一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
1. 下列各式中，一定是最简二次根式的是（
）
A. 
B. 
C. 
D.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（
）
A. 20 B. 10 C. 5 D.
3. 下列线段能组成直角三角形的一组是（
）
A. 1，2，2 B. 3，4，5 C. 
，2，
D. 5，6，7
4. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是（
）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法判断
5. 如下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
平均数（cm） | 185 | 180 | 185 | 180 |
方差 | 2.5 | 2.5 | 6.4 | 7.1 |
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（
）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 如图所示，函数 y = 2x 和 y = ax + 4 的图象相交于点A（
，3），则关于 x 的不等式2x ≥ ax+4 的解集为（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
7. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒。若纸盒的底面图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长。设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C.（ D.（
8. 在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（0，0）、（0，-5）、（-2，-2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（
）
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
9. 图①是一个边长为
的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 小明、小聪参加了100 m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图。
图1 图2
根据图中信息，有下面四个推断：
①这5期的集训共有56天；
②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；
③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；
④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天。
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
11. 若
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______。
12. 已知是关于x的方程的一个根，则的值是____。
13. 若正比例函数图象经过点A（1，3），则该函数的解析式是________。
14. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，再找到AC，BC的中点D和E，并且测出DE的长为10m，则A、B间的距离为____m。
15. 已知点 A（5，y1）和点 B（4，y2）都在直线y = x + b 上，则y1与y2的大小关系为________。
16. 比较实数的大小：
____
。
17. 一次函数y= −x+3的图象不经过第______象限。
18. 已知一次函数 y = kx + b的图象是由函数 y = −2x 的图象向上平移 2个单位得到的，则该一次函数的解析式为________。
19. 如图，在菱形
中，
=120°，点E是边
的中点，P是对角线
上的一个动点，若AB=2，则PB+PE的最小值是________。
20. 在¨ ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO 并延长，交 CD 于点 F，连接AF，CE，有下列四个结论：
①对于动点E，四边形AECF 始终是平行四边形；
②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点 E，使得四边形 AECF 是矩形；
③若 AB＞AD ，则至少存在一个点 E，使得四边形 AECF 是菱形；
④若∠BAC = 45°，则至少存在一个点 E，使得四边形 AECF 是正方形。
以上所有错误说法的序号是____________。
三、解答题（共50分，第21~22题各5分，第23~26题各6分，第27~ 28题各8分）
21. 计算： 
。
22. 解方程：。
23. 已知关于x的一元二次方程。
求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
若方程只有一个根为负数，求m的取值范围。
24. 
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点（2，0），与y轴交于点B（0，-4）。
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且
，求点C的坐标。
25. 如图，在□ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE=DF，∠AEC=90°。
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接BF，若AB=4，∠ABC=60°，BF平分∠ABC，求AD的长。
26. 2020年注定是不平凡的一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗击疫情。为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传。某校为了了解初二年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试。现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
收集数据：
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95,100。
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93
整理数据：
班级 | 75≤x＜80 | 80≤x＜85 | 85≤x＜90 | 90≤x＜95 | 95≤x＜100 |
甲 | 1 | 1 | 3 | 4 | 6 |
乙 | 1 | 2 | 3 | 5 | 4 |
分析数据：
班级 | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
甲 | 92 | a | 93 | 47.3 |
乙 | 90 | 87 | b | 50.2 |
应用数据：
（1）根据以上信息，可以求出：a=______分，b=________分；
（2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）。
27. 定义：若关于x的一元二次方程
的两个实数根为
（
），
分别以
为横坐标和纵坐标得到点M
，则称点M为该一元二次方程的衍生点。
（1）若方程为
，写出该方程的衍生点M的坐标。
（2）若关于
的一元二次方程
的衍生点为M，过点M向
轴和
轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求
的值。
（3）是否存在b，c，使得不论
为何值，关于
的方程
的衍生点M始终在直线
的图象上。若存在，直接写出b，c的值，若不存在，请说明理由。
28. 如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF=DM，连接EF，AF。
（1）当DM=2时，依题意补全图1；
（2）在（1）的条件下，求线段EF的长；
（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD 的数量关系________________。
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | A | C | B | B | A | C | D | D | B | A |
二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
答案 |
| -1 |
| 20 | 〉 | 〈 | 三 |
|
| ②④
|
三、解答题（共50分，第21~22题各5分，第23~26题各6分，第27~ 28题各8分）
21. 计算： 
。 22. 解方程：。
=
23. 证明：
（1）由于
，
方程总有两个实数根；
（2）解：由于，
或，
此方程有一个根是负数，
，
的取值范围是。
24.（1）
；（2） C（4,4）
25.（1）证明：∵□ABCD，
∴BC＝AD，BC∥AD。
又∵BE＝DF，
∴BC－BE＝AD－DF，即EC＝AF，
∴ECAF，
∴四边形AECF为平行四边形。
又∵∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形。
（2）解法一：
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝4，
∴BE＝2，AE＝
。
∵四边形AECF是矩形，
∴FC⊥BC，FC＝AE＝
。
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝
∠ABC＝30°，
在Rt△BCF中，∠FCB＝90°，∠FBC＝30°，FC＝
，
∴BC＝6，
∴AD＝BC＝6。
解法二：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC。
∵BC∥AD，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB＝4。
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝4，
∴BE＝2，
∴FD＝BE＝2，
∴AD＝AF＋FD＝6。
26.（1）100；91；（2）成绩为优秀的学生共有256人；（3）甲班的学生防疫测试的整体成绩较好。理由：平均分较高，中位数较大，方差小。
27. 解：（1）解得：
故方程
的衍生点为M
（2）
解得：
方程
的衍生点为
点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴、y轴恰好围城一个正方形，所以
，解得
（3）存在。
直线
，过定点
。
两个根为
解得：
28. 解：（1）补全图形如图1所示。
图1
（2）如图2，连接BM。
图2
∵点D与点E关于AM所在的直线对称，
∴AE=AD，∠MAD=∠MAE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°。
又∵DM = BF，
∴△ADM≌△ABF。
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD。
∴∠FAB=∠MAE。
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE。
∴∠FAE=∠MAB。
∴△FAE≌△MAB（SAS）。
∴EF=BM。
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=6。
∵DM=2，∴CM=4。∴在Rt△BCM中，BM=
∴EF=2
。
（3）当点M在CD边上运动时，若使△AEF为等腰三角形，则
AD=2DM或AD=DM