北京师大附中2021届上学期高三年级期中考试数学试卷

本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分

一、选择题：本大题共10小题，共40分。在各小题列出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请选出符合要求的选项。

1. 若集合A＝｛x|-2＜x＜1｝，B＝｛x|x²-3x＞0｝，则AB=（ ）

A. ｛x|x＜1或x＞3｝ B. ｛x|-2＜x＜1｝

C. ｛x|-2＜x＜0或x＞3｝ D. ｛x|-2＜x＜0｝

2. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）

A. B.

C. D.

3. 直线Ax+By+1＝0在y轴上的截距为1，且与直线3x+y+1＝0垂直，则A等于（ ）

A. B. – C. 3 D. -3

4. 设函数＝，则=（ ）

A. 12 B. 9 C. 6 D. 3

5. 已知m∈（0，1），令a＝log_m2，b＝m²，c＝2^m，那么a，b，c之间的大小关系为（ ）

A. b＜c＜a B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. a＜b＜c

6. 已知半径为1的圆经过点（4，3），则其圆心到原点的距离的最大值为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

7. m＝-1是直线mx+y-3＝0与直线m（m-1）x-2y+2＝0平行的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

8. 已知方程x·|x-a|＝-1的解不少于两个，则实数a的取值范围是（ ）

A. a≤-2 B. a＜-2 C. -2≤a＜0 D. a＞-2

9. 过点P（cos，sin）作直线与圆C：x²+y²＝4相交于A，B两点，则|AB|的取值范围是（ ）

A. （0，2] B. ［2，4］ C. （0，4] D. [，4]

10. 已知函数＝ asinx-2cosx的一条对称轴为x＝-，+＝0，且函数在（x₁，x₂）上具有单调性，则|x₁+x₂|的最小值为（ ）

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共5小题，共25分。

11. 以抛物线y²＝4x的焦点为圆心，并且与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为_______。

