和与偶子集的和中，
所占的个数是一样的.
所以
的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等. …6分
（Ⅲ）解：由于每个元素在奇子集中都出现
次，故奇子集的容量和为
． ………8分