12. 设双曲线C的一个焦点为（0，4），实轴长为4，则C的离心率为_______，C的渐近线方程为_______。

13. 若对任意x>0，恒成立，则写出一个满足条件的a的取值为_________。

14. 已知函数＝若的图象与直线y＝x-1的公共点的个数为_______。

15. 已知曲线C的方程是，给出下列三个结论：

①曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；

②若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是6；

③曲线C是一个封闭图形。

其中，所有正确结论的序号是_____________。

三、解答题：共6个小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题满分14分）

已知＝sin²x+sinx sin。

（I）求的最小正周期和单调递减区间；

（II）求函数在区间上的取值范围。

17.（本小题满分14分）

在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2b-c）cosA＝acosC。

（I）求角A的大小；

（II）若a＝，b+c＝5，求△ABC的面积。

18.（本小题满分14分）

已知函数＝a（x-1）-lnx，a＞0。

（I）当a＝1时，求证：对任意x∈［1，+∞），有≤；

（Ⅱ）求函数在区间［1，+∞）上的最小值。

19.（本小题满分14分）

已知函数＝（a∈R，a≠0）。

（I）当a＝1时，求曲线y＝在点（1，）处切线的方程；

（Ⅱ）当a＜0时，求函数的单调区间；

（III）当x∈（0，+∞）时，≥1恒成立，求a的取值范围。

20.（本小题满分14分）

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（c，0），左顶点为A，右顶点B在直线l：x＝2上。

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明。

21.（本小题满分15分）

已知数列｛x_n｝，若对任意n∈N^*，都有＞x_n+1成立，则称数列｛x_n｝为”差增数列”。

（I）试判断数列a_n＝n²（n∈N^*）是否为”差增数列”，并说明理由；

（Ⅱ）若数列｛a_n｝为”差增数列”，且a_n∈N^*，a₁＝a₂＝1，对于给定的正整数m，当a_k＝m，项数k的最大值为20时，求m的所有可能取值的集合；

（III）若数列｛lgx_n｝为”差增数列”，（n∈N^*，n≤2020），且lgx₁+lgx₂+…+lgx₂₀₂₀＝0，证明：x₁₀₁₀x₁₀₁₁＜1。

参考答案

一、选择题，本大题共10小题，共40分。

二、填空题，本大题共5小题，共25分。

11.（x-1）²+y²＝4；12. 2，y＝±x；13. ［0，5］中任取一个；14. 3；15. ①②

（注：12题前空3分，后空2分，15题错选和多选得0分，少选给3分，全对5分）

三、解答题，共6个小题，共85分。

16. 解：（I）＝sin²x+sins cosx＝

＝sin（2x-）+ 5分

函数的最小正周期T＝π 6分

由2k+≤2x-≤2k+，k∈Z，得k+≤x≤k+，k∈Z，

故的单调减区间为［k+，k+］，k∈Z 9分

（Ⅱ）由（I）得＝sin。

因为0≤x≤，所以-≤2x-≤， 10分

所以-≤sin≤1，当…… 13分

因此0≤sin≤，即的取值范围为 14分

17. 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2R

∴a＝2R sinA，b＝2R sinB，c＝2RsinC

∴（2sinB-sinC）cosA＝sin AcosC

∴2sinB cosA＝sinC cosA+sinA cosC＝sin（A+C）

∵A+B+C＝，∴sin（A+C）＝sinB

∴2sinB cosA＝sinB，∵B∈（0，），∴sinB≠0

∴cosA＝，∵A∈（0，），∴A＝ 7分

（2）在△ABC中，由余弦定理得a²＝b²+c²-2bc cosA

∵a＝，b+c＝5 ∴13＝（b+c）²-2bc-2bc cos＝25-3bc

∴bc＝4 ∴S_△ABC＝bc sinA＝×4×sin＝ 14分

18. 解：（I）当a＝1，x∈［1，+∞）时，设＝-（x-1）+lnx，a∈R。

＝（x-1）-1+＝≥0，所以在［1，+∞）上为增函数，故

≥＝0。 6分

（Ⅱ）由＝a（x-1）-lnx可得＝a-＝ 7分

①当0＜a＜1时，令＝a–＞0，得x＞；令＜0，得1≤x＜，

所以在［1，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数。

故在［1，+∞）上的最小值为f（）＝1-a+lna。 11分

②当a≥1时，≤1，故＝a-≥0，在［1，+∞）上为增函数，在x［1，+∞）上的最小值为＝0。 13分

综上，当0＜a＜1时，在［1，+∞）上的最小值为f（）＝1-a+lna。

当a≥1时，在［1，+∞）上的最小值为f（1）＝0。 14分

19. 解：（I）当a＝1时，＝。依题意＝0，＝e。

曲线在x＝1处切线的方程为y＝e。 4分

（Ⅱ）函数的定义域为｛x|x≠0｝。＝。

当a＜0，当即x＜0和0＜x＜1时，＞0，当x＞1时＜0，

函数的单调增区间为（-∞，0），（0，1）；单调减区间为（1，+∞）。 9分

（III）当x∈（0，+∞）时，要使＝≥1恒成立，即使a≥在x∈（0，+∞）时恒成立。设，则。可知在0＜x＜1时，＞0，为增函数；

x＞1时，＜0，为减函数，则_max＝＝。

从而a≥。 14分

20. 解：（I）依题可知B（a，0），a＝2，因为e＝＝，

所以c＝1 b＝，故椭圆C的方程为。 4分

（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切。

证明如下：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0）。

则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），

由 得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12＝0。 8分

设点P的坐标为（x₀，y₀），则-2x₀＝。

所以x₀＝，y₀＝k（x₀+2）＝。

因为点F坐标为（1，0），

①当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，

点D的坐标为（2，±2）。

此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y1）²＝1与直线PF相切。 10分

②当k≠±时，直线PF的斜率k_PF＝＝。

所以直线PF的方程为y＝（x-1），即x-y-1＝0。

故点E到直线PF的距离

（或直线PF的方程为x-y-＝0，

故点E到直线PF的距离

）

又因为|BD|＝2R＝4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切。 13分

综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切。 14分

解法二：

（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切。

证明如下：设点P（x₀，y₀），则（y₀≠0）

①当x₀＝1时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，

点D的坐标为（2，±2），

此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y1）²＝1与直线PF相切，

②当x₀≠1时直线AP的方程为y＝（x+2），

点D的坐标为D（2，），BD中点E的坐标为（2，），故|BE|=||

直线PF的斜率为k_PF＝，

故直线PF的方程为y＝（x-1），即x-y-1＝0，

所以点E到直线PF的距离

故以BD为直径的圆与直线PF相切。

综上可得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切。

21. 解：（1）数列a_n＝n²（n∈N^*）是”差增数列”。

因为任意的n∈N^*，都有a_n+a_n+2＝n²+（n+2）²＝2n²+4n+4＝2（n+1）²+2＞2（n+1）²＝2a_n+1，即成立，

所以数列a_n＝n²（n∈N^*）是”差增数列”； 4分

（2）由已知，对任意的n∈N^*，a_n+2-a_n+1＞a_n+1-a_n恒成立。

可令b_n＝a_n+1-a_n（n≥1），则b_n∈N，且b_n＜b_n+1，

又a_n＝m，要使项数k达到最大，且最大值为20时，必须b_n（1≤n≤18）最小。

而b₁＝0，故b₂＝1，b₃＝2，…，b_n＝n-1。

所以a_n-a₁＝b₁+b₂+…+b_n-1＝0+1+2+…+（n-2）＝（n-1）（n-2），

即当1≤n≤19时，a_n＝1+，a₁₉＝154，因为k的最大值为20，

所以18≤a₂₀-a₁₉＜18+19，即18≤m-154＜18+19，

所以m的所有可能取值的集合为｛m|172≤m＜191，m∈N^*｝ 10分

（3）证明：（反证法）假设x₁₀₁₀x₁₀₁₁≥1。由已知可得x_n（n＝1，2，…，2020）均为正数，

且x₁x₂…x₂₀₂₀=1，＜，

而由＜可得＜<，

即x₁₀₁₀x₁₀₁₁< x₁₀₀₉ x₁₀₁₂，所以x₁₀₀₉ x₁₀₁₂>1，

又=·<·=，即x₁₀₀₈x₁₀₁₃＞1，

同理可证x₁₀₀₇x₁₀₁₄>1，…，x₁x₂₀₂₀>1，

因此x₁x₂…x₂₀₂₀>1，这与已知矛盾，

所以x₁₀₁₀x₁₀₁₁＜1。 15